第一篇数学是什么

第一篇数学是什么数学是什么，对于一个学数学的大学生、一个未来的数学教师来说是一个很重要的问题，它涉及到你对数学的基本看法、信念与态度，即数学观的问题。而数学观又在自觉或不自觉地影响着你的数学学习和你将来的数学教学工作。第一章数学的发展历程

数学知识产生于遥远的古代，来源于人类的生产实践活动，随着人类社会生产力的发展而发展。数学的萌芽时期；常量数学时期；变量数学时期；近代数学时期；现代数学时期一、数学的萌芽时期（史前——公元前6世纪）1．数学知识起源于人们的实际需要。⑴数的概念的起源。数的概念的起源于原始人的生产和生活《周易系辞下》：“上古结绳而治，后世圣人，易知以书契”。根据一一对应的原则进行计算，这样使人们逐渐脱离了实物的具体属性，抽象出纯粹的数的概念奠定了意义深远的一步。⑵形的概念的起源人们最初的几何概念基本上不是靠对周围物体的简单的直接观察得来的，而是在为满足自身最必须的生活要求的生产活动中经过抽象产生的。总之，原始人对数学的认识主要是围绕“数”和“形”这两个基本概念逐步发展起来的，当然“数”作为表示事物量的属性的一个抽象概念、“形”作为表示事物空间属性的一个抽象概念，是人类经过上百万年的实践与认识才得到的概念。2．河谷文明与早期数学。兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度的古代文明叫做“河谷文明”。萌芽时期的数学并不能成为一门独立的学科，它只是一种工具，形式上是些无联系的简单法则，用于解决人们日常生活中所碰到的问题。⑴古埃及的数学胡夫金字塔《兰德纸草》和《莫斯科纸草》记载了古埃及的数学成就。

根据纸草书上文字的含义，使人们窥视到古埃及人公元前1650年前就已经学会用数学来管理国家和宗教事物，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，计算建造房屋所需要的砖块数等等。⑵巴比伦的数学（美索不达米亚的数学）①大多数古代文明普遍采用十进制，但古巴比伦人却采用六十进位制。②现在的“星期”来自古巴比伦。太阳、月亮、金星、木星、水星、火星、土星⑶中国数学的萌芽时期。①约在公元前2500年左右，我国已有了圆、方、平、直等形的概念。②我国是世界上最早使用十进位值制记数法的国家。③算筹与筹算。④古书中记载的数学知识。《周易》《墨子》：

平，同高也；圜，一中同长也《庄子》至大无外，谓之大一，至小无内，谓之小一一尺之棰，日取其半，万世不竭斗马术（田忌赛马）今从君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷萌芽时期的数学知识，都是因为生活或生产实践的需要而积累起来的用于解决生产、生活中的问题的经验，往往是把个别的性质用来解答独立的题目，文献中几乎没有任何一般的结论或法则。二、初等数学（常量数学）时期（公元前6世纪——公元17世纪中叶）

初等数学期间，数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形，故将初等数学称之为常量数学。

这一时期的主要成就是系统地创立了初等数学的几何、算术、代数、三角等独立学科。㈠希腊数学时期（公元前6世纪—公元5世纪）。1.最早的希腊数学家是泰勒斯(约公元前624～前547年)泰勒斯证明了下列五条定理：⑴圆的直径将圆分成两个相等的部分；⑵等腰三角形两底角相等；⑶两相交直线形成的对顶角相等；⑷如果一个三角形有两角一边分别与另一个三角形的对应角边相等，那么这两个三角形全等；⑸半圆上的圆周角是直角。2.毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯(公元前572～497年)出生于爱琴海的萨摩斯岛。毕达哥拉斯学派的主要数学成就：⑴几何方面。毕达哥拉斯学派对于平面几何的最大贡献是关于直角三角形的斜边和直角边关系的定理，国际上称为毕达哥拉斯定理(中国人称为勾股定理)⑵理论算术。万物皆数他们认为，人们所知道的一切事物都包含着数；因此，没有数就既不可能表达也不可能理解任何事物；任何一种东西之所以被认识，是因为它包含一种数，没有这种数，心灵什么东西也不能思考，什么东西也不认识。因此，数是先于种种自然的事物的。形数毕达哥拉斯学派的“形数”体现了数形结合的思想方法.现在的数学新教材中应用了“形数”的例子来渗透不完全归纳法的思想.欧几里得（约公元前330年—前275年）对数学的最大的贡献是他撰写了千古流芳的著作《几何原本》.《几何原本》共13卷，一～六卷主要讨论平面几何，七～九卷主要讨论初等数论，十卷主要讨论可公度和不可公度的问题.十一～十三卷主要讨论立体几何.《几何原本》全书共有5条公设,5条公理,119个定义,推出了465个定理.3.欧几里得《几何原本》的问世,标志着数学公理化演绎体系的正式建立《几何原本》成了数学史乃至思想史上一部划时代的名著．4．阿基米德(约公元前287～212)生于西西里岛的叙拉古城.阿基米德的数学著作有《论球和圆柱》、《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》等十多种著作。阿基米德以他富有独创性的数学成就和在诸多科学领域独具匠心的发明，被人们称之为“数学之神”，无可争议的成为古希腊时期最伟大的数学家及科学家。5．古希腊数学的伟大成就：①使数学成为抽象性的一门学科；②创立了演绎证明；③创立了几何学、三角学，奠定了数论基础等数学学科；④包含了一些高等数学的萌芽；⑤希腊人发现定理及证明，逻辑结构严密，论证认真细致，为后世树立了样板．从公元前30年到公元5世纪希腊数学逐渐衰落了．㈡东方数学时期（公元6世纪－15世纪）中国古代数学⑴中国古代的第一部数学著作．《算数书》——战国时期（公元前475－前221年）《周髀算经》——西汉时期（公元前235－前145年）第一次提出了勾股定理的特例——

勾广三，股修四，径隅五以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之得邪至日邪至日（弦）=我国对勾股定理的证明直到公元3世纪三国时期的吴国人赵爽对《周髀算经》做注释时才给出证明的．赵爽把勾股定理写成：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”．案：弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实亦成弦实”

⑵《九章算术》是中国古代数学理论体系形成的标志．《九章算术》是中国古代重要的一部数学经典著作，它总结了我国先秦至西汉的数学成果，以《九章算术》为标志，中国古代数学初步形成了以问题为中心的算法体系.《九章算术》是一部问题集形式的算书，共有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，按不同算法类型分为九章：第一章“方田”．第二章“粟米”.第三章“衰分”．第四章“少广”．第五章“商功”．第六章“均输”．第七章“盈不足”．第八章“方程”．第九章“勾股”．《九章算术》的内容丰富，就问题而言，它包括了当时社会的生产、工程、分配、交换、行政管理等方面的问题；《九章算术》体例统一，结构合理．书中每题均由题目、答案和术三部分组成，其中“题目”都是用文字叙述的应用题；“答案”都是用具体的数字给出；“术”是解题的方法和计算步骤，其中包含着一般的数学原理、定理和公式．自它问世以后，就成为中国古代数学的经典著作和范本．⑶刘徽的数学成就．刘徽是公元3世纪时的魏晋人，籍贯山东，生卒年不详．《九章算术注》是刘徽留给后世十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．刘徽在几何方面的贡献是他首创了割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．π≈3．14，化为分数为

