初二下期末几何压轴题与解析

初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连结EB、FD，交点为G．〔1〕当四边形ABCD为正方形时〔如图1〕，EB和FD的数量关系是_____________；〔2〕当四边形ABCD为矩形时〔如图2〕，EB和FD拥有怎样的数量关系?请加以证明；〔3〕四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明原因；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．难度一般：证全等即可〔第三问，图1中就能看出是45°。〕解〔1〕EB=FD。〔2〕EB=FD。证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD〔3〕解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF设∠AEB为x°，那么∠ADF也为x°于是有∠BED为〔60-x〕°，∠EDF为〔60+x〕°∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-〔60-x〕°-〔60+x〕°=60°2、：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延伸交DC的延伸线于点F，连结BF．1〕求证：△ABE≌△FCE；〔2〕假定AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．简单题证明：〔1〕如图1．在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．

ADBCEFAD1〔2〕∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．∵3CB四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．E42∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．F图113、：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．〔1〕要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个极点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．AAAADEDEDEBCBCBCBCFFF图4图1图2图3〔2〕假定按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，获得1个正方形，将它的面积记为S1，那么S1=___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪〔如图3〕，获得2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为S2，那么S2=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪〔如图4〕，获得4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和记为n次裁剪获得．S3；按照同样的方法持续操作下去??，第_________个新的正方形，它们的面积的和A．Sn=______________．〔题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。〕本题相当于中考12题的简单题BC解：〔1〕如图2；-------------1分图2〔2〕1，1，2n1，1．----------6分482n14、：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的极点A在x轴的正半轴上运动，极点D在y轴的正半轴上运动〔点A，D都不与原点重合〕，极点相交B，C都在第一象限，且对角线AC，BD于点P，连结OP．1〕当OA=OD时，点D的坐标为______________，∠POA=__________°；

yC〔2〕当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；DP3〕设点P到y轴的距离为d，那么在点A，D运动的过程中，d的取值范围是________________．

BO

A

x〔第二问：如果点P到OP“所平分的角〞的两边的距离相等，即可。〕〔第二问的题外题：当OA＞OD时，求证：OP平分∠DOA；〕2解：〔1〕(0,22)，45；证明：〔2〕过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N．〔如图3〕∵四边形ABCD是正方形，∴PD=PA，∠DPA=90°．yC∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．D1PN∵∠NOM=90°，∴四边形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠BNPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．2在△DPN和△APM中，∠PND=∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，OAMx∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．∴OP平分∠DOA．图3〔3〕2d≤22．-5、：如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的y极点A，C的坐标分别为〔4,0〕，〔0,3〕．将△OCA沿直线CA翻折，获得△DCA，且DA交CB于点E．〔1〕求证：EC=EA；

DECB2〕求点E的坐标；3〕连结DB，请直接写出四边形DCAB的周长和面积．．．．．OAx〔第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长〕〔第三问的证明：过D做DM⊥AC于M，过B做BN⊥CA于N，那么由相像可得，DM=BN=梯形的高〔能求出详细数〕，CM=AN〔详细数〕还看得DB=MN〔详细数〕这样即可求出周长，有可求出头积。〕证明：〔1〕如图1．∵△OCA沿直线CA翻折获得△DCA，∴△OCA≌△DCA．∴∠1=∠2．∵四边形OABC是矩形，∴OA∥CB．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．解：〔2〕设CE=AE=x．∵点A，C的坐标分别为〔4,0〕，〔0,3〕，∴OA=4，OC=3．∵四边形OABC是矩形，∴CB=OA=4，AB=OC=3，∠B=90°．在Rt△EBA中，EA2EB2BA2，∴x2(4x)232．解得x25．∴点E的坐标为(25,3)．883〕62，192．5256、：△ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连结ED，MN．〔1〕在图1中证明MN垂直平分ED；〔2〕假定∠EBD=∠DCE=45°〔如图2〕，判断以M，E，N，D为极点的四边形的形状，并证明你的结论．AAMMEEDDFB图2CBFNCN3第一问，连结EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD，NE=ND，所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。〔有△ADF≌△BDC，得AF=BC，〔还得∠MDA=∠NDB，证直角时用〕，进而得菱形，再证一直角得正方形，〕1〕证明：连结EM，EN，DM，DN．〔如图2〕∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=1AF．1AF，EN=1BC，DN=12同理，DM=BC．222∴EM=DM，EN=DN．∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．〔2〕判断：四边形MEND是正方形．证明：连结EM，EN，DM，DN．〔如图3〕∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，ADF=∠BDC，〔Rt∠〕DF=DC，∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC，∠1=∠2．∵由〔1〕知DM=11AF=AM，DN=BC=BN，22DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由〔1〕知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四边形MEND是正方形．

