【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.6空间向量的坐标运算课件（第2课时）

第九章直线、平面、简单几何体11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.(1)当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论；(2)当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM；题型4垂直中的探索题第二课时2(3)若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.解：(1)当a=2时，四边形ABCD为正方形，则BD⊥AC.又因为PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC.故当a=2时，BD⊥平面PAC.3

(2)证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN,因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，所以∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得PM⊥DM.故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM.4

(3)设M是BC边上符合题设的点M，因为PA⊥底面ABCD，所以DM⊥AM,因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.5

点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.探究空间的垂直(或平行)的条件是近几年高考立体几何中一类常见探索性题.此类题是垂直(或平行)问题中的逆向问题，可利用垂直(或平行)的性质逆推得出结论成立的一个条件.6

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA

⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠AB

C

=60°，PA=AB=BC，E是线段PC上的一点.(1)证明：CD⊥AE；(2)当E在PC什么位置时PD⊥平面ABE？7

解：(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)当Ｅ为PC的中点时，有PD⊥平面ABE.证明如下：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.8

由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD

=C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，所以AB⊥PD.又AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE.92.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱BB1上一点.已知平面A1EC⊥平面AA1C1C，求证：BE=B1E.证明：在平面A1EC内过点E作EG⊥A1C，垂足为G.因为平面A1EC⊥平面AA1C1C，所以EG⊥平面AA1C1C.题型5线面垂直性质的应用10取AC的中中点点F，连连结结BF.因因为为AB=BC，所以以BF⊥AC.因为为平平面面ABC⊥平平面面AA1C1C，所以以BF⊥平平面面AA1C1C.于是是BF∥∥EG.连连结结FG.因为为BE∥∥平面面AA1C1C，所所以以BE∥∥FG.又BE∥∥AA1，所所以以FG∥∥AA1.11因为为F为AC的中中点点，，所所以以G为A1C的中中点点，，所以以，所所以以又BB1=AA1，所所以以，即即BE=B1E.点评评：：线面面垂垂直直的的判判定定与与性性质质反反映映了了““线线线线垂垂直直””““线线面面垂垂直直””““面面面面垂垂直直””三三者者之之间间的的相相互互转转化化，，也也是是证证空空间间有有关关垂垂直直的的转转化化方方向向.如由由““面面面面垂垂直直””可可得得出出““线线面面垂垂直直””，，而而证证““面面面面垂垂直直””可可转转化化为为证证““线线面面垂垂直直””.12在三三棱棱锥锥P-ABC中，，PA=PB=PC，∠∠APC=90°°，∠APB=∠∠BPC=60°°，D为AC的中点点.过PA、PC的中点点A′、C′作平面A′B′C′，使PD⊥平面A′B′C′，交PB于B′点.求证：：平面面A′B′C′∥平面ABC.13证明：：因为PA=PC，D为AC的中点点，所所以PD⊥AC.①设PA=a.由题设△PAB和△BPC都是正三角角形，△APC是等腰直角角三角形，，所以AB=BC=a，AC=a.连结BD，易得PD=BD=AC=a，14从而PD2+BD2=a2=PB2，所以PD⊥BD.②结合①②知知，PD⊥平面ABC.由已知，PD⊥平面A′B′C′，所以平面A′B′C′∥平面ABC.15在直三棱柱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点，E为AD上任意一点点，F为棱BB1上一点.若C1F⊥EF，求的的值.题型线线面面垂直背景景下的求值值问题16解：因为AB=AC，D为BC的中点，，所以AD⊥BC.又B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥BB1，于是AD⊥平面BB1C1C.所以DF是EF在平面BB1C1C内的射影影.所以C1F⊥EFC1F⊥DF，即DF2+C1F2=C1D2.17设BC=2a，BF=x.因为BB1BC=，所以BB1=3a，B1F=3a-x.在Rt△C1B1F中，C1F2=B1C2+B1F2=4a2+(3a-x)2.在Rt△DBF中，DF2=BD2+BF2=a2+x2.在Rt△C1CD中，C1D2=CC21+CD2=10a2.由a2+x2+［4a2+(3a-x)2］=10a2，得x2-3ax+2a2=0，解得x=a或x=2a.故BFBB1==或.181.“由已知想性质质，由求证想想判定”是处处理直线与平平面平行、垂垂直关系的一一般思想方法法.即看到已知条条件去想有关关的性质定理理，看到求证证的结论去想想有关的判定定定理，这实实质上就是把把综合与分析析的思路结合合起来使用，，使问题得以以解决.2.三垂线定理及及其逆定理是是判定或证明明两条直线互互相垂直的重重要理论依据据，应用时要要先找“平面面”，再认定定“斜线”和和“射影”.193.利用线线垂直直、线面垂直直的有关性质质，将垂直条条件或结论转转化为线面位位置关系或数数量关系，先先要确定转化化方向，通过过分析综合法法寻求问题的的解决途径.204.