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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩,算法框图中输入的,,,,为茎叶图中的学生成绩,则输出的,分别是()A., B.,C., D.,2.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.3.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()A. B.C. D.4.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或05.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()A. B.2 C. D.36.已知.给出下列判断:①若,且,则;②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称;③若在上恰有7个零点,则的取值范围为;④若在上单调递增,则的取值范围为.其中,判断正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.47.已知三棱柱()A. B. C. D.8.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.9.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.10.从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为A.48 B.72 C.90 D.9611.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.12.设实数x,y满足条件x+y-2⩽02x-y+3⩾0x-y⩽0则A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.春天即将来临,某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株,设为其中成活的株数,若的方差,,则________.14.已知等比数列的前项和为,,且,则__________.15.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面,所在平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积的最大值是__________.16.展开式中项的系数是__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列中,,数列的前项和.(1)求;(2)若,求的前项和.18.(12分)已知函数.(1)求的极值;(2)若,且,证明:.19.(12分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.20.(12分)如图为某大江的一段支流,岸线与近似满足∥,宽度为.圆为江中的一个半径为的小岛,小镇位于岸线上,且满足岸线,.现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道(图中粗线部分折线段,在右侧),为保护小岛,段设计成与圆相切.设.(1)试将通道的长表示成的函数,并指出定义域;(2)若建造通道的费用是每公里100万元,则建造此通道最少需要多少万元?21.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.22.(10分)已知函数,函数.(Ⅰ)判断函数的单调性;(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
试题分析:由程序框图可知,框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数,由茎叶图可知,成绩不小于80的有12个,成绩不小于60且小于80的有26个,故,.考点:程序框图、茎叶图.2.A【解析】
对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.3.D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为,又因为鸡蛋的体积为,所以球的半径为,所以球心到截面的距离,而截面到球体最低点距离为,而蛋巢的高度为,故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题,考查球体有关的知识.在解答过程中,如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时,可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面,然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.4.C【解析】
求出函数的导函数,当时,只需,即,令,利用导数求其单调区间,即可求出参数的值,当时,根据函数的单调性及零点存在性定理可判断;【详解】解:∵(),∴,∴当时,由得,则在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值,∴只需,即.令,则,∴函数在上单调递增.∵,∴;当时,,函数在上单调递减,∵,,函数在上有且只有一个零点,∴的值是1或0.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题,零点存在性定理的应用,属于中档题.5.B【解析】
过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由抛物线解析式知:,准线方程为.,,,,由抛物线定义知:,,,.由抛物线性质得:,解得:,.故选:.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.6.B【解析】
对函数化简可得,进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换,对四个命题逐个分析,可选出答案.【详解】因为,所以周期.对于①,因为,所以,即,故①错误;对于②,函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为,其图象关于轴对称,则,解得,故对任意整数,,所以②错误;对于③,令,可得,则,因为,所以在上第1个零点,且,所以第7个零点,若存在第8个零点,则,所以,即,解得,故③正确;对于④,因为,且,所以,解得,又,所以,故④正确.故选:B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于中档题.7.C【解析】因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=8.B【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.9.A【解析】
利用双曲线:的焦点到渐近线的距离为,求出,的关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线:的焦点到渐近线的距离为,可得:,可得,,则的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出的关系是解题的关键,考查计算能力,属于中档题.10.D【解析】因甲不参加生物竞赛,则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时,共有•=72种选择方案;②当甲学生不参加任何比赛时,共有=24种选择方案.综上所述,所有参赛方案有72+24=96种故答案为:96点睛:本题以选择学生参加比赛为载体,考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识,属于基础题.11.A【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题12.C【解析】
画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直线在y轴的截距加上1,根据图像知,当x+y=2时,且x∈-13,1时,故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意可知:,且,从而可得值.【详解】由题意可知:∴,即,∴故答案为:【点睛】本题考查二项分布的实际应用,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力,属于中档题.14.【解析】
由题意知,继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.【详解】解:由题意知,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式,属于中档题.15.【解析】
根据与相似,,过作于,利用体积公式求解OP最值,根据勾股定理得出,,利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面所在平面内的动点,且满足,又,∴与相似∴,即,过作于,设,,∴,化简得:,,根据函数单调性判断,时,取得最大值36,,在正方体中平面.三棱锥体积的最大值为【点睛】本题考查三角形相似,几何体体积以及函数单调性的综合应用,难度一般.16.-20【解析】
根据二项式定理的通项公式,再分情况考虑即可求解.【详解】解:展开式中项的系数:二项式由通项公式当时,项的系数是,当时,项的系数是,故的系数为;故答案为:【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,注意分情况考虑,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2).【解析】
(1)由条件得出方程组,可求得的通项,当时,,可得,当时,,得出是以1为首项,2为公比的等比数列,可求得的通项;(2)由(1)可知,,分n为偶数和n为奇数分别求得.【详解】(1)由条件知,,,当时,,即,当时,,是以1为首项,2为公比的等比数列,;(2)由(1)可知,,当n为偶数时,当n为奇数时,综上,【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项的求得,以及其前n项和,注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和,属于中档题.18.(1)极大值为;极小值为;(2)见解析【解析】
(1)对函数求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;(2)构造函数,求导并判断单调性可得,从而在上恒成立,再结合,,可得到,即可证明结论成立.【详解】(1)函数的定义域为,,所以当时,;当时,,则的单调递增区间为和,单调递减区间为.故的极大值为;的极小值为.(2)证明:由(1)知,设函数,则,,则在上恒成立,即在上单调递增,故,又,则,即在上恒成立.因为,所以,又,则,因为,且在上单调递减,所以,故.【点睛】本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.19.(1),(2)【解析】
试题分析:利用将极坐标方程化为直角坐标方程:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,即为x+y=1.再利用点到直线距离公式得:设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离试题解析:解:化简为ρcosθ+ρsinθ=1,则直线l的直角坐标方程为x+y=1.设点P的坐标为(2cosα,sinα),得P到直线l的距离,dmax=.考点:极坐标方程化为直角坐标方程,点到直线距离公式20.(1),定义域是.(2)百万【解析】
(1)以为原点,直线为轴建立如图所示的直角坐标系,设,利用直线与圆相切得到,再代入这一关系中,即可得答案;(2)利用导数求函数的最小值,即可得答案;【详解】以为原点,直线为轴建立如图所示的直角坐标系.设,则,,.因为,所以直线的方程为,即,因为圆与相切,所以,即,从而得,在直线的方程中,令,得,所以,所以当时,,设锐角满足,则,所以关于的函数是,定义域是.(2)要使建造此通道费用最少,只要通道的长度即最小.令,得,设锐角,满足,得.列表:0减极小值增所以时,,所以建造此通道的最少费用至少为百万元.【点睛】本题考查三角函数模型的实际应
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