正弦定理与余弦定理的应用

第九章解三角形正弦定理与余弦定理的应用课后篇巩固提升1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A,B两点的距离为()m 3m2m m解析△ABC中,AC=502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以AB答案A2.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=()3+1 3 3 D.3+1解析在△ABC中,由正弦定理得BC=ABsin∠BACsin在△BCD中,sin∠BDC=BCsin∠CBDCD=50(6-2)50×22=3-1,又因为cosθ答案C3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=3km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为()km km km km解析如图所示:∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°,在△BCD中,由正弦定理,得332=BDsin75°,故BD=2sin75°.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°,所以AB=5+23≈(km).答案C4.如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.现测得DC=23千米,CE=2千米,则A,B两点间的距离为()A.6千米 2千米千米 3千米解析在△ACD中,∠ADC=°,∠ACD=45°⇒∠DAC=°⇒AC=DC=23;在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°⇒∠CBE=45°,利用正弦定理得到:CEsin∠CBE=在△ABC中,∠ACB=60°,利用余弦定理得到AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB⇒AB=3.故选C.答案C5.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度是()(3-1)m (2-1)m(3+1)m (3-1)m解析由题意可知:∠ABC=105°,∠BAC=45°,∴AC=60sinC=由正弦定理BCsin∠BAC=AC602sin60°cos45°即河流的宽度为120(3-1)m.故选D.答案D6.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=35,则灯塔高度是() 解析过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠ADB=∴AD=hcosαsin(β-α),在Rt△ADF中,DF=ADsinβ=hcosαsinβsin(β-α),又山高为a,则灯塔答案B7.某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西76°方向,则此时船到灯塔S的距离为海里.

解析由条件可得,∠BSA+∠BAS=76°,所以∠BSA=76°-40°=36°.在△SAB中,由正弦定理,得BSsin∠BAS=ABsin答案8.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为106米,则(1)AN=米;(2)旗杆的高度为米.

解析依题意可知∠NBA=45°,∠BAN=180°-60°-15°=105°,所以∠BNA=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知ABsin∠BNA=NAsin∠NBA,所以AN=AB所以在Rt△AMN中,MN=ANsin∠NAM=203×32=30米,所以旗杆的高度为答案203309.某人向正东走了xkm后,右转150°,又走了3km,此时距离出发点3km,则x=.

解析作出图形如下图所示:设起点为点A,向正东走xkm后到达点B,然后向右转150°行走3km到达点C,此时AC=3km,那么在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=3,B=30°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即3=x2+9-2×x×3×32整理得x2-33x+6=0,解得x=3或23.答案3或2310.如图所示,近日我国渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里.(1)求sin∠BDC的值;(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?分析(1)在△BDC中,根据余弦定理求得余弦值,再求正弦值得到答案.(2)首先利用和差公式计算sin∠ABD,△ABD中,由正弦定理可得AD长度,最后得到时间.解(1)由已知可得CD=40×12=在△BDC中,根据余弦定理求得cos∠BD