“徽率”:《中国大百科全书》数学卷这样写道“割圆术是刘徽创造的运用极限思想证明圆面积及计算圆周率的方法．”⑷祖冲之、祖暅的数学成就．祖冲之（公元429—500年），字文远，范阳遒县（今河北省涞水县）人.3．1415926（肭数）＜π＜3．1415927（盈数）圆周率是最常见、常用的数学常量，自古以来为什么世界上各民族、各著名数学家都为之作过不少研究，是因为得出圆周率什么样的近似值，标志着数学水平得到的程度．祖暅原理——幂势既同，则体不容异如果二等高的立体在同高处截二立体的面积恒等，则这两个物体的体积相等。刘徽和祖冲之父子的工作，思想是深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国数学出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度．⑸“算经十书”．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》．①《海岛算经》是刘徽在注《九章算术》的“勾股”章时，利用重差术增加了九个测量海岛等不可倒达的地方高和远的距离的专著。②《孙子算经》．“雉兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何”

“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何．答曰：二十三．术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十．并之得二百三十三，以二百十减之，即得．凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五．一百六以上，以一百五减之，即得”

N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105三人同行七十稀，五树梅花二十一枝，起子团圆正半月，除百零五变得知N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2(mod7)③《缀术》．④《张邱建算经》．“百鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何．⑤《辑古算经》．⑹宋元时期的中国数学．宋元两朝的400多年，即公元960年～公元1368年是中国古代数学发展的鼎盛时期．“宋元四大家”：秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰就是宋元时期最卓越的代表，也是当时世界级的大数学家．这个时期中国古代数学取得了一系列世界一流的成果，达到了世界数学的最高水平，有足够的史料证实，那时的中国是世界上的第一数学强国．①高次方程的数值解法．南宋数学家秦九韶(公元1202~1261年)，在贾宪“增乘开方法”的基础上得到了求高次方程正根的一般方法――正负开方术，彻底解决了在解方程过程中的随乘随加问题，获得了解高次方程的一般方法．西方国家到了1819年的霍纳才得到了相同的结果，比秦九韶的结果晚了700多年．②贾宪三角（杨辉三角）．贾宪三角在欧洲称为“帕斯卡三角”

③高阶等差数列求和．高阶等差数列求和问题来源于北宋时期的沈括（1031－1095）的堆垛问题．有一个顶层宽有a个坛，长b个坛底层宽有c个坛，长d个坛，高为n层的四棱台形垛积，求酒坛个数的总和．沈括认为堆垛的总和:④中国剩余定理．德国的高斯于1801年在《算术探究》一书中提出了解决这类问题的方法——剩余定理，并给出了严格的证明．1876年德国数学史家马蒂生指出孙子定理及大衍求一术与高斯的理论一致，孙子定理才被西方人称为“中国剩余定理．”

⑤高次方程的布列方法――天元术．李冶明确地用天元来代表未知数，和现今代数中的列一元方程解应用题的方法基本上一致．⑥高次方程组布列方法――四元术．朱世杰不仅提出了多元（最多到四元）高次联立方程组的算筹摆置记述方法，而且把《九章算术》等书中四元一次联立方程解法推广到四元高次联立方程．在欧洲，解联立一次方程开始于十六世纪，关于多元高次联立方程的研究还是十八、十九世纪的事．⑦高次内插公式（招差法）．随着历法的进步对数学工具也提出了更高的要求，到了宋元时代便出现了高次内插法.比欧洲牛顿的同样成就要早300多年．⑺中国古代数学的衰落．令人遗憾的是朱世杰的《四元玉鉴》成了数学鼎盛时期的绝唱，从14世纪初进入明代以后，中国古代数学骤然衰落，整个明清两代不仅没有能与《四元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在很长一段时间内，像“天元术”、“四元术”这样一些宋元数学的精粹竟然长期失传，无人知晓．⑻西方数学的传入．16世纪末第一批传教士进入我国①西方数学的第一次传入．利玛窦与徐光启两人开始了紧的翻译工作，直到1606年秋天由利玛窦口译，徐光启执笔合作译完欧几里得《几何原本》前6卷，1607年在北京雕版刊行．利玛窦与徐光启“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学”．徐光启是翻译引进西方数学到中国的第一人，《几何原本》使中国数学界第一次见识到了数学的公理系统与严格的逻辑推理方式．《几何原本》的翻译是中国数学史上的大事，功德无量．②西方数学的第二次传入．直到公元1840年鸦片战争，西方列强用洋枪洋炮轰开了中国闭关自守的打门后，西方数学又第二次传入中国．在西方数学第二次传入过程中，李善兰作出了巨大贡献．1857年李善兰与英国传教士伟烈亚力合译了利玛窦与徐光启尚未完成的《几何原本》后九卷，时隔《几何原本》前六卷中译本250年后我国才有了完整的《几何原本》中译本．李善兰与伟烈亚力还合译了《代微积拾级》十八卷、《代数学》十三卷；与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》三卷，其中《代微积拾级》是中国第一部微积分学的译本．⑼中国古代的数学教育．隋朝统一全国以后，创立了科举制度，科举制度把读书、应考和做官三件事联系起来.隋朝建立了官办的全国最高学府——国子寺，并在国子寺里设立了明算学．明算学内设算学博士(教师)两人，助教两人，从事数学教学工作，有学生80人，可以说这是我国专门的数学教育的开始．唐朝的最高学府——国子监里设有明经、进士、秀才、明法、明书、明算六科．唐朝已形成了一套比较完善的数学教育制度，后来随着贸易和文化交流的开展，中国的数学和教育制度传入朝鲜、日本等邻国．因此，朝、日两国的数学深受中国的影响，他们的数学教育制度和教科书原来基本上是采用中国的．到宋元时代，官办的数学教育日渐衰落，而民间的数学教育却比较盛行．2．印度数学印度是一个宗教盛行的国家，公元前就有了婆罗门教（今天的印度教）、佛教和耆（读pie撇）那教．印度是一个屡次遭受其他民族入侵的国家，历史上曾被马其顿人、匈奴人、阿拉伯人、突厥人、蒙古人、英国人等交替入侵．印度数学曾有一段辉煌的历史，公元3世纪到公元12世纪是印度数学的全盛时期，许多数学成果达到了世界先进水平．⑴印度—阿拉伯数码（阿拉伯数字）．⑵国际象棋的故事．传说国际象棋是印度舍罕王的宰相西萨·班·达依尔发明的.“陛下，就请您赏给我一些麦粒吧，它们只要这样放在棋盘里就行了：第一个格里放一粒，第二个格里放两粒，第三个格里放四粒，以后每一个格里都比前一个格里的麦粒增加一倍．圣明的王啊，只要把这样摆满棋盘上全部六十四格的麦粒都赏给你的仆人，他就心满意足了”，＝18,446,744,073,709,551,615①如果1000粒麦子重为40g，这些麦粒大约合多少吨？宰相所要求的麦粒总数，实际上是等比数列的前六十四项和

