《两角和与差的三角函数》设计

《两角和与差的三角函数》教学设计一、教学目标：首先要求学生理解平面上的两点间距离公式的推导过程，熟练掌握两点间距离公式并由此推导出两角和与差的余弦公式，并能够运用解决具体问题。二、教学重点：掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式，并运用这些公式以及三角函数的积化和差与和差化积等公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等．教学难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．四、课时安排：1课时五、课前训练1．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）（A）－ （B） （C）－ （D）2．的值是_______．3．已知∈（0，），∈（，π），sin（+）=，cos=－，则sin=_______．4．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a、b、c的大小关系是（）（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b（C）b＜c＜a （D）b＜a＜c六、典型例题例1设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+）．解：∵＜＜π，0＜＜，∴＜－＜π，－＜－＜.故由cos（－）=－，得sin（－）=.由sin（－）=，得cos（－）=.∴cos（）=cos［（－）－（－）］=…=.∴cos（+）=2cos2－1=…=－.例2已知、、∈（0，），sin+sin=sin，cos+cos=cos，求－的值．解：由已知，得sin=sin－sin，cos=cos－cos.平方相加得（sin－sin）2+（cos－cos）2=1.∴－2cos（－）=－1.∴cos（－）=.∴－=±.∵sin=sin－sin＞0，∴＞.∴－=.例3试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，则y=t2+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，则t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3.已知为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2+cos2的值．解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sin=，cos=－.此时kπ+＜＜kπ+.∵cos+sin=－＜0，sincos=＞0，∴cos＜0，sin＜0.∴为第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，sin2+cos2=2sincos+1－2sin2=.评述：由三角函数值判断的范围是关键.已知、∈（0，），3sin2+2sin2=1①，3sin2－2sin2=0②，求+2的值．解：由①得3sin2=1－2sin2=cos2.由②得sin2=sin2.∴cos（+2）=coscos2－sinsin2=3cossin2－sin·sin2=0.∵、∈（0，），∴+2∈（0，）∴+2=.例6试证：=．解：左边=====cot，右边====cot，∴原等式成立.七、课堂小结掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式，并运用这些公式以及三角函数的积化和差与和差化积等公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等．随堂练习1．tan15°+cot15°的值是() （A）2（B）2+（C）4 （D）2．要使sinα－cosα=有意义，则应有（）（A）m≤ （B）m≥－1（C）m≤－1或m≥ （D）－1≤m≤3．已知f（x）=，当∈（，）时，f（sin2）－f（－sin2）可化简为（）（A）2sin （B）－2cos （C）－2sin （D）2cos4．下列四个命题中的假命题是（）（A）存在这样的、，使得cos（+）=coscos+sinsin（B）不存在无穷多个、，使得cos（+）=coscos+sinsin（C）对于任意的、，cos（+）=coscos－sinsin（D）不存在这样的、，使得cos（+）≠coscos－sinsin5．函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______．6．若tanx=，则=_______．7．（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2=，∈（，）．（1）求cos的值；（2）求满足sin（－x）－sin（+x）+2cos=－的锐角x．8．已知sin（+2）·sin（－2）=，∈（，），求2sin2+tan－cot－1的值．课前训练部分答案B2．C3．.－4．B随堂练习答案1．C2．D3．D4．B5．46．2－37．（1）因为＜＜，所以＜2＜3π.所以cos2=－=－.由cos2=2cos2－1，所以cos=－.（2）因为sin（－x）－sin（+x）+2cos=－，所以2cos（1－sinx）=－.所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.8．由sin（