A1M3ED4FB2CN图37、〔6分〕如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点〔不与点A、点D重合〕，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联络BP、BH。1〕求证：∠APB＝∠BPH；2〕求证：AP＋HC＝PH；3〕当AP＝1时，求PH的长。4第一问，设∠EPB=∠EBP=m，那么∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因为∠APB=PBC，所以，∠APB=∠BPH。第二问的题外题：将本题与北京141之东城22和平谷24放在一同，旋转翻折共同学习；本题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°不能抵达目的，于是延BP翻折，翻折后的节余局部△BQH与△BCH也可全等，即可抵达目的，还存心外收获：证得∠PBH=45°。第三问，代数方法的勾股定理。1〕证明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。〔2分〕2〕证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，由1〕知，∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH。〔4分〕〔3〕由〔2〕知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。设QH＝HC＝x，那么DH＝4x。在Rt△PDH中，PD2DH2PH2，即x12324x2，解得x2.4，∴PH＝3.4〔6分〕8、〔6分〕如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延伸，与BA的延伸线交于点G，假定∠EFC＝60°，联络GD，判断△AGD的形状并证明。5〔也可问∠ADG的度数。〕判断：△AGD是直角三角形。证明：如图联络BD，取BD的中点H，联络HF、HE，∵F是AD的中点，

HFABHF1AB，∴∠1＝∠3。//,2同理，HE//CD，HE＝1CD，∴∠2＝∠EFC。2AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠EFC。∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等边三角形。

∴AF＝FGAF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝90°，即△AGD是〔特殊〕直角三角形。6〔GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。〕、阅读以下材料：小明碰到一个问题：AD是△ABC的中线，点M为BC边上随意一点〔不与点D重合〕，过点M作一直线，使其平分△ABC的面积．他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．7ANBMDC图1请你参照小明的做法，解决以下问题：1〕如图2，在四边形ABCD中，AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其平分四边形ABCD的面积〔要求：在图2中画出直线MN，并保留作图印迹〕；〔2〕如图3，求作过点A的直线AE，使其平分四边形ABCD的面积〔要求：在图3中画出直线AE，并保留作图印迹〕．A

DBCDACMEB图2图3〔第二问，把△ABC的面积接到DC的延伸线上。〕11、：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且〔1〕如图1，判断AE与BF有怎样的地点关系？写出你的结果，并加以证明；

AF＝DE．2〕如图2，对角线AC与BD交于点O．BD、AC分别与AE、BF交于点G，点H．①求证：OG＝OH；②连结OP，假定AP＝4，OP＝2，求AB的长．EEDCDCGFFOP

