【课件】4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和-人教A版（2019）选择性必修第二册课件(共29张PPT)

4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和激趣诱思知识点拨高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目,1+2+…+100的和是多少?”过了两分钟,正当大家在对1+2=3,3+3=6,4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+…+100=5050.”老师问:“你是如何算出答案的?”高斯回答说:“因为1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以101×50=5050.”这个故事告诉我们要像数学王子高斯一样善于观察,敢于思考,从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.这个小故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法——“倒序相加”法.激趣诱思知识点拨等差数列的前n项和公式及其推导

等差数列的前n项和公式推导方法倒序相加法.推导过程设等差数列的前n项分别为a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,依等差数列的通项公式,得:Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d].①再把项的次序反过来,Sn又可以写成:Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d].②①②两边分别相加,得:2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),∴Sn=.激趣诱思知识点拨名师点析(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.激趣诱思知识点拨微拓展从函数角度认识等差数列的前n项和公式:(1)公式的变形(2)从函数角度认识公式①当d≠0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项;②当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用已知数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn+C,若C=0,则数列{an}为等差数列;若C≠0,则数列{an}不是等差数列.激趣诱思知识点拨微练习记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=

.解析:设等差数列{an}的公差为d,因为a3=0,a6+a7=14,所以答案:14探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列前n项和公式及其应用例1(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=

.

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=

.

(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1022,则公差d=

.

分析:利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2.解得n=4.又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.答案:(1)81

(2)15

(3)-171探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5等于(

)A.15

B.20

C.25

D.30(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(

)A.12 B.13 C.14 D.15(3)已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n=

.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:(1)C

(2)B

(3)10或11探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用an与Sn的关系解决问题例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn=5n-1,求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{an}的前n项和Sn=,求数列{an}的通项公式.分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.解:(1)当n=1时,a1=S1=51-1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4·5n-1.由于a1=4也适合an=4·5n-1,因此数列{an}的通项公式是an=4·5n-1(n∈N*).探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤1.当n=1时,a1=S1.2.当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.3.如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=(

)A.9 B.8 C.7 D.6解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5<ak<8,所以5<2k-10<8,解得7.5<k<9,故k=8.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测例3已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足

(1)求证:{an}为等差数列;(2)求出{an}的通项公式.相减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列{an}是不是等差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得{an}的通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾;若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.(2)由(1)知,{an}为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故{an}的通项公式为an=n+2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟利用an与Sn的关系式求数列{an}的通项公式.已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或其他数列,求出其通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究在本例中,若将条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式.解:当n=1时,8a1=(a1+2)2,解得a1=2.当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为数列{an}的各项均为正数,所以an+an-1>0,所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列{an}为首项为2,公差为4的等差数列,故an=2+4(n-1)=4n-2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测等差数列在实际生活中的应用例4

某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则a1=50+1

000×1%=60,a2=50+(1

000-50)×1%=59.5,…a10=50+(1

000-9×50)×1%=55.5,即第10个月应付款55.5元.由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有即全部付清后实际付款1

105+150=1

255(元).反思感悟等差数列的实际应用的解题策略建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?探究一探究二探究三素养形成当堂检测整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n分钟后第2次相遇,由题意,整理得n2+13n-420=0.解得n=15,n=-28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.探究一探究二探究三素养形成当堂检测由an与Sn的关系求通项典例已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式.解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,方法点睛已知数列{an}的前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步,利用a1=S1求a1.第二步,当n≥2时,求an=Sn-Sn-1.第三步,检验a1是否适合当n≥2时得到的an.若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=(

)A.18 B.20 C.22 D.24答案:B2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于(

)A.9 B.8 C.7 D.6解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(n∈N*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an=