4.1.1方根与分数指数幂课件2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

n次方根与分数指数幂

浮来山上“千年古刹定林寺”曾是南北朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居,距今已有1500多年的历史,院内有一棵银杏树,树龄达3500多年,号称“天下第一银杏树”．

树龄达3500多年,树高26.3米,周粗15.7米,号称“天下第一银杏树”.

银杏,叶子夏绿秋黄,是全球中最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把它称为“世界第一活化石”.

考古学家根据什么推断出银杏于200多万年前就存在呢?

实际上，考古学家所用的数学知识就是本章将学习的指数函数.

为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.初中已经学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数计作.像这样以分数为指数幂，其意义是什么呢?下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.例如，(±2)2=4，±2叫4的平方根.我们知道:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根.例如，23=8，2叫8的立方根.②如果x3=a,那么x叫做a的立方根.类似地，(±2)4=16，我们把±2叫16的4次方根;由于25=32，2叫32的5次方根.如果xn=a,那么x叫做

a

的n次方根,其中n>1,且n∈N*.一、n次方根(2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,这两

个数互为相反数.(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数；

负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次方根用符号

表示；例如，

如果xn=a,那么x叫做

a

的n次方根,其中n>1,且n∈N*.(2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,这两

个数互为相反数.

正的n次方根与负的n次方根可以合并写成.例如，(1)当n为奇数时,a的n次方根为；负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0,计作.正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零.n次方根的性质(1)奇次方根有以下性质：(2)偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零.根指数根式二、根式的概念与性质被开方数式子叫根式，这里n叫根指数，a叫被开方数.根据n次方根的意义，可得例如，,

.结论:an开奇次方根,则有结论:an开偶次方根,则有探究！表示an的n次方根，=a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？可以得到：=-8;=10;例1

求下列各式的值：根据n次方根的定义和数的运算，我们知道(下面中的a>0)这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.思考？当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？我们希望整数指数幂的运算性质，如(ak)n=akn，对分数指数幂仍然适用.由此，我们规定:三、分数指数幂及其运算性质3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.1.正数的正分数指数幂的意义：2.正数的负分数指数幂的意义：规定了分数指数幂的意义以后，幂ax中的x的取值范围就从整数拓展到了有理数.整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，即对于Ɐr,s∈Q，均有下面的运算性质.例2求下列各式的值：例3利用分数指数幂的形式表示下列各式(其

中a>0)：