PHABAB图2图1【第二问①，证△AOG≌△BHO，第二问②，〔在OB上截取BQ=AP，那么△APO≌△BQO，得OP=OQ，AP=BQ，也可得∠OPG=∠OQP，又∠EPB=90°，最终得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，进而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根号13.〕】12、：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，BC=b，ADDC=ab，且ba，点M是AB边的中点．〔1〕求证：CM⊥DM；M〔2〕求点M到CD边的距离．〔用含a，b的式子表示〕BC8〔我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路：过M做BC的平行线，交DC于Q，那么可证MQ=DQ=CQ，MD平分∠ADC，MC平分∠BCD，及∠DMC=90°，；M到CD的距离也就是Rt△DMC斜边的高MN，MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab，〕证明：〔1〕延伸DM，CB交于点E．〔如图3〕∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADM=∠BEM．∵点M是AB边的中点，AD∴AM=BM．在△ADM与△BEM中，MADM=∠BEM，∠AMD=∠BME，EBCAM=BM，图3∴△ADM≌△BEM．∴AD=BE=a，DM=EM．∴CE=CB+BE=ba．∵CD=ab，∴CE=CD．∴CM⊥DM．解：〔2〕分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．〔如图4〕∵CE=CD，DM=EM，∴CM平分∠ECD．ADN∵∠ABC=90°，即MB⊥BC，∴MN=MB．M∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°．∵∠DFB=90°，∴四边形ABFD为矩形．EC∴BF=AD=a，AB=DF．∴FC=BC－BF=ba．BF∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，图4∴DF2DC2FC2=(ab)2(ba)2=4ab．∴DF=2ab．∴MN=MB=1AB=1DF=ab．22即点M到CD边的距离为ab．13、：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为〔6，0〕，〔0，2〕．点D是线段BC上的一个动点〔点D与点B，C不重合〕，过点D作直线y＝－1x＋b交折线O－A－B于点E．2〔1〕在点D运动的过程中，假定△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；〔2〕如图2，当点E在线段OA上时，矩形OABC对于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′，C′B′分别交CB，OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA于点N，E．探究四边形DMEN各边之间的数量关系，并对你的结论加以证明；〔3〕问题〔2〕中的四边形DMEN中，ME的长为____________．yyO'C'CDNBCBAOMEA'xAOxB'图2图19本题难度对于初二学生相当于25题。OED=∠OED〔对称性质〕，得菱形。【好好学习第一问的解题方法，第二问由两组平行可得平行四边形，∠1第三问，E在OA上时，DE的长度不变，为2倍根号5，〔延x轴平移△DME使D与C重合，设DM=EM=x，代数法用勾股定理可求得ME的值。】解：〔1〕∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为(6,0)，(0,2)，∴点B的坐标为(6,2)．y假定直线y1xb经过点C(0,2)，那么b2；2假定直线y1xb经过点A(6,0)，那么b3；2假定直线y1xb经过点B(6,2)，那么b5．2

DCBAOEx图6①当点E在线段OA上时，即2b3时，〔如图6〕∵点E在直线y1xb上，2当y0时，x2b，∴点E的坐标为(2b,0)．∴S12b22b．2②当点E在线段BA上时，即3b5时，〔如图7〕∵点D，E在直线y1b上，x2当y2时，x2b4；当x6时，yb3，∴点D的坐标为(2b4,2)，点E的坐标为(6,b3)．S矩形SSS∴SOABCCODOAEDBE621(2b4)21(b3)61[6(2b4)][2(b3)]2222b(b3),综上可得：S2b25b(3b5).2〕DM=ME=EN=ND．证明：如图8．∵四边形OABC和四边形O′A′B′是C矩′形，∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四边形DMEN是平行四边形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC对于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′，C′∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．ND=NE．∴四边形DMEN是菱形．DM=ME=EN=ND．-〔3〕答：问题〔2〕中的四边形DMEN中，ME的长为2.5．

yCDBEOAx图7b25b．yO'C'CDNBAOMEA'xB'图810、探究问题1：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连结DE，DF．假定DE=kDF，那么k的值为_____．AAAFFDDDFMMMBCCECBBEE图1图2图3拓展问题2：如图2，三角形且ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连结DE，DF．求证：DE=DF．推广2中的条件“CB=CA〞变为“CB≠CA〞，其他条件不变DE与DF问题3如图3，假定将上面问题，试探究之．．．．．．间的数量关系，并证明你的结论〔第三问，取BM和AM的中点，结构全等三角形，问题1k的值为1．--问题2证明：如图9．∵CB=CA，∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC，∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC，即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM与△BEM中，AFM=∠BEM，MAF=∠MBE，MA=MB，∴△AFM≌△BEM．∴AF=BE．∵点D是AB边的中点，∴BD=AD．在△BDE与△ADF中，BD=AD，DBE=∠DAF，BE=AF，

