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文档简介
导数常用一些技巧和论（年国新课标··）已知f
2x
x
.（）论f
的单调性；（）若
有两个零点，求a的值范围解析）'若0
，则
恒成立，所以f
在上递减；若，令
，
ln
.当x
时，f'
，所以
在
上递减；当x
时，f'
，所以
1在,a
上递增综上，当0
时，f
在R上递减；当0
时，f
在
1上递减，在,a
上递增（）f
有两个零点，必须满足
fmin
，即且f
x
min
f
10a
.构造函数
gx.易g
x
，以
单调递减又因为
g
，所以
100aa
.下面只要证明当
0时f
有两个零点即可，为此我们先证明当x时，
.事实上，构造函数
h易'
x
，∴
hmin
.当
时，
f
e2e
2
，3flnalnlna
，其中
ln
，lna
，所以
在
13和a
上各有一个零点故a
的取值范围是注意：点过程用到了常用放缩技巧。一方面：
ae2xaexaex
ln
；另一方面：0
时，
（目测的）xx，xxxxx，xxxxx2第一组：对数放缩（放缩成一次函数）lnxx
，
，ln（放缩成双撇函数）lnx
11
，1lnx，lnxxx
，（放缩成二次函数）xx
，ln
1x，ln22（放缩成类反比例函数）ln
x
2，xx，ln0xx
，
，ln1第二组：指数放缩（放缩成一次函数）e
x
e
x
e
x
，（放缩成类反比例函数）
x，ex
，（放缩成二次函数）
1x2x，exx6
3
，第三组：指对放缩
ln
第四组：三角函数放缩xxtanxx
1x2，xcos2
2
x
.第五组：以直线y
为切线的函数yln，
x
，
2
，y
x
，y
.221feaaa223221feaaa223经模型一
lnx或.xlnx【例1】讨论函数f
的零点个数（）
时，无零点f'
x
，f
ln
.（）
时，个点.f
x
，f
.（）0
时，个零点.f
（目测
f
1
a1011f.
，其中
.（缩）f
1ln
，其中
2
.（到了ln
）（）时，个点f'
x
，单调递增
f
，1
a
1a
11aae
.【变式过元和等价变形之后均可以转化到例：f
讨论f
的零点个数（令x
，
m2
a讨论f
的零点个数（令
1m
a讨论
xmx的零点个数（考虑g
fx
讨论f
ln
mx
的零点个数考虑g
，令
32，m2讨论f
2
的零点个数令
tx
，2
讨论f
x
的零点个数（令
e
）经模型二
exex或y【例2】讨论函数f（）a0时，个点.
x
的零点个数f
，f
单调递增.且
f
1
，所以在
上有一个零点；（）a时无零点f
恒成立；（）
时，无零点f
f
；（）a时2个零.f
1a
，
，fa
.【变式过元和等价变形之后均可以转化到例题：f
x
讨论
2
的零点个数（令2x
，
m2
a讨论f
x
的零点个数去分母后与1等讨论
的零点个数（移项平方后与1等讨论
2
的零点个数（移项开方后换元与1等价讨论f
的零点个数（乘以系数e，令a讨论
x
lnx
的点个数（令
t
，转化成2）讨论f
x
mx
的零点个数令x
m，e2minmin经模型三y
x【例】讨论函数f（）a时1个点
x
的零点个数f'
x，flnx
单调递增fx（）a时1个点）0（）时，无零点
，
1
.f
xx2
，fmin（）时，个零.x0
.
1fflne（）
时，2个点.f
1a
，
f
，f
，【变式过元和等价变形之后均可以转化到例题：f
x
讨f
x
1x
ln
的零点个数；讨论f讨论f
ae
的零点个数（考虑xx的零点个数令e
f
，令x
讨论
x
x
ax
的零点
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