函数的极值教案

xx教

案编号：1号课程名称：高等数学授课章节§函数极值及其求法

编写时间：目的要求重点难点

１、掌握函数极值的概念和函数极值存在的必要条件和两个充分条件．、根据相关知识点会求某些函数的极值．、通过本节课的学习，使学生领悟局部与整体的辩证关系．极值的必要、充分条件．函数极值的求法的理解与掌握．一复导上节课我们应用导数来研究了函数的单调性，知道了函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．即设函数（1）如果（2）如果观察下面函数的图像：

主内与时间（约极值的概念10分极值的必要条件分第一充分条件分第二充分条件分极值求法应用举例分

X

1

X2

o

X3

X4

X5

小结、巩固图1

练习分函数值

x

附近的函数值进行比较，会有1什么结论呢？那么，在

、

、

与

点处的情况如何呢？2

3

4

5参书1xxxxxxxx00x0xxxxxxxx00x0x0二探新（一、数极值定义定义1设函数的某一邻U0

0

内有定义，如果

1高等数学》辽宁省师范院校初等教育专业对于去心邻U

内的任一x，都有

教材．则称函数值f

0f0或极小值0

高等数学》同济大学第五版．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．对极值义的理解：函数的极大值、极小值概念是局部性的概念．函数的极大值不一定比极小值大．函数的极值点一定出现在区间内部．（二、数存在值的必要条观察图1极值点处的切线有什么特点？结合导数的几何意义，我们能否得到什么样的结论？定理﹙极值的必要条件﹚设函数f可导，且在x处取得极值，则一定有

．

0

0分

0析：我们知道函数的极值就是局部的最值，而证明极值点处的导数为零只要在极值点的某一邻域内考虑即可，那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零，而这实际上就是费马（）引理的内容．证

明：设f类似证明根据极值的定义，对于Uff当x，lim000ff当，00lim0．0x0x2x，xx，xx从而，f

．0（三、数存在值的充分条定义

使导数

点（稳定点定理1明：可导函数的极值点必定是驻点。讨

论1、函数的驻点一定是极值点吗？函数的导数不存在的点可能是极值点吗？观察1，极大值点与极小值点左右两侧的函数的导数符号如何变化？注

意驻点不一定是极值点如函数f

的驻点x不是极值点定理1表明对可导函数而言求极值点应先找出驻点，然后对驻点进行判断，哪些是极值点哪些不是极值点．根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道：如果在驻点两侧函数导数的符号相反，则驻点必然是使函数单调性改变的点，从而一定是函数的极值点．由此我们得到下面的定理定理2（值的第一充分条件）设函数f处连续，且在0点

的某一邻U

（点

可除外具有导数于U

0（1）若

x

00时，

x

，

0是函数

0（2）若

时，f

，

0是函数

0

0（3）在

两侧，f

0

0值．分

析：显然）与）的证明是类似的．由于证明极值是比较0

处的函数值与其邻域内的其它点处的函数值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是讨论函数值之差与自变量之差之间的关系的，因此应用拉格朗日（Lagrange）中值定理可证明．3xxxxx．xxxxxx．xxx证

明：仅证⑴，设U

内任意一点，根据拉格朗日0（Lagrange）中值定理得f

之间．0由（1）的条件可知：

0

0当

时，ffff

0；当x0

0

，

000对0，都有

．根据极值的定义知f

00（2的证明是类似的，建议学生出．定理2表明：如果在点x侧的导数符号相反，x一定是0

0极值点，如果在点

x

两侧的导数符号相同，则

x

就一定不是极值

点．问题：根据定理2否寻求到求函数极值的方法？求极值步骤：求出导数f

求出f可导点；根据定理2确定这些点是不是极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；求出各极值点处的函数值,就得到函数f应用举：例1函数f

x

x的极值．解该函数的定义域f

3x

令

x

x

．驻点将定义域分成三部分，1

2现列表讨论如下：4xxxxxxxxxx

-1

3

f

+

0

-

0

+f

↗

极大值

↘

极小值

↗数f为f取得

极小值，极小值为

f

．上述有关极值的充分条件和必要条件都是对可导函数而言的，在此条件下，极值点一定是驻点，因此只要求出函数的驻点，再由定理考察各个驻点是否为极值点就行了．但是如果函数有不可导点，就不能肯定极值点一定是驻点了，因为在导数不存在的点处，函数也可能取得极值。请看下例：例2求函数f

的极值．解该函数的定义域当x2时，f

23

；当x2时，f

当x2，f

，f

处连续，所以x2是函数f极大值为注意：上是利用函数的一阶导数来讨论函数的极值，当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下面的定理用二阶导数来判断函数在驻点处是取得极大值还是极小值．定理3﹙极值的第二充分条件﹚设函数

处具有二阶导数，且

，f

则

0（1）当f

0

处取得极大值；00（2）当f处取得极小值．0证明只证情形⑴，情形⑵的证明是类似的．由导数的定义及f

和f

，得f

0flimxx5

f0xxfxxxx3xfxxxx3x21xx2根据函数极限的局部保号性定理，对于U

，有．0x因此，当

时，f

，

f

00根据定理2，函数取得极大值．0x理3数f0定是函数f

数0注意：如果f

0，就不能用定理3来判断

是否为极值0点．事实上，当f000值，也可能有极小，也可没有极．例如f，

三个函数就分别属于这三情况。所以，当函数在驻点处的二阶导数为零时，只能用定理来判断，即：由驻点左右两侧一阶导数的符号来判断．应举：例3求函数f的极值．解：f

2

．令

x

x

．f

．

2

3因极小值，极小值为f又f

定理2来判断．当，f在没有极值．同理，f有极值．三、巩练习习题．1、求下列函数的极值（1）y2xx

（2）1x612a为何值时，函数fsin3x在