【课件】二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时) 课件-人教A版(2019)必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时

一元二次不等式的解法

问题1:

园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20ｍ２，则这个矩形的边长为多少米？

分析:

设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为(12-x)m.

由题意，得(12-x)x>20，

整理得

解出以上这个不等式即可得到结果引入其中x∈{x|0<x<12}x2-12x+20<0，

x∈{x|0<x<12｝

思考1:

与一元一次不等式进行类比，这个不等式有何特点?只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2

思考2:

结合一元一次不等式的定义，你能否给这个新不等式取不名称，并给出这种不等式的一般形式？例如-x2+2x+1>0，2x2+3x>0

,x2-4<0等

1.定义:

一般地，我们把含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。一元二次不等式

2.一元二次不等式的一般形式

ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)其中a,b,c为常数

对于这类不等式应怎样来解它呢

?这就是我们接下来要学习的内容探究新知(一)

问题2:

在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？思考2：当P点纵坐标为0时,如何求P点横坐标?

xyOy=x2-12x+20

在平面直角坐标系中画出二次函数

y=x2-12x+20的图象(右图)P(x,y)

思考1：设P(x,y)是图象上的一个动点

,当P移动到x轴上方,x轴上和x轴下方时,P点纵坐标y的符号是怎样的？P(x,y)P(x,y)P在x轴上方时:y>0P在x轴上时:y=0P在x轴下方时:y<0P(x,0)解方程x2-12x+20=0得x=2或10

思考3：一元二次方程x2-12x+20=0的根与二次函数y=x2-12x+20有何关系?

210方程x2-12x+20=0的根2和10就是

函数y=x2-12x+20上纵坐标为0点的横坐标

思考4：函数y=x2-12x+20的两个零点2和10将x轴分成三段,每一段(不含零点)对应的函数图象有何特点？对应的函数值的范围又如何?y>0函数图象在x轴上方,xyOy=x2-12x+20210二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做函数y＝ax2＋bx＋c的零点．当x<2或x>10时:y<0函数图象在x轴下方,当2<x<10时:

思考4:你能从图象上看出不等式x2-12x+20<0的解集吗?x2-12x+20<0就是y<0,而y<0时,2<x<10∴不等式x2-12x+20<0的解集为{x|2<x<10}判别式△=b2-4ac△>0△=0△<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集yxOx1x2xyOyxOx1=x2

问题3:

上述方法可以推广到求一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c<0(a＞0)的解集吗？

对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)、一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)、以及与相对应的函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)之间是否也具有类似的关系？

你能完成下表吗？探究新知(二)判别式△=b2-4ac△>0△=0△<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有两相异实根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2}有两相等实根

x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxO∅∅R没有实根yxOx1=x2二次函数、一元二次方程、不等式间的关系例1.求不等式x2－5x＋6＞0的解集.画出y＝x2－5x＋6的大致图象由图象得，x2－5x＋6＞0的解集为{x|x＜2，或x＞3}．例析由x2－5x＋6＝0得Δ=(-5)2-4×1×6=1＞0∴方程有两个实数根,解此方程得x1＝2，x2＝3，解：思考：x2－5x＋6<0的解集是什么？

x2－5x＋6≤0呢？

{x|2<x＜3}{x|2≤x≤

3}例2.求不等式9x2－6x＋1＞0的解集.画出y＝9x2－6x＋1的大致图象由图象得，由9x2－6x＋1=0得Δ=(-6)2-4×9×1=0∴方程有两个相等实数根解：思考1：9x2－6x＋1≥0

的解集是什么？

思考2：9x2－6x＋1<0

的解集是什么？

9x2－6x＋1≤0呢？

R例3.求不等式－x2＋2x－3＞0的解集.画出y＝x2-2x+3的大致图象由x2-2x+3=0得Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0∴方程没有实数根解：思考1：－x2＋2x－3＞0的解集为什么不是R？

思考2：－x2＋2x－3<0

的解集是什么？∵我们首先将－x2＋2x－3＞0化成与之等价的不等式x2-2x+3<0，作的也是y＝x2-2x+3的图象

∴

利用y＝x2-2x+3的图象取解集时应看对应的不等式x2-2x+3<0。

事实上，若直接画出y=－x2＋2x－3的图象，其开口是向下的。原不等式可化为x2-2x+3<0由图象得，－x2＋2x－3＞0的解集为因为我们作的是y＝x2-2x+3的图象，此时－x2＋2x－3＞0已被化成的解集为什么不是R？

R思考3：如何求x2系数a为负的一元二次不等式的解集？因为我们作的是y＝x2-2x+3的图象，此时－x2＋2x－3＞0已被化成的解集为什么不是R？

对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.

思考4：根据以上三个例题，你能归纳出解一元二次不等式的主要步骤吗？解一元二次不等式的主要步骤(1)检查二次项系数

将不等式化为一般形式，并检查二次项系数

a的正负，对于a<0的不等式，将a化为正数。(2)解对应的方程

若∆≥0，求出方程ax2+bx+c=0的根;

若∆<0，则方程ax2+bx+c=0无根。(3)画图象

画出对应函数y=ax2+bx+c的大致图象。(4)取解集

根据图象写出对应不等式的解集:有根时：大于取两边，小于取中间，等于取根点无根时：大于取R，小于取Φ查系数解方程画图象取解集将原不等式化为ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的形式计算Δ=b2-4ac的值.方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，解得x1，x2（x1＜x2）方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，解得方程ax2＋bx＋c=0没有实数根原不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}原不等式的解集为原不等式的解集为RΔ＞0Δ=0Δ<0

思考5：根你能以能化为ax2＋bx＋c＞0为例，用框图来表示求其解集的具体过程吗？(教材P53第1题）练习(教材P53第2题)课堂小结

2.说说二次函数与一元二次方程、不等式的关系是怎样的？1.本节课我们是如何来研究一元二次不等式的解法的？

从实际问题入手，利用函数、方程、不等式的关系，结合二次函数的图象，求出不等式的解集，再把这种方法推广到一般情况，得到解一元二次不等式的方法。一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函数y=ax2+bx+c设y=0一元二次方程ax2+bx+c=0设y≠0一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)右边化为0，左边设为y二次函数函数y=ax2+bx+c的零点（1）形式上(2)数值上一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）解集的端点判别式△=b2-4ac△>0△=0△<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有两相异实根x1,x2(x1<x2){x|x<x