〕122某区的模拟题与此高度相像，AFDMBCE图9∴△BDE≌△ADF．∴DE=DF．问题3解：DE=DF．证明：分别取AM，BM的中点G，H，连结DG，FG，DH，EH．〔如图10〕∵点D，G，H分别是AB，AM，BM的中点，11DG∥BM，DH∥AM，且DG=1BM，DH=1AM．22∴四边形DHMG是平行四边形．∴∠DHM=∠DGM，∵ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，∴∠AFM=∠BEM=90°．∴FG=1AM=AG，EH=1BM=BH．∴FG=DH，DG=EH，-A22GF∠GAF=∠GFA，∠HBE=∠HEB．∴∠DMFGM=2∠FAM，∠EHM=2∠EBM．∵∠BHCFAM=∠EBM，∴∠FGM=∠EHM．E图10∴∠DGM+∠FGM=∠DHM+∠EHM，即∠DGF=∠DHE．在△EHD与△DGF中，EH=DG，∠EHD=∠DGF，HD=GF，∴△EHD≌△DGF．∴DE=DF．16、如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上随意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F。〔1〕求证：DE－BF＝EF；〔2〕假定点G为CB延伸线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系〔不需要证明〕；〔3〕假定AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并经过计算来考证你的结论。第一问，证全等即可得AE=BF，AF=DE。第三问，各三角形相像，两直角边的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。解：〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG12DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE，∴△ABF≌△DAEBF=AE，AF=DE；∴DE-BF=AF-AE=EF2〕如图②，DE+BF=EF3〕EF=2FG过程：∵AB=2a，点G为BC边中点，∴BG=a由勾股定理可求AG5a又∵AB⊥BC，BF⊥AC，∴由等积法可求BF25a5由勾股定理可求AEBF

FG5a，AF45a552525a,EFa，∴EF=2FG。5517、如图，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG〔BE<AB〕，连结EG并延伸交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为点N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1。〔1〕证明：四边形MPBG是平行四边形；〔2〕设BE=x，四边形MNBG的面积为y，求y对于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；〔3〕如果按题设作出的四边形MPBG是菱形，求BE的长。〔图中的三角形多是等腰直角三角形，〕证明：〔1〕∵ABCD、BEFG是正方形∴∠CBA=∠FEB=90°，∠ABD=∠BEG=45°，∴DB∥ME。∵MN⊥AB，CB⊥AB，∴MN∥CB。∴四边形MPBG是平行四边形；〔2〕∵正方形BEFG，∴BG=BE=x。∵∠CMG=∠BEG=45°，∴CG=CM=BN=1－x。∴y=1〔GB+MN〕·BN=1〔1+x〕〔1－x〕=1－1x2，〔0<x<1〕；2222〔3〕由四边形BGMP是菱形，那么有BG=MG，即x=2〔1－x〕。解得x=2－2，∴BE=2－2。18、将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再持续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时获得了两个完全重合的矩形〔其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无空隙、无重叠的矩形〕，我们称这样两个矩形为“叠加矩形〞．请达成以下问题：131〕如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形〞吗？如果能，请在图②中画出折痕；2〕如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其极点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形〞为正方形；〔3〕如果一个三角形所折成的“叠加矩形〞为正方形，那么它必须知足的条件是．解：〔1〕A??????????????????2分BC〔说明：只要画出折痕．〕〔2〕ABC〔说明：只要画出知足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可．〔3〕三角形的一边长与该边上的高相等F19、考考你的推理与论证〔本题6分〕如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延伸线于F，且AFBD，连结BF．〔1〕求证：D是BC的中点；B〔2〕如果ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．难度一般

