等差数列综合复习(教案+例题+习题)

nnnnnnnnnn－n11nnnnnnnnnn－n111数列的概念

一、等差列：列是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集｛1,2，，…，n的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。例．根据列前，写出它的通项公式：（1，3，7……；2425（2），，，；2345（3）

11，，，。1*22*33*44*5解）

a

n

=2

；（）

a

n

=

(nn

；（）

a

n

(=。(n点每一项序号与这一项的对应系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系考生的归纳推理能力有较高的要求。如1已知

an

nn156

(n

*

)

，则在数列

{}n

的最大项为__

；）数列

{}通项为an

，其中均正数，则与an

的大小关系为___；（3）知数列{}中，

n且{}是增数列，求实数取值范围；2等差数列的断方法

：义法

n

(为常n

n

(n2)。n例2．设S是列{}前和，且=，则{}（）等数列，但不是等差数列B.差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.非等比数列又非等差数列答案：；解一a=

S(nS(n2)n

nan(n∴a－1（nN）又－为数，

ana2

≠常数∴{a}等数列，但不是等比数.解二果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的次函数这数一定是等差数列。点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式=－S的理能力但不要忽略a，解法一紧扣定义，解法二较为灵。nnnnn2n81524151713a1372332nnnnn2n81524151713a137233211nnn12916955161110练练{}是差数列证b=n

a12n

n

N*为项公式的数列{}n为等差数列。3等差数列的项：n或)d。n1nna)n4等差数列的和：，nad22

。例3：等差数列{}前项记为S，a＋＋的值是一个定的常数，则数{}中也为常数的项)A

7

B．C．

13

D．解：p)∴3dpp×)13∴p答案：例4．等差数{}，已知＝，＋＝，a＝33则n为()n3nA48BC50D解∵a(n×n50.C.答案：如1)等数列{}中，a，，则通项n1020

；（2）项-24的等数列，从第10项起始为正数，公差的取值范围______；例5：设S是差列{}前项，＝－，＝－9，则S＝________.解：a9∴a8(a)72.答案：72例6已知数{}等数列，若<，且它们的前项有大值，则使的na最大值为()11n101110111192011011n1nnn1111n101110111192011011n1nnn11A11B．C．．21解：∵<S10∴a>0a<019(aa)∴

10

S

20(aa)aanB.答案：如1数列{}中n＝＿，＝；

an

1315(n2,nN*)，，前n项和S，则a222（2）知数列{}前项

Sn

，求数列

{a|}n

的前

n

项和

T

.、等中：

a,

成等差数列，则A叫a与b的差中项，且

A

a2

。

n

提等差数的通项公式前n和式涉及到个元素：、d、、a及1，其中、d称为本元素只要已知这5个素中的任意个，便可求出其余2个，1即知3求。（2）减少运算，要意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，ada,d

…（公差为

；偶数个数成等差，可设为，aaa,d

…（公差为

）6.等数的质（）公差d0数且率为公差且常数项为.

时等差数列的通项公式nd是于的次函n1ndd前和Snadna)是关于n的次函数222（）公差

则为递增等差数列若差

则为递减等差数列若差

，则为常数列。（3）当

p

时有

ap

，特别地，当

p

时，则有mn

p

.（）若

{}

、

{b}n

是等差数列，则

{ka}n

、

{}nn

(

k

、

是非零常数){

}(pqN

*

)

,,Snnnn

2

也成等差数列{}

成等比数列

{}是等比数列，且

a0n

，则

{lga}

是等差数列练练差列的前n项和为n和为的前3为。）在差数列

{}

中，当项数为偶数

时，

S偶

奇

；项数为奇数

n

时，数列中0nn56．．7967数列中0nn56．．7967nn515561261678956977811a，S奇偶中

n

（这里a即a:Sk中中奇偶

。练练项数为奇数的等差数列{}，奇数项和为80偶数项和为75，求此数列的n中间项与项.（6）若等差数列{}{b}和分别为nna(2nnnfn.bnbn2练练设{}{b}两个等差数列，它们的前nn