:问题：②根据国家粮油信息中心的统计数字显示：2015年度我国小麦总产量为1．27亿吨，2015年世界小麦产量约为7．28亿吨，试问这个大数表示的数量大约是我国几年的小麦产量？世界几年的小麦产量？③小麦平均出面率为85%，一个人每天要吃0．5kg面粉，试问西莎所要的小麦能够13亿中国人吃几年？够全世界65亿人吃几年？汉诺塔问题。传说开天辟地神勃拉玛在印度的一座神庙里留下了三根金刚石柱，并在其中一根柱上从下到上穿好了由大到小的64个圆环，开天辟地神要僧侣们按下列规则把圆环从一根柱上全部移到另一根柱上：⑴每次只能移动一个圆环；⑵任何时候，较大的圆环不能放在较小的圆环上面。而且预言，当64个圆环按上述规则移动到另一根柱上时，世界就将在一声霹雳中毁灭。3．阿拉伯数学无论是东部王国还是西部王国，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度和中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面做出了巨大贡献．⑴起源于翻译的阿拉伯数学．公元830年，崇尚理性的阿巴斯朝的哈里发马蒙（哈里发－国王的意思），在巴格达创立了“智慧馆”．需要说明的是，今天所说的“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家发明的数学，而是泛指用阿拉伯文字写成的数学著作，而且从事数学翻译和研究的学者大多数是波斯人、希腊人、摩尔人、犹太人和欧洲的基督教徒．出生于波斯北部城市花拉子模（今乌兹别克境内）的阿尔•花拉子米（约780～850），其著作通过后来的拉丁文译本，对欧洲近代科学的诞生产生过积极影响．总的说来，虽然阿拉伯数学的创造性与深刻性远不如希腊数学，但在世界数学史上处于承前启后、继往开来的重要地位，可以说阿拉伯数学担负起了精神财富的保存者和传输者的使命，对世界数学的发展做出了巨大贡献．“代数”一词“algebra”，来源于花拉子米的一本数学著作《还原与对消的计算概要》．花拉子米的《代数学》无论在内容上，还是风格上都是一个新的起点花拉子米的著作《印度数字的计算法》也是数学史上十分有价值的数学著作，他用阿拉伯文系统介绍了印度数码、十进位值制记数法及其运算法则．4．阿拉伯数学传入欧洲在传播东方文明并对中世纪欧洲数学做出重要贡献的学者中首推意大利数学家斐波那契．到了公元11、12世纪，阿拉伯的学术著作陆续传入欧洲，激起了欧洲人学习东方科学文化的兴趣和热情，新的思潮开始影响欧洲当时的学术气氛．《算盘书》不仅包含新的印度—阿拉伯数系的计算法则，而且还包含各种实用课题中的大量题目，是中世纪欧洲最重要的数学著作，被欧洲各民族当作学校的标准教材达200年之久．

后人求出了它的通项公式为1，1，2，3，5，8，13，21，34，……“如果每对大兔每月能生育一对小兔，而每对小兔经过两个月能长成大兔，那么由一对小兔开始，一年后可繁殖成多少对兔子？”这个问题的解法引出了著名的斐波那契数列。斐波那契在《算盘书》中记载了一个特别有趣的问题：㈢文艺复兴时期（公元15世纪到17世纪初）的数学．文艺复兴是15世纪到17世纪初在欧洲发生的一场以意大利为发源地和中心，古典希腊、罗马文艺和学术在欧洲各国的复兴的运动．文艺复兴时期，欧洲数学开始走出中世纪的黑夜，在方程论、代数、三角学、商业数学和计算技术等方面取得了一些令人瞩目的成就．1．毕达哥拉斯、柏拉图主义的复活．毕达哥拉斯、柏拉图主义的“万物皆数”及其数学化宇宙观在新的时代背景下得到了复活，欧洲人于是相信自然界是按照数学方式设计的，因而把数和数量关系作为现实世界精华的思想逐渐在学术界占统治地位．基督教将这种思想接过去也顺应提出了“上帝是一个至高无上的数学家，上帝是按照数学方式设计了大自然的”的教条艺术大师达．芬奇就认为大自然按照数学规律运转，自然界的力和运动必须通过对数量的研究来探讨，只有紧紧地依靠数学，才能透过那不可捉摸的思想迷雾．哥白尼和开普勒应用数学研究天体的运动，伽利略应用数学研究地球上的运动，更是使数学成为了解开宇宙间秘密的钥匙．2．代数方程论取得了长足的进展卡丹以x3＋6x=20为例，在他的著作《大术》中给出了形如x3+px=q(p,q＞0)方程的公式解为3．符号代数得到长足发展．⑴文词代数阶段．⑵简字代数或半符号式代数阶段．简字代数是古希腊数学家丢番图在他的著作《算术》中首次使用⑶符号代数阶段．这个阶段的主要特点就是系统地引入字母和符号表示数和数学概念以及它们的运算和关系．大约至17世纪中叶系统的符号代数基本上形成．在他的著作《分析术引论》中，第一次有意识地使用系统的代数字母和符号，用元音字母a，e，i，o，u，y表示未知数，用辅音字母b，c，d，f，g，…表示已知数。韦达(1540～1603)韦达在把这种符号式的代数称为“类的计算术”，以区别于“数的计算术”，并以此作为算术与代数的分界线．由于韦达在建立符号代数方面的卓越贡献，被誉为“西方代数学之父”．1637年法国数学家笛卡尔认为韦达创用的未知数和已知数符号还是不太简洁明快，他采用字母a，b，c，…表示已知数，用字母x，y，z，…表示未知数，初步建立了代数符号系统，发展成为今天的习惯用法．4．数学运算符号的使用．⑴加号“+”和减号“－”是德国数学家韦德曼于1489年首先使用的。韦德曼把加减号这对难舍难离、简洁漂亮的伴侣带到了世界，开创了简洁明快的数学符号的先河．⑵乘除号．数学中的乘号、除号迄今为止都还没有达成国际统一的协定.-欧洲大陆和拉丁美洲派用脚点“．”，用两实心圆点“：”表示乘号和除号；-英国和英联邦各派用脚点“．”与“÷”表示乘除号；-美国派用圆点“·”与“÷”表示乘除号，我国与美国相同．现在世界上乘法记号有a·b、ab（省略乘号）、a×b、a.b、a*b；除法记号有a÷b、、a／b、a:b．

