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文档简介
导数常用一些技巧和论(年国新课标··)已知f
2x
x
.()论f
的单调性;()若
有两个零点,求a的值范围解析)'若0
,则
恒成立,所以f
在上递减;若,令
,
ln
.当x
时,f'
,所以
在
上递减;当x
时,f'
,所以
1在,a
上递增综上,当0
时,f
在R上递减;当0
时,f
在
1上递减,在,a
上递增()f
有两个零点,必须满足
fmin
,即且f
x
min
f
10a
.构造函数
gx.易g
x
,以
单调递减又因为
g
,所以
100aa
.下面只要证明当
0时f
有两个零点即可,为此我们先证明当x时,
.事实上,构造函数
h易'
x
,∴
hmin
.当
时,
f
e2e
2
,3flnalnlna
,其中
ln
,lna
,所以
在
13和a
上各有一个零点故a
的取值范围是注意:点过程用到了常用放缩技巧。一方面:
ae2xaexaex
ln
;另一方面:0
时,
(目测的)xx,xxxxx,xxxxx2第一组:对数放缩(放缩成一次函数)lnxx
,
,ln(放缩成双撇函数)lnx
11
,1lnx,lnxxx
,(放缩成二次函数)xx
,ln
1x,ln22(放缩成类反比例函数)ln
x
2,xx,ln0xx
,
,ln1第二组:指数放缩(放缩成一次函数)e
x
e
x
e
x
,(放缩成类反比例函数)
x,ex
,(放缩成二次函数)
1x2x,exx6
3
,第三组:指对放缩
ln
第四组:三角函数放缩xxtanxx
1x2,xcos2
2
x
.第五组:以直线y
为切线的函数yln,
x
,
2
,y
x
,y
.221feaaa223221feaaa223经模型一
lnx或.xlnx【例1】讨论函数f
的零点个数()
时,无零点f'
x
,f
ln
.()
时,个点.f
x
,f
.()0
时,个零点.f
(目测
f
1
a1011f.
,其中
.(缩)f
1ln
,其中
2
.(到了ln
)()时,个点f'
x
,单调递增
f
,1
a
1a
11aae
.【变式过元和等价变形之后均可以转化到例:f
讨论f
的零点个数(令x
,
m2
a讨论f
的零点个数(令
1m
a讨论
xmx的零点个数(考虑g
fx
讨论f
ln
mx
的零点个数考虑g
,令
32,m2讨论f
2
的零点个数令
tx
,2
讨论f
x
的零点个数(令
e
)经模型二
exex或y【例2】讨论函数f()a0时,个点.
x
的零点个数f
,f
单调递增.且
f
1
,所以在
上有一个零点;()a时无零点f
恒成立;()
时,无零点f
f
;()a时2个零.f
1a
,
,fa
.【变式过元和等价变形之后均可以转化到例题:f
x
讨论
2
的零点个数(令2x
,
m2
a讨论f
x
的零点个数去分母后与1等讨论
的零点个数(移项平方后与1等讨论
2
的零点个数(移项开方后换元与1等价讨论f
的零点个数(乘以系数e,令a讨论
x
lnx
的点个数(令
t
,转化成2)讨论f
x
mx
的零点个数令x
m,e2minmin经模型三y
x【例】讨论函数f()a时1个点
x
的零点个数f'
x,flnx
单调递增fx()a时1个点)0()时,无零点
,
1
.f
xx2
,fmin()时,个零.x0
.
1fflne()
时,2个点.f
1a
,
f
,f
,【变式过元和等价变形之后均可以转化到例题:f
x
讨f
x
1x
ln
的零点个数;讨论f讨论f
ae
的零点个数(考虑xx的零点个数令e
f
,令x
讨论
x
x
ax
的零点
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