、n

，且nf(n)，则nB项和分别为和T，若nS3n，那么T43

nn

___________；“首正”的递减差数列中，

项和的最大值是所有非负项之和”的递增等差n项的最小值是所有非正项之和一不等式组定出前多少项为非负（或非正二因等差数列前是关于的次数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

nN

*

。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想此能求一般数列中的最大或最小项吗？练练等差数列{}中25，S，问此数列前多少项和最大？并求最大n值；例）｛N*）是等差数列S是前n项和，且S＜，＝＞，下列结论错的是（）d＜0B.a＝0C.＞

S与S均的最大值（2等差数列{}前项为，前2m和为，则它的前3m项为（）C.210D.260解）案C；由得a+a+++a<+…a+a，a>0又，a+…+a=+a+…，，由，a<0，而C选>，+a+a+2+）>0，由题设，<0显然选是错误的。（2答案C(3012解一由题意得方程组(2m100

，视m为已知数，解得

d

4010(m,mm2

，∴

S

3

ma1

3ma10(m3(3m122

。1231231233m21122231231231233m21122233232121n17181920解二设前项和为b，+1到项之和为，2到3m之和为，，b，也等差数列。于是=30，=100，差－30=40∴b=b+d∴前m项和=+b解三取m，则a=，=S－，从而=－。于是=a+d∴+a+a=210。等差课后习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。x．若ab,数列,x和数列a,y,y,b都等差数列，则y232ABC1D．43．在等差数列＝1aa＝8则aa41724

20

（）＝（）A40．等差数列

B．45．50D．55为x2，这个数列的通项公式为（）Aann．在等差数列{中an

Ban．2nD．a2nnn0,aa，则在中最大的负数为（）1110A．B．SC．SD．S．已知等差数列的首项为31,若此数列从第开始小于，则此数列的公差的值范围是A(－∞,－2)B[

1515－C．－+∞)D—77

（）－．在等差数列

{}n

中，若

18,S240,9

n

30

，则值为（）A．18

B17．

C．16D．15．等差数列{a}中，aan2A－20．5B．－．5

50

200,a5152C．－

2700,a等于（）1D．－．已知某数列前

n

项之和

n

3

为，且前

n

个偶数项的和为

n(4n3)

，则前

n

个奇数项的和为

（）A

n

2

n

B

n

2

(4n

C．

2

D．

n

．一个只有有限项的等差数列，它的前5的和为34，最后5项的和为所项的和为，则它的第七项等于

（）A22B．．19D．1810．差数列aa2，若ｍ＞1且0，nmm38则的值是（）2mA10BC．20D．38二、填空题请把答案填在题中横线上。．已知

{}n

是等差数列，且

aa410

57,a77,若a46则k12在ABC中A，，C成差数列，则

Ctan322

n6nn1314nn6nn1314nn00kk+113在等差数列

{}中，若a120，n48121012

14

n

是等差数列

{}n

的前n项，

2,an

30

≥5

nN

*

)，

n

=336，则n的值是

三、解答题：解答应写出文字说、证明过程或演算步.15己{}n

为等差数列，

2

，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1数列的第项是新数列的第几项？（数的第29是原数列的第几项？16数列，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。（1求数列公差）前项s的大值）当时求的最大值。17设等差数列{}前ｎ项的和为且=62,S=求n（1）{a}通项公式及前ｎ项的和S；n（2）|+……18已知数列1=3且2an+1=Sn·n(n≥2).（1）求证：{}等数并求公差）{}通公式；（3数{}是否存在自然数k,得当自然数k≥k时不等式对任意大于等于k的然数都成,存在求出最小的k值,否则请说明理由.1dn(11dn(1选择题：ABCCBDABDA填空题：118；．；．24；14．解答题：15．分析：应找到数列的第项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。解：设新数列2,据bbn,有b1n即3=2+4d，∴，b4n4Qa

4

，∴

ann即原数列的第n为新数列的第－3项．当时，4n－－故原数列的第项为新数列的第45项由4n－3=29,n=8，新数列的第29项是原数列的第8项。说明一般地在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数构成一个新的等差数列则新数列的公差为

m

.

原数列的第项是新数列第－－项．16．解：（1，a0，，67∴23a6（2n