【公开课课件】选修2-1-第三章 3.2 第2课时

第三章

§3.2立体几何中的向量方法第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题问题导学知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔

⇔

.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b＝0知识点二向量法判断线面垂直设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔

.a＝kμ(k∈R)

若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v

⇔μ·v＝0⇔

.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0知识点三向量法判断面面垂直[思考辨析判断正误](1)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量.(

)(2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直.(

)(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.(

)(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.(

)√√√×题型探究例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，类型一线线垂直问题证明证明

设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.证明证明

∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，证明类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.证明

如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.证明跟踪训练2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.证明

如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.证明类型三证明面面垂直问题例3三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝

，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点.证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明

方法一

如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2).令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0).∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明跟踪训练3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；证明

以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.解答(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.解

由于点M在直线AE上，达标检测答案解析123451.下列命题中，正确命题的个数为①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β

⇔

n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4√解析

①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确.答案2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)12345√解析解析

因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.答案解析3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则A.l∥α

B.l⊥αC.l⊂α

D.l与α斜交12345√解析

∵a∥μ，∴l⊥α.答案解析4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是A.平行

B.相交但不垂直

C.垂直

D.不能确定12345√解析

∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.空间垂直关系的解决策略规律与方法

几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90°.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，则l⊥α.(2)若l∥m，m⊥α