乘号“×”是英国牧师、数学家奥特雷德于1631年在他的著作《数学入门》中首先使用的，奥特雷德认为认为乘法是增加的意思，一种特殊的加法，但又和加法有所不同，于是他把加号斜过来写，便得到了乘法记号；乘号“·”的首先创用有争论，有的说是英国数学家哈利奥特，有的说是笛卡尔，但不管怎样“·”诞生在17世纪的欧洲，除号“÷”于1659年首先出现在瑞士数学家雷恩的一本代数著作中;除号“：”是莱布尼茨首先提出的；分数线“—”或“/”表示除号是阿拉伯数学家首先创用的;⑶等号“＝”的发明人是英国的雷科德．“为了避免枯燥的重复‘isequalto’这个短语表示相等，我采用了一对等长的平行线段‘=’来表示相等，因为任何两样东西，不可能比它们更相等了”．⑷根号最初是德国数学家鲁道尔夫在其1525年编写的一本代数书《求根式》中引入的，当时用“√”表示平方根。笛卡尔巧妙地在鲁道尔夫创用的符号“√”的上面添了一条横线“—”，将根号表示为“”．

⑸大于“＞”和小于“＜”最早于1631年出现在英国数学家、望远镜发明者哈里奥特的遗作《实用分析术》中；小于或等于号“≤”，大于或等于号“≥”是法国数学家布格尔于1734年首先使用的．⑹1593年德国数学家克拉维斯在他的著作《星盘》中首次使用了现代意义上的小数点“．”.当今世界上小数点的使用也没有统一欧洲大陆派（徳、法、俄罗斯等）用逗号作小数点英美派则用实心圆点“．”作小数点，中国使用的是英美派的记法．5．对数的发明．纳皮尔(1550～1617)至少花了20年的时间．终于在1614年发表了题为《奇妙的对数定律说明书》一书，这是世界上第一本对数著作．伽利略说：“给我时间、空间和对数，我可以创造出另一个宇宙．”

拉普拉斯说：“一个人的寿命如果不拿他活在世界上的时间长短来计算，那么可以说，对数的发现不仅避免了冗长的计算与可能的误差，而且实际上倍沿了天文学家的寿命”

值得注意的是，那时指数的概念尚未完成，也没有指数符号，纳皮尔本人更不知“底”为何物，一直到欧拉才发现了指数与对数的天然关系，对数的建立先于指数，到是历史上的珍闻．总之，初等数学的各分支――几何、算术、代数、三角等学科，经过常量数学时期的发展，形成了独立学科，这些知识也是现在中小学数学课的主要内容．三、变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）变量数学产生的原因1．变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明⑴解析几何的创始人是法国数学家笛卡尔和费马笛卡儿于1637年发表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》简称为《方法论》该书有三个附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》笛卡尔在《几何学》中给出了平面曲线与二元方程之间建立起了联系，由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学科——解析几何学笛卡尔通过坐标系将“几何”与“代数”联系起来，从而架起了这两个本性相差甚远的学科之间的关系，这是数学的一个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。恩格斯：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成了必要的了．”

⑵解析几何的基本思想⑶笛卡儿（1596－1661）是法国著名的哲学家、数学家笛卡儿创立解析几何的灵感有两个传说：养成一种喜爱宁静，擅于思考的习惯。⑷费马(1601～1665)“费马大定理”亦称“费马猜想”.毕达哥拉斯方程

他通过类比，把毕达哥拉斯方程中的平方改为立方，后得到方程他在页边批注了这么一段话：“把一个数的立方分成另两个数的立方和，把一个数的四次方分成另两个数四次方的和，或一般地，把一个数的高于2的任何次方分成两个数的同次方的和是不可能的．我确信已找到了一个极佳的证明，但书的空白太窄，写不下．”

他的证明刊在1995年的《数学年刊》之上。英国数学家安德鲁·怀尔斯用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。怀尔斯获得了数学界的最高奖——菲尔茨奖特别奖和沃尔夫奖．德国实业家保罗·沃尔夫斯凯尔，由于一件不可思议的事件，却与费马大定理相伴在一起，鼓励着数以千计的人去攻克这个富有挑战性的问题。在他1908年去世时，他的遗嘱被宣读，他已经把他财产中的一大部分遗赠作为一个奖，规定奖给任何能证明费马大定理的人。奖金为10万马克，按现在的币值计算其价值超过100万英镑。2．变量数学的第二个里程碑是微积分的发明微积分的诞生又是变量数学时期一个划时代的数学成就，是数学史上的伟大创造.十七世纪60年代，牛顿和莱布尼兹各自从运动学和几何学研究的需要独立创建了微积分微积分学基本定理——牛顿—莱布尼兹公式“如果我比其他人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩上”——牛顿⑴牛顿对微积分的贡献艾萨克·牛顿(1642～1727)，1642年12月25日生于英格兰林肯郡的一个小镇乌尔斯索的一个农民家庭12岁时才进入离家不远的格兰瑟姆中学读书，但学习成绩平平，看不出有任何超长之处格兰瑟姆中学的校长史托克斯说了一句科学史上最幸运的预言：“在繁杂的农活中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”

牛顿于1661年夏天以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，1665年获学士学位．1669年巴罗辞去他的教授职位，举荐年仅26岁的牛顿作为卢卡斯讲座教授继承人，并坦然宣称牛顿的学识已经超过自己，一时被传为佳话．1687年7月在他的巨著《自然哲学的数学原理》中第一本公开牛顿微积分的思想，该书成了数学史上的划时代著作．英国诗人蒲普在诗中说：“宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里，神说：‘让牛顿降生吧！一切都会是光明的’”

“心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线希望渐渐变成普照一切的光明．”

