【课件】4.3.1等比数列的概念（1）课件人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念选择性必修第二册第四章数列情景引入我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”问题1你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？

构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.问题2根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？

上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.

请看下面几个问题中的数列.

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:

①

②

③

2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是

④．．

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

⑤

4.某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是

⑥．．

探究

类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数．

类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？思考一、等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母

表示(显然)．

例.

判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．

(1)3，9，15，21，27，33；

(4)1，1.1，1.21，1.331，1.4641；(3)，，，，，；

(2)4，-8，16，-32，-128.

思考：(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？常数列是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；q<0时，等比数列各项符号正负间隔，奇数项和偶数项分别同号。类比等差中项的定义，你能说出等比中项的定义吗？说明：等比中项可能有两个，那么什么时候是一个呢？二、等比中项应用探究练习2

若a，2a＋2，3a＋3成等比数列，求实数

a的值．解：∵a，2a＋2，3a＋3成等比数列

∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得

a＝－1，或

a＝－4.当a＝－1时，2a＋2，3a＋3均为0，舍去.∴

a＝－4.练习1(1)4与9的等比中项是______(2)-1，2，x，8，-16成等比数列，则x=______

6或-6-4探究

你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得所以

由此可得．

又，这就是说，当时上式也成立．因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为．

验证n=1不完全归纳法探究你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗？设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得

即

．

所以

左右两侧分别依次相乘

化简得到．

累乘法又，这就是说，当时上式也成立．因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为．

验证n=1三、等比数列通项公式

典型例题例1

若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．

分析：等比数列由，唯一确定，可利用条件列出关于，的方程(组)，进行求解．解法1:

由，，得①②②的两边分别除以①的两边，得解得或把代入①，得．

此时把代入①，得．

此时因此，的第5项是24或

．

例1

若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．

解法2:

因为是与的等比中项，所以所以．

因此，的第5项是24或．

例1

若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．

例2已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3=7，a1a2a3

=8，求an.解得

或

当a1=1时，q=2；当a1=4时，故an

=2n－1或an=23－n

.法一：由等比数列的定义知a2=a1q

，a3=a1q2

，代入已知得例2已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3=7，a1a2a3

=8，求an.法二：从而解之得a1=1，

a3=4或a1=4，

a3=1.当a1=1时，

q=2；当a1=4时，故an

=2n－1或an=23－n

.【归纳总结】如何判断数列是否为等比数列？探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立相似的关系？探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立相似的关系？

等比数列的第项是指数函数当时的函数值，即．

等比数列的序号和项对应的点是指数函数图像上一系列离散的点。探究：类比指数函数的性质，判断公比的等比数列的单调性？指数函数，时，指数函数单调递增；

，指数函数单调递减．

①当，因为，则单调性与相同，即，等比数列单调递增，

，等比数列单调性不变，，等比数列单调递减．

②当，因为，则单调性与单调性相反，即，等比数列单调递减，

，等比数列单调性不变，，等比数列单调增．1、等比数列的定义2、