〕AEDC解〔1〕证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.E是AD的中点，∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.AF=BD，∴BD=CD.，∴D是BC的中点．〔2〕四边形AFBD是矩形，AB=AC，D是BC的中点,AD⊥BC，即∠ADB=90°

F

AE∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是矩形．

BDC20、拓广与探索〔本题7分〕如图〔1〕，Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点.14〔1〕求证：四边形DFGE是平行四边形；〔2〕如果把Rt△ABC变为随意△ABC，如图〔2〕，经过你的察看，第〔1〕问的结论是否仍旧建立？〔不用证明〕；〔3〕在图〔2〕中，试想：如果拖动点A，经过你的察看和探究，在什么条件下？四边形DFGE是矩形，并给出证明；4〕在第〔3〕问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形〔不用证明〕．〔图1〕〔图2〕〔第三问，AB=AC时。第四问，AB=AC，且底边上的高是BC的3/2倍时是正方形。保持这种高与边的比，可是，AB≠AC时是菱形。〕21、如图，点A〔0，4〕，点B(3,0)，点P为线段AB上的一个动点，作PMy轴于点M，作PNx轴于点N，连结MN，当点P运动到什么地点时，MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长.yAMPONBxMN=OP，所以OP⊥AB时，MN也就是OP最小，OP=12/5.〕ABCDAD∥BC，AB=AD=DC=，°，于点，初三相像形22、如图，在梯形中，460AEBDECF是CD的中点，连结EF．〔1〕求证：四边形AEFD是平行四边形；〔2〕点G是BC边上的一个动点，当点G在什么地点时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；〔3〕在BC边上可否找到此外一点G，使四边形DEGF的周长与〔2〕中矩形DEGF的周长相等？请简述你的理由.15AEB〔第二问，点G为BC中点时，也是AE的延伸线与BC的交点。第三问，能找到。以下方做△GEF≌△GFE，G在BC上，可是不与G重合，〕1190oABCDABCDBCD，且AB1BC2CD23、(9分)在梯形中，∥，，，和BD相交于点O，等腰直角三角板的直角极点落在梯形的极点C上，使三角板绕点C〔1〕如图9-1，当三角板旋转到点E落在BC边上时，线段DE与BF的地点关系是是；

DFCEF为一边在EF的2ABAC。对角线旋转。，数量关系〔2〕持续旋转三角板，旋转角为，请你在图9-2中画出图形，并判断〔1〕中结论还建立吗？如果成立请加以证明；如果不建立，请说明原因；＃【】〔3〕如图9-3，当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，EF与CD相交于点P，假定OF5，6求PE的长。ABABABOOFOEPDCFDCDCE图9-1图9-2图9-3〔第三问，证明两次相像，推导比率关系。〕多看看解：〔1〕垂直，相等；?????2分〔2〕绘图如图〔答案不唯一〕ABAB1O

OF45E32a2PD1CDMC3FE〔1〕中结论仍建立。证明如下：过A作AMDC于M，那么四边形ABCM为矩形。∴AM=BC=2，MC=AB=1。CD2AB，∴DM1。∴DC=BC。2∵2CEF是等腰直角三角形,ECF90o，CECF.16BCDECF90o，DCEBCFDCBCDCEBCFCECFDCEBCF，DEBF,12。又34，5BCD90DEBF，线段DE和BF相等并且互相垂直。〔3〕AB∥CD，AOB∽COD，ABOAOB.OAOB1CDOCODAB1,CD2,，.OCOD2在RtABC中,ACAB2BC2145.OA522。同理可求得OB。33ABOF2PD31CEOF5，AFOA5ACOF。6522CECF。290o,45o。BCCD,BCDOBC由〔2〕知DCEBCF，12。又3OBC45o，CPE∽COB。PECE.PE5102。PE。OBBC22263初三相像形24、(9分)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)。动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动2秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿3AO向终点O运动。当其中一点抵达终点时，另一点也停止运动。设点P的运动时间为t〔秒〕。1〕用含t的代数式表示OP，OQ；2〕当t1时，如图10-1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰巧落在CB边上的点D处，求点D的坐标；3〕连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，获得直？假定能，求出相应的t值；假定不能，说明原因。