⑵莱布尼兹对微积分的贡献．莱布尼兹(1646～1716),世人称他是一个千古卓绝的大智者、哲学家、自然科学家、数学家，被人们称为“博学巨人”．他在巴黎结识了惠更斯等杰出的学者，对数学的兴趣与日俱增，1675年到1676年之间他发明了无穷小算法．当时他并不知道牛顿关于同一问题已完成了“流数术”．1675年10月29日的手稿中，他引用符号“∫”表示变量的求和过程，并看到d和∫是互逆的运算．牛顿和莱布尼兹对微积分作出了同样重要的贡献．虽然牛顿和莱布尼兹创造了微积分的体系，但还存在许多需要完善的地方，无论是牛顿还是莱布尼兹对无穷小概念的认识是模糊的，牛顿也承认他心有余悸．也就是说，微积分刚创立时，基础并不牢固．3．概率论的创立．概率论这样一门重要的数学分支却是起源于赌博问题的研究．⑴概率论的起源与发展．概率论的创始人是帕斯卡和费马。首先，假定每个人都需要再赢一局时比赛中断，只需简单地将64一分为二就行了；第二，假定第一个人需要赢一局而第二个人需要赢两局时，如果第一个人赢得了下一局比赛，他将赢得64，如果他输了，则两人都需要再赢一局，所以根据第一钟情况，第一个人将赢得32，如果他们此时中止比赛，第一个人将有权得到他无论输赢都会得到的32加上剩余32的一半，即48，亦即两次可能赢取数量的平均数．（一，一），即第一个人赢了第一局、第一个人赢了第二局；（一，二），即第一个人赢了第一局、第二个人赢了第二局；（二，一），即第二个人赢了第一局、第一个人赢了第二局；（二，二）,即第二个人赢了第一局、第二个人赢了第二局．问题：①如果是第一个人赢了2局，而第二个人一局没赢，即2：0时结束赌博，第一个人应分得赌注的多少呢？②如果是第一个人赢了1局，而第二个人一局没赢，即1：0时结束赌博，第一个人应分得赌注的多少呢？荷兰数学家惠更斯对他们的讨论很感兴趣，随即加入到他们的讨论之中，并对这些问题进行了深入研究，将研究成果于1557年发表在《论赌博中的推理》一书中，此书被公认为是概率论的奠基之作，这本书直到18世纪仍然是概率论的教材．在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是第二级的概念，但在历史上则相反，是先有期望概念，后有概率概念．法国数学家棣莫弗，他在其著作《随机原理》中首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，提出了正态分布等概念雅各．伯努利对概率论的最大贡献是1713年出版的他的遗作《猜度术》中给出了“大数定律”及其证明，这个定理被后人称之为“伯努利定理”．第一位试图直接解决如何根据观察频率来推算概率问题的人是贝叶斯；18世纪概率论发展的集大成者是拉普拉斯.19世纪末20世纪初俄罗斯数学家异军突起，在概率论方面取得了格外引人注目的成就．把概率论与几何结合起来进行几何概率研究的第一人是法国数学家蒲丰投针问题：把长为l的同质均匀针随机地投向画有多条距离均为a（＞l）的平行线内，求针与直线相交的概率？4．分析学取得了丰硕成果十八世纪的数学家们把他们的天才表现在大胆的发明创造上，尽力发掘和增进微积分的威力，从而使微积分扩展成为一个由许多具有专门应用价值的分支所组成的庞大的领域——分析学，包括常微分方程、微分几何、变分法、无穷级数和偏微分方程．⑴数学史上最多产的数学家――欧拉欧拉(1707～1783)于1707年4月出生在瑞士巴塞尔的一个牧师家庭伯努利真诚而又耐心地劝说欧拉的父亲“让您的儿子作村里的牧师，这是没有道理的，欧拉具有数学的天才，由我来安排、指导他的学习吧！”

欧拉是数学史上最多产的数学家，他生前发表的著作和论文有560余种，死后留下了大量手稿，欧拉自己说他未发表的论文足够彼得堡科学院用上20年，结果是直到欧拉死后76年，彼得堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作．欧拉的论著浩如烟海，足迹几乎涉及所有的数学分支，他在微积分、微分方程、解析几何、微分几何、数论、级数、变分法上都有卓越的贡献欧拉的著作，不仅包含许多开创性的成果，而且在表述上思路清晰，极富启发性，他的行文优美而流畅，把他那些丰富的思想和发现写得淋漓尽致、有声有色，被人们誉为“数学界的莎士比亚”．他首创了现在通用的一些数学符号，如用i表示e表示自然对数的底，f(x)表示函数，∑表示求和号，为以后的学习和研究带来了极大的方便

.①欧拉在微积分方面的贡献．18世纪微积分的最主要成就是欧拉作出的，他的主要成就体现在他的《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》这三部著作中．欧拉又通过对不同函数的展开式以及微分方法和积分方法的讨论，构成了一个关于微积分的理论，把微积分的形式化进行到了十分完善的地步，以致他的微积分书中看不到任何图形．②哥尼斯堡七桥问题．欧拉在《无限小分析引论》中一开始就给出了函数的定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些常量以任何方式组成的解析式”哥尼斯堡当时是德国的一个地区，现是俄罗斯的飞地从某处出发，能否一次通过全部七座桥且每桥只过一次，回到原地？河的两岸及两个小岛这四个地区无论大小，其实只是这七座桥的支撑点，因此他把这四个地区看成是A、B、C、D四个点；而每座桥无论有多宽、有多长，也不管是用什么材料做成，实质上是连接两个点的线，于是他把这七座桥的构成图抽象地画为图欧拉认为，从某处出发，能否一次通过全部七座桥且每桥只过一次，回到原地，就是能否一笔画出这个图形的问题欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法，让哥尼斯堡的居民看到了数学抽象的魅力和数学的威力．一笔画图形最多有一个起点和一个终点，而且起点和终点只有一条曲线与之相连，除这两点外，一笔画图形上任一点处曲线均是一进一出，从而过这些点的曲线条数应是偶数，于是欧拉把起点和终点叫做奇点，其它点叫做偶点，并证明了一个图形能否一笔画当且仅当图形是连通的且奇点的个数只能是0或2。可以看出，虽然图形是连通的，但是每个点都与奇数条线相关联，因而不可能一笔画出。因此，要连续不重复地通过七座桥是不可能的。③多面体欧拉公式．

1750年欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系:V-E＋F=2正多面体只有五种，即：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体呈中空的镜框形也不管框的形状如何，总有V-E＋F=0．④欧拉与哥德巴赫猜想．1742年6月7日哥德巴赫在给欧拉的信中写道：“我不相信关注那些虽没有证明但很可能正确的命题是无用的，即使以后它们被验证是错误的，也会对发现新的真理有益．”然后他说“我也想同样冒险提出一个假设”

每个不小于6的偶数都可写成两个奇素数之和；每个不小于9的奇数都可写成三个奇素数之和．著名的哥德巴赫猜想：1937年哥德巴赫猜想的第二部分，被前苏联数学家维诺格拉多夫证明1920年挪威数学家布朗用“筛法”证明了每一个大偶数是两个素因子都不超过9的殆素数之和（简称9+9）1962年我国山东大学的潘承洞证明了“1+5”

同年王元、潘承洞合作证明了“1+4”

1965年国外的数学家布赫斯塔勃等人证明了“1+3”

1966年5月一颗璀璨的信号弹升上了数学的天空，陈景润在中国科学院的刊物《科学通报》上宣布他已经证明了“1+2”

以此类推，哥德巴赫猜想就是“1+1”

所谓殆素数就是素数因子的个数不超过某一固定常数的奇整数。例如，3×5×7×11就是素因子是4的殆素数。陈氏定理：任何一个充分大的偶数，都可表示成一个素数加上顶多是两个素数的乘积。1978年2月17日，《人民日报》发表徐迟的报告文学《哥德巴赫猜》，描述了陈景润不畏艰苦、勇攀高峰的事迹．“一些业余爱好者会一点儿数学，有一点儿算术基础，就去求证（１＋１），并把所谓的证明论文寄给我．其实像哥德巴赫猜想这样的难题，应该让‘专门家’去搞，不应该成为一场‘群众运动’”

