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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,是两条不重合的直线,是一个平面,则下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则2.已知是虚数单位,若,,则实数()A.或 B.-1或1 C.1 D.3.已知向量与的夹角为,定义为与的“向量积”,且是一个向量,它的长度,若,,则()A. B.C.6 D.4.已知变量x,y间存在线性相关关系,其数据如下表,回归直线方程为,则表中数据m的值为()变量x0123变量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.55.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值6.已知函数(e为自然对数底数),若关于x的不等式有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为()A. B. C. D.7.如图所示点是抛物线的焦点,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围是()A. B. C. D.8.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.在长方体中,,则直线与平面所成角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为()A. B. C. D.11.在中,,则()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图,则输出的()A.2 B.3 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式中的系数为_______________.14.已知内角的对边分别为外接圆的面积为,则的面积为_________.15.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:(1)对任意的总有;(2)当,,时,总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.16.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为14万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.(1)若选择生产线①,求生产成本恰好为18万元的概率;(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.18.(12分)已知函数,设的最小值为m.(1)求m的值;(2)是否存在实数a,b,使得,?并说明理由.19.(12分)已知函数,.(1)证明:函数的极小值点为1;(2)若函数在有两个零点,证明:.20.(12分)在三棱柱中,四边形是菱形,,,,,点M、N分别是、的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求四棱锥的体积.21.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记分,“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级不合格合格得分频数624(Ⅰ)若测试的同学中,分数段内女生的人数分别为,完成列联表,并判断:是否有以上的把握认为性别与安全意识有关?是否合格性别不合格合格总计男生女生总计(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取人进行座谈,现再从这人中任选人,记所选人的量化总分为,求的分布列及数学期望;(Ⅲ)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式:,其中.22.(10分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解:选项A中直线,还可能相交或异面,选项B中,还可能异面,选项C,由条件可得或.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.2.B【解析】
由题意得,,然后求解即可【详解】∵,∴.又∵,∴,∴.【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题3.D【解析】
先根据向量坐标运算求出和,进而求出,代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意,则,,得,由定义知,故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算,引入新定义,属于简单题目.4.A【解析】
计算,代入回归方程可得.【详解】由题意,,∴,解得.故选:A.【点睛】本题考查线性回归直线方程,解题关键是掌握性质:线性回归直线一定过中心点.5.C【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义,体积公式分别进行判断.【详解】对于,设平面与直线交于点,连接、,则为的中点分别取、的中点、,连接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面内的相交直线平面平面,由此结合平面,可得直线平面,即点是线段上上的动点.正确.对于,平面平面,和平面相交,与是异面直线,正确.对于,由知,平面平面,与不可能平行,错误.对于,因为,则到平面的距离是定值,三棱锥的体积为定值,所以正确;故选:.【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.A【解析】
若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,利用导数求出的最小值,分别画出与的图象,结合图象可得.【详解】解:,∴,设,∴,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴,当时,,当,,函数恒过点,分别画出与的图象,如图所示,,若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,∴且,即,且∴,故实数m的最大值为,故选:A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,考查了数学运算能力.7.B【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,结合定义表示出;根据抛物线与圆的位置关系和特点,求得点横坐标的取值范围,即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线,则焦点,准线方程为,根据抛物线定义可得,圆,圆心为,半径为,点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动,解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上,总是平行于轴,因而两点不能重合,不能在轴上,则由圆心和半径可知,则的周长为,所以,故选:B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用,圆的几何性质应用,属于中档题.8.D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.9.C【解析】
在长方体中,得与平面交于,过做于,可证平面,可得为所求解的角,解,即可求出结论.【详解】在长方体中,平面即为平面,过做于,平面,平面,平面,为与平面所成角,在,,直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要体现“做”“证”“算”,三步骤缺一不可,属于基础题.10.A【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11.A【解析】
先根据得到为的重心,从而,故可得,利用可得,故可计算的值.【详解】因为所以为的重心,所以,所以,所以,因为,所以,故选A.【点睛】对于,一般地,如果为的重心,那么,反之,如果为平面上一点,且满足,那么为的重心.12.B【解析】
运行程序,依次进行循环,结合判断框,可得输出值.【详解】起始阶段有,,第一次循环后,,第二次循环后,,第三次循环后,,第四次循环后,,所有后面的循环具有周期性,周期为3,当时,再次循环输出的,,此时,循环结束,输出,故选:B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识,经过几次循环找出规律是关键,属于基础题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
把按照二项式定理展开,可得的展开式中的系数.【详解】解:,故它的展开式中的系数为,故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.14.【解析】
由外接圆面积,求出外接圆半径,然后由正弦定理可求得三角形的内角,从而有,于是可得三角形边长,可得面积.【详解】设外接圆半径为,则,由正弦定理,得,∴,,.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理,利用正弦定理求出三角形的内角,然后可得边长,从而得面积,掌握正弦定理是解题关键.15.【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法:对任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,从而可得.【详解】因为是定义在上G函数,所以对任意的总有,则对任意的恒成立,解得,当时,又因为,,时,总有成立,即恒成立,即恒成立,又此时的最小值为,即恒成立,又因为解得.故答案为:【点睛】本题是一道函数新定义题目,考查了不等式恒成立求参数的取值范围,考查了学生分析理解能力,属于中档题.16.18【解析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.【详解】解:根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,已知其中三个个体的编号为5,31,44,故还有一个抽取的个体的编号为18,故答案为:18【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)0.0294.(2)应选生产线②.见解析【解析】
(1)由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障,利用相互独立事件的概率公式即可得解;(2)分别算出两个生产线增加的生产成本的期望,进而求出两个生产线的生产成本期望值,比较期望值即可得解.【详解】(1)若选择生产线①,生产成本恰好为18万元,即A工序不出现故障B工序出现故障,故所求的概率为.(2)若选择生产线①,设增加的生产成本为(万元),则的可能取值为0,2,3,5.,,,,所以万元;故选生产线①的生产成本期望值为(万元).若选生产线②,设增加的生产成本为(万元),则的可能取值为0,8,5,13.,,,,所以,故选生产线②的生产成本期望值为(万元),故应选生产线②.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率,考查了离散型随机变量期望的应用,属于中档题.18.(1)(2)不存在;详见解析【解析】
(1)将函数去绝对值化为分段函数的形式,从而可求得函数的最小值,进而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【详解】(1);(2),若,同号,,不成立;或,异号,,不成立;故不存在实数,,使得,.【点睛】本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用,属于基础题.19.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解:(1)证明:因为,当时,,,所以在区间递减;当时,,所以,所以在区间递增;且,所以函数的极小值点为1(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令,则令,则,所以在单调递增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在单调递减,在区间单调递增,且,又因为,所以,方程关于的方程在有两个零点,由的图象可知,,即.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.20.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)要证面面垂直需要先证明线面垂直,即证明出平面即可;(2)求出点A到平面的距离,然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】(1)连接,由是平行四边形及N是的中点,得N也是的中点,因为点M是的中点,所以,因为,所以,又,,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)过A作交于点O,因为平面平面,平面平面,所以平面,由是菱形及,得为三角形,则,由平面,得,从而侧面为矩形,所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明,求四棱锥的体积,属于一般题.21.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)不需要调整安全教育方案.【解析】
(I)根据题目所给数据填写好列联表,计算出的值,由此判断出在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关.(II)利用超几何分布的计算公式,计算出的分布列并求得数学期望.(III)由(II)中数据,计算出,进而求得的值,从而得出
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