△EPQ，如图10-2。问：PQ与AC可否平行？PE与AC可否垂17解：〔1〕OP6t，OQt2。3〔2〕当t1时，过D点作DD1OA，交OA于D1，如图1，?????3分那么DQQO5，QC4，CD1，D(13)，。33〔3〕①PQ能与AC平行。假定PQ∥AC，如图2，那么OPOA，即6t6，OQOCt23314，而0≤t≤7，t14。t939②PE不能与AC垂直。假定PEAC，延伸QE交OA于F，如图3，t2那么QFOQQF3。QF5t2ACOC3533EFQFQEQFOQ5t2t3

。2(51)t2(51)。??7分33又Rt△EPF∽Rt△OCA，PEOC6t3，tEFOA(51)26t3

。而0≤t≤73

，∴t不存在。25、锐角△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，DE⊥AB于E，延A长ED交BC的延伸线于点F.(1)当∠A=40°时，求∠F的度数；E(2)设∠F为x度,∠FDC为y度,试确定y与x之间的函数关系式.DB第二问，∠B+x=90°，x+y=∠B，所以y=90°-2x。解〔1〕∵AB=AC，∴BACB..

CF18∵∠A=40°，∴B70.∵DE⊥AB，∴BEF90.∴F20.〔2〕∵BC，∴A1802B.∴FDCADE90A90(1802B)902B.在△BEF中，∵BEF90，∴B90F...∴FDC901802F902F.y2x90.26、如图1，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连结AE、GC．1〕试猜测AE与GC有怎样的数量关系；2〕将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连结AE和GC.你认为(1)中的结论是否还建立？假定建立，给出证明；假定不建立，请说明原因；〔3〕在〔2〕的条件下，求证：AE⊥GC．〔友情提示：旋转后的几何图形与原图形全等〕延伸相交可证得垂直，解：〔1〕猜测：AE=GC2〕答：AE=CG建立.证明：∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=DC，DE=DG，ADC==EDG=90.

AEDBCF1+3=2+3=90.∴1=2.，∴△ADE△CDG.，∴AE=CG.DA5〔3〕延伸AE，GC相交于H，由〔2〕可知15=4.326又∵56=90，47=180DCE=90，G∴6=7.B74ECH又∵6AEB=90，∴AEB=CEH..FCEH7=90.EHC=90.，∴AEGC.?27、如下列图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16。动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点抵达端点时另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t〔秒〕。〔1〕当t为何值时，四边形PQDC的面积是梯形ABCD的面积的一半；2〕四边形请说明原因．3〕四边形

PQDCPQDC

能为平行四边形吗？如果能，求出t的值；如果不能，能为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．19〔第一问，t=37/6，第二问，t=5，第三问，不能，∠QPC大于90°，不能等于∠DCP，；本题扩展：如果延DA、CB方向移动，那么能够出现等腰梯形。〕28、〔12分〕如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．1〕在不增添线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；

MAD2〕判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形？3〕当等腰梯形ABCD的高h与底边BC知足怎样的数量关系

EFBNC时？四边形是正方形〔直接写出结论，不需要证明〕．MENF两对；菱形；一半。39、E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：AEFG.简单题：连结CE，那么CE=FG，再证全等即可。证明：连结CE∵四边形ABCD为正方形AB＝BC，