1996年山西晋中的退休中学数学教师刘招荣宣布自己完成了“哥德巴赫猜想”的证明．中科院专门从事哥德巴赫猜想研究的研究员李福安说“２０多年有成千上万的业余爱好者，我就收到了200多封信．他们的选题主要集中在哥德巴赫猜想上．由于猜想表述非常简洁，大多数的人都能懂，所以很多人都想来破解这个难题”，2010年8月，当时已73岁高龄的老人第一次走出国门，受邀参加了在英国剑桥大学举办的世界论坛，在论坛上宣读了凝结自己全部心血的《哥德巴赫猜想的证明》论文。作业：阅读徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》，写一篇读后感。内容要求：⑴哥德巴赫猜想的内容及研究历程；⑵陈景润的生平及他从了解到研究哥德巴赫猜想的历程；⑶发表自己的感想。⑵数学王子高斯．高斯(1777～1855)于1777年4月30日出生在德国的布伦瑞克一个刚从农村搬到城市的劳动者家庭（农民工家庭）。还在3岁的时候，高斯就显出了他的数学才能．高斯10岁那年，新学年刚刚开学，老师为了让他的学生集中精力上课，要求他们将数1、2、3、…连续相加，一直加到100，即1＋2＋3＋……＋100高斯在他的博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词：“献给大公”，“你的仁慈，将我从所有的烦恼中解放出来，使我能从事这种特殊的研究”．高斯在数学世界“处处留芳”．18岁时他就发明了最小二乘法；19岁时发现了正17边形的尺规作图法高斯证明了代数基本定理他的《算术研究》奠定了近代数论的基础1816年左右他就发现了非欧氏几何的原理后人将“复平面”称作为高斯平面高斯厚积薄发、治学严谨，一生发表155篇论文高斯名言：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后，它常常屈尊去为天文学和其他自然科学效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一．”

高斯是近代数学的奠基人之一，他在历史上的影响之大可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列．人们为了纪念这位伟大的数学家，为他建立了一个底座为正17边形的纪念像．⑶柯西的数学功绩．柯西创造力惊人，数学论文像联绵不断的泉水在柯西的一生中喷涌，他出版了7部专著，发表了789篇论文柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法，他的著作《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、《微积分讲义》奠定了以极限理论为基础的现代数学分析体系．柯西的另一个重要贡献是发展了复变函数的理论。在自然科学方面，他在流体力学、弹性理论、光学、天体力学等方面都有突出的贡献．四、近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）1．复变函数的创立是19世纪最伟大的成就．2．代数学取得了多项成果．天才的法国数学家伽罗华在阿贝尔工作的基础上，提出了群的概念，并用于处理可解性问题，获得了重大的超越．伽罗华（1811—1832）是数学史上最年轻、最有创造性的数学家．伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。人们为了缅怀伽罗华在他的出生地法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗华街的第54号房屋的正面有一块纪念牌，上面写着：“法国著名数学家埃瓦里斯特·伽罗华生于此，卒年20岁，1811～1832年”．3．非欧几何的诞生．第五公设——同一平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和小于两直角，则这两条直线经过无限延长后在这一侧相交。自《几何原本》问世后人们总是怀疑这一公设本身就是一个定理，只是欧几里得本人无法证明它，才把他作为公设使用的．有的数学家证明了第五公设与“平面内过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”等价，于是人们把第五公设也叫做平行公设。到了十九世纪初德国数学家高斯、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家J·波尔约，他们采用其它公设替代第五公设，并同时保留欧几里得几何中的其它公设，从而建立起了一个新的没有逻辑矛盾的逻辑体系，这种新几何被人们称为叫做罗巴切夫斯基几何或非欧几何．

1854年，德国数学家黎曼，在哥廷根大学作了题为《论作为几何基础的假设》的作为他被聘为讲师的就职报告，提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗巴切夫斯基那种非欧几何的全新的非欧几何，被人们称为黎曼几何．非欧几何的创立，改变了欧氏几何是描述物质空间唯一真理的看法，使人们认识到“欧几里得几何不是唯一描述物质空间的几何学，不同的公理基础上可以建立不同的几何学体系”.黎曼的非欧几何为爱因斯坦的广义相对论提供了数学依据．爱因斯坦说：“我特别强调刚才所讲的这种几何学的观点，因为要是没有它，我就不能建立相对论”．4．康托尔在十九世纪末创立了集合论．任何一部分事物，当人们把它们作为数学研究对象时，就称为集合.这个集合中每一具体的事物叫做元素，但称之为集合中的元素时，人们已忽略了此事物与所要研究的数学内容无关的其它一切属性．集合论的建立改变了数学各个分支的基本叙述方式，成为现代数学各分支的共同基础.康托尔将集合描述为：6．1900年8月，在法国巴黎举行的国际数学家大会上，著名的数学家希尔伯特，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出了尚未解决的23个数学问题，从而拉开了20世纪数学的帷幕这些问题涉及现代数学的许多重要的领域．5．对数学基础的研究．集合是一个原始概念，只能描述、没有定义。五、现代数学时期（20世纪40年代至今）现代数学的巨大发展，比以往任何时代都更加令人信服地确立了数学作为整个科学技术的基础的地位。数学核心领域（即纯粹数学）的扩展、数学的广泛应用以及计算机与数学的相互影响，是现代数学的三大特征．如果我们把现代数学比喻为一株茂密的大树的话，作为一级学科的数学就是主干，而且包含着许许多多的分枝，按美国《科学评论》杂志的分类，当今数学包括了60多个二级学科，400多个三级学科，更细的分科已难以统计。1．现代数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展．⑴集合论与公理化方法，使纯粹数学的发展趋势更高抽象．集合论观点与公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路．⑵现代数学是领域越来越宽广的学科簇．全世界2005-2015年收录到《科学引文索引》（SCI）的数学论文多达388826篇，涉及到数学的各个学科。⑶现代数学发展的特点和趋势．现代数学的发展主要有两个特点：一是传统数学与前沿理论的融合．二是纯粹数学与应用数学的统一，纯粹数学与应用数学的界限正在消失，纯粹数学的几乎所有分支都获得了应用．2．空前发展的应用数学．自20世纪60年代末、70年代初开始，数学的应用形成了数学与其他科学相互作用、相互促进的大一统趋势，相应地纯粹数学与应用数学的差异在缩小．更重要的是数学在向其他科学渗透的同时，日益起着统一、综合各种科学知识的作用．从某种意义上说，数学似乎成为科学发展的决定因素．数学应用的这个新时代具有以下特点：⑴纯粹数学几乎所有的分支都获得应用．⑵几乎所有的科技领域都在应用数学，并越来越多地应用更高深的数学．华罗庚先生所言那样：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生命之秘，日月之繁等各方面，无处不有数学的重要贡献．”

⑶数学对生产技术的应用变得日趋直接．“汉字激光照排系统印刷技术”，告别了“铅与火”的印刷术革命，谱写了中国印刷业灿烂的篇章．⑷数学在学科发展中的份额及力度越来越加大．数学是一种关键的、普遍适用的、并赋予人以能力的技术．从某种意义上来讲，“高技术本质上是一种数学技术"．现代医学扫描技术(CT扫描)主要也是建立在拉东积分理论的基础之上；3．计算机与数学的相互影响．⑴计算机对数学的影响．在计算机产生以前，数学研究模式可以简单地概括为一张纸、一支笔”。数学学科和计算机技术相结合的现代化的可视性数学研究．我国著名数学家王梓坤院士指出：“由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术．因而今日的数学兼有科学与技术两种品质，这是其他学科所少有的．”

