《古典概型》设计

《古典概型》教学设计【教学目标】1.结合具体实例，理解古典概型．(重点)2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．【教学重点】理解古典概型并能计算古典概型中简单随机事件的概率【教学难点】能计算古典概型中简单随机事件的概率．【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．思考1：“在区间[0,5]上任取一个数，这个数恰为2的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？[提示]不属于古典概型．因为在区间[0,5]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．思考2：若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？[提示]不一定是古典概型．还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．小试牛刀1.下列试验是古典概型的是()A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}B.在区间[-1，5]上任取一个实数x，使-3x+2>0C.抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶【解析】选C.根据古典概型的两个特征进行判断.A中两个基本事件不是等可能的，B中基本事件的个数是无限的，D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C符合古典概型的两个特征.2.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是()A．3B．4C．5D．6D解析：事件A包含的样本点有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，故选D.3.若书架上放有数学，物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为()\f(1,5)\f(3,10)\f(3,5)\f(1,2)B解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为eq\f(3,10)，故选B.4.从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于．eq\f(1,5)[用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]例题讲解古典概型的判断【例1】下列是古典概型的是()A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止C[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]方法总结判断一个试验是古典概型的依据判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．当堂练习1下列试验是古典概型的为________(填序号).

①从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，某人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6；③近三天中有一天降雨；④10人站成一排，其中甲、乙相邻.①②④【解析】①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.简单的古典概型问题例2小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．【思路点拨】先写出试验的样本空间并计算样本点总数，然后分别计算所求概率的事件所包含的样本点数，利用古典概型的概率公式求解.解(1)将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，这25个样本点发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12个，所以P(B)＝eq\f(12,25)＝.方法总结1.求解古典概型“四步法”2.求基本事件总数的常用方法(1)列举法:适合于较简单的问题.(2)列表法:适合求较复杂问题中的基本事件数.(3)树形图法:适合较复杂问题中基本事件的探求.当堂练习2甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干,甲盒中装有2张卡片,分别写有字母A和B;乙盒中装有3张卡片,分别写有字母C、D和E;丙盒中装有2张卡片,分别写有字母H和I.现要从3个盒中各随机取出一张卡片.求:(1)取出的3张卡片中恰好有1张,2张,3张写有元音字母的概率分别是多少?(2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少?解:根据题意,可画出如下树形图:由树形图可以得到,所有可能出现的基本事件有12个,它们出现的可能性相等.(1)只有一个元音字母的结果有5个,所以P(一个元音)=;有两个元音字母的结果有4个,所以P(两个元音)=;全部为元音字母的结果有1个,所以P(三个元音)=(2)全是辅音字母的结果有2个,所以P(三个辅音)=较复杂的古典概型问题【例3】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．当堂练习3⑴在例3中求小亮获得玩具或水杯的概率．⑵将例3中奖励规则改为：①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率．[解]⑴用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数共11个，即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(E)＝eq\f(11,16).⑵用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.记“3≤x＋y≤5”为事件D，则事件D包含的样本点个数共9个，即D＝{(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，