计算机对数学的影响最著名的是“四色定理”的证明。⑵数学对计算机的影响．计算机的发明和发展过程中，数学家冯.诺依曼、图灵等都起了关键的作用任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。1976年，黑肯与阿佩尔从1月份起，他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查，历时1200个小时，作了100亿个判断，最终证明了四色定理。1977年，吴文俊关于平面几何定理的机械化证明首次取得成功，从此完全由中国人开拓的一条数学机械化道路铺展在世人面前，这是国际自动推理界先驱性的工作，他所提出的机械化方法，国外称之为“吴方法”．⑶计算机机器证明．冯.诺依曼提出现代计算机的设计思想图灵为了解决数理逻辑中的一个基本理论问题——相容性以及数学问题机械可解性或可计算性的判别，提出了他的理想计算机的理论。容易理解数学可以帮助人更好地驾驭计算机，计算机越发展就越需要数学修养高的人。2001年2月19日，82岁的中国科学院院士，中国数学机械化研究的创始人吴文俊获首届“国家最高科学技术奖”

第二章数学的三次危机并不是所有的矛盾都称得上危机，只有那些被激化到白热化的矛盾才叫做危机．数学中只有那些白热化威胁到整个数学基础的矛盾或引起普遍危机感的矛盾，才叫做数学危机．一、第一次数学危机“万物皆数”是指“很多事物和现象都可以从数量的方面进行说明和解释，人们所知道的一切事物都包含着数，没有数既不能表达，也不可能理解任何事物，即宇宙中可以归结为简单的整数与整数之比”。毕达哥拉斯学派只认识整数和有理数一切量均可表成整数或整数之比。任何两条线段都有公共的度量单位，称为可公度性．希帕索斯的发现是数学史上第一个无理数的诞生．

第一次危机的真正解决是在1872年德国数学家戴得金利用极限对无理数严格定义后，才算彻底解决．二、第二次数学危机第二次数学危机源于微积分的广泛使用．1734年贝克莱发表题为《分析学家或至一个不信神的数学家》的小册子，矛头自指牛顿的导数（流数）方法.他认为无穷小量，既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬．历经半个世纪的努力，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础．这就是数学史上称之为重建微积分的理论基础“分析严密化运动”．三、第三次数学危机所谓悖论是一个自相矛盾的命题，即如果承认这个命题，就可以推出它的否定．反之，如果承认这个命题的否定，又可以推出这个命题．罗素悖论：设Q是所有不以集合自身为元素的集合作成的集合，即Q={A∣A∉A}，问Q是否属于它本身，即Q∈Q？若Q∈Q，由集合Q的定义知，它是由不以自身为元素的集合作成的集合，因此，Q∉Q；若Q∉Q，由集合Q的定义知，Q∈Q。理发师悖论：某乡村有一个理发师，它给自己立了一个规则，他只给村子里自己不给自己刮胡子的人刮胡子，试问理发师该不该自己给自己刮胡子．由于罗素悖论涉及到集合及其基本规则，说明集合论是自相矛盾的，没有相容性．以罗素为代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生．各大学派争论到1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，数学基础的哲学争论黯淡了下来．第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着．也就是说，数学的基础一直在存在着裂缝，只是这些裂缝不至于损害整个数学大厦，不去管它就是了．尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。第三章数学是什么一、汉语中“数学”一词的演变中国古代数学以算为主，因而叫做“算学”或“算术”（算术即计算的方法）．到了元宋时期“数学”一词开始出现.《周髀算经》：“此皆算术之所及”，说明至少在汉代“算术”作为数学的名称就通行了，受此影响中国古代的算书多以“算术”或“算经”命名。

秦九韶在其著作《数书九章》的序中提到“尝从隐君子受数学”

1939年8月民国政府教育部通令全国一律使用“数学”，并以此为英语中mathematics的译名．二、数学的“定义”我国是将恩格斯的一段名言演变为数学的定义的．1939年6月有关部门对用“算学”还是“数学”作为这门学科的名称进行了民意测验，两种意见各半。民国政府教育部决定用“数学”而不用“算学”，理由是“数”字不仅历史悠久，而且与当时高等教育中的“数理”一词已通用。恩格斯在《反杜林论》中指出了“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系——这是非常现实的材料——为对象的”的论述．纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学1988年《中国大百科全书•数学卷》中对数学的定义是：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学．”

随着现代数学的不断发展，只能说恩格斯给数学下的这个定义本质上正确的，但有许多不完美之处．2001年版《数学课程标准》把数学说成“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”2011年版《数学课程标准》把数学说成“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”其一，十九世纪从非欧几何的诞生到爱因斯坦相对论的诞生，变改了人类的时空观，说明了人类理性思维可以使数学的研究对象从哪些人类看得见摸得着的现实世界中的“空间形式”、“数量关系”向人类悟性的自由创造物转化，在非欧几何、泛函分析等分支中很难找到现实世界的影子，这些学科的研究对象也很难被现实世界的“空间形式”、“数学关系”所囊括了。其二，恩格斯只是从哲学的视角回答了数学是研究现实世界的什么问题，并没有从内部寻找数学的研究对象三、数学本质的几种描述性解释1．数学是模式的科学．模式是某种事物的标准形式或使人可以照着做的标准形式。模式是一类事物或现象的共性抽象后的产物；模式强调的是形式上的规律，而非实质性的规律。⑴数学概念是量化模式．“1”是抽象思维的产物，现实世界中并不真正存在作为数学研究对象“1”．“圆”的概念，现实生活中我们只能看到圆形的各种东西，如碗口的形状、锅和盆的边缘、十五的月亮、圆形的车轮等，而数学中圆的定义“圆是到定点的距离等于定长的点作成的图形”就是反映这类事物的一种标准形式．数学自萌芽时期起它的主要研究对象“数”和“形”都是表示“量的属性”与“空间的属性”的模式，即数学概念都可以看成是量化模式．⑵数学问题也是模式．①某人有两套西装，三条不同颜色的领带，问共有几种搭配；②有两位军官三名士兵，由一名军官和一名士兵组成巡逻队，问共有多少种组成的方式．抽象后所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的特性，这种超越特殊对象而具有普遍意义的问题就是一种量化模式。⑶数学中的定理、性质、公式、运算规律也是一种量化模式．从数学发展史来看，数学的历史就是不断的创造模式、研究模式、应用模式的历史，数学理论实际上是阐明了模式间的关系．因此，数学是模式的科学．2．数学是一种文化体系．文化是人类在社会历史过程中所创造的物质财富和精神财富的总和，特指精神财富.文化是人造之物,人造之物都是文化除了未经改造的或者人化的自然环境外，凡人类创造出来可以通过学习获得，可以通过各种信息媒介传承于后世的一切物质和非物质产品都是文化文化是在人类文明的历史长河中，通过长期的积累和沉淀而独立出来，成为人类思想、行为的准则，指导人们素质教养提高，使人们在精神和品格上得到升华的精神财富。⑴数学虽源于现实世界，但它的研究对象并不是现实世界的真实物，是人类抽象思维的产物。数学是一种体现人类智慧的高层次的文化．自古以来世界上各民族把圆周率什么样的近似值，看成是人类智慧达到的程度．数学是人造之物，是随着人类文明的产生而产生，发展而发展，是“数”和“形”的各种规律长期积累和沉淀而产生的产物。为何将数学看成是一种文化呢？⑵文化依赖于语言传播，而数学语言源于人类自然语言，随着数学抽象性和严格性的发展，逐步演变成相对独立的数学语言体系．数学语言表达对象或现象是精确、毫无歧义，不会引起人们认识和理解的混乱，而且非常简洁、形式化、符号化，使得数学语言成为世界上所有民族的通用语言。⑶数学具有文化的三条准则：相关性、相容性与大众性．数学语言自然语言符号语言图形语言在科学高速发展的今天，知识的数学化越加明显，一门学科只有达到能够运用数学表达时才算是真正发展了，一项技术是否成熟的标志便是数学化的程度．谷超豪先生说：“现代高科技的核心便是数学，数学已成为人类理性文明高度的结晶”

数学不仅仅是一些演算的规则和变换的技巧，伴随着数学发展而逐渐形成的数学思想方法能够让人们终身受益。数学文化的核心是数学的观念、意识和思维方式，也就是人们常说的数学头脑。数学的素养是指推理意识、抽象意识、整体意识和化归意识．国务院前总理温家宝在北京35中的讲话中说：“我上学时最大的收获在于逻辑思维训练，至今受益不浅。”推理意识体现了演绎逻辑推理的可靠性、严格性和思维方式的广泛性、深刻性，这有助于人们不盲从、有条理、善思辨，在错综复杂的问题面前不被表面现象所迷惑，能够透过现象洞察事物的本质揭示相关之间的关系，在办事处世时条理清晰能更有效地解决问题；在普遍百姓的日常生活中都在自觉或不自觉、多或少地在应用着数学，数学被人们用着衡量一个人文化素养的一把尺子。义务教育阶段《数学课程标准》中将“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”作为理念之一。在数学教学中融入数学文化，其意义在于对学生数学认知的影响。数学教材中的数学知识都是经过历史大浪淘沙的洗涤，已成为人类思想、行为的准则，指导人类素质教养的提高，使人们在精神和品格上得到升华的东西，承载着厚重的历史文化背景。3．数学的美学说．美是人类自觉的感性形式，是人类本质力量的感性表现．如果学生不了解数学知识产生的文化背景，只会把数学当成枯燥无味的以解题为目的学科，慢慢地对数学产生厌倦和害怕情绪，从而影响学生对数学知识的理解和深入的思考；如果学生了解数学知识的文化背景，受到数学文化的熏陶，体会数学知识的文化品位，会提高数学学习的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，树立学好数学的信心。数学教师是数学文化的传播者罗素说：“数学，如果正确地看待它，则不但拥有真理，而且还具有至高无上的美，这是一种雕塑式的冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有伟大的艺术才能显示是那种完美的境地，一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里找到”．毕达哥拉斯曾断言“哪里有数，哪里就又美”．亚里思多德也说过：“虽然数学没有明显地提到美，但数学与美并不是没有关系的，因为美的形式就是秩序、匀称和确定性，这恰恰是数学研究的原则”．庞加勒说：“感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉．”

数学美不仅有表现的形式美，而且有结构与整体美；不仅有语言精巧美，而且有方法美和思路美；不仅有逻辑抽象美，而且有创造美与应用美．数学美是数学学科的本质力量的感性与理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现，是一种真实的美，是反应客观世界并能动地改造客观世界的科学美。4．波利亚认为，用欧几里得提出来的数学看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．数学中的结论往往是通过合情推理发现或发明后，进而通过演绎推理证明它的可靠性和真实性，即数学具有双重性，它既是一门系统的演绎科学，又是一门实验性的归纳科学．从数学的学科结构看，数学是模式；从数学的过程看，数学是推理与计算；从数学的表现形式看，数学是符号；从数学对人的指导看，数学是方法论；德国数学家汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一代人所树立的另一代人要加以毁灭，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼”罗素在《数学基础》一书中指出“数学与逻辑是同一的”。也就是说，数学就是逻辑，或者是逻辑的另一个名字。法国数学家波莱尔说“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导，据已评价的”从数学的价值看，数学是工具．也就是说数学是一个多元化的综合产物，很难用几句话来下定义的。四、数学的特点数学经过几千年的不断发展，形成了区别于其他科学的独有特点，这就是数学的抽象性、严谨性（或精确性）和应用的广泛性．1．数学的抽象性．首先，数学的抽象只保留了事物的数量关系或者空间形式而舍弃了其它一切具体的质的东西．其次，数学的抽象逐级上升达到的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象．再次，不仅数学的概念是抽象的，而数学方法本身也是抽象的．物理或化学家为了证明自己的理论，总是通过实验的方法；而数学家证明一个定理却不能用实验的方法，必须用演绎推理和计算．2．数学的严谨性．数学的严谨性表现在数学定义的准确性、推理的严密性以及数学结论的可靠性上．首先，数学概念的定义是用精练的文字语言或符号语言准确揭示数学概念本质属性的，有时多一个字和少一个字都会使概念描述不准．其次，数学命题的证明是通过一系列严格的演绎推理进行的，而每一步推理都要合乎逻辑再次，数学的结论是通过证明，其真实性是确信无疑完全可靠的．当然数学的严谨性不是绝对的3．应用的广泛性．首先，几乎每时每刻人们在生产中、在日常生活中、在社会生活中都在运用着数学，甚至未必意识到这就是数学问题．其次，科学技术的发展离不开数学．海王星的发现太阳系中的八大行星之一的海王星是在1846年在数学计算的基础上发现的．把数学当成诗来读吧！此时，摆在我们面前的是一堆堆单调枯燥的公式就会变成一首首洋溢着优美、和谐、充满着精美、绝妙、浸透着对称美的诗．当你领悟到数学世界的美时，你就掌握了阿里巴巴叫储藏满宝藏的山洞大门的神秘符咒，你就能探索其它科学的美了．再次，自然科学的发展离不开数学．第四节数学观简介数学观是指人们对数学的本质、发展以及数学的地位和作用的基本观点和态度，是一个人内心深处所持有的那种对数学的看法．一、数学观的演变1．古代的数学观．文艺复兴以前存在着两种截然不同的数学观．一种是以古巴比伦、古埃及、中国为代表古代的东方数学观把数学看作解决实际问题的知识与技巧，重视数学的实用性、经验性，强调数学的算术、代数性质，在这种思想观念的影响下，人们认为数学就是计算，对逻辑证明毫不在意．另一种是以古希腊为代表的数学观把数学看作训练人的思维的工具，强调演绎证明，善于从几个不加定义的概念、公理、公设出发，通过演绎推理，构建几何体系，欧几里得的《几何原本》就是在方面的杰出代表正是这种数学观，为数学的发展指明了方向，为数学研究提供了方法．2．文艺复兴时期的数学观．文艺