对高中数学新课程中立体几何部分若干问题的思考

摘

中”张劲松要几A关词年4月教育部正式颁布实施《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）。依据《标准》编写的《普通高中课程标准实验教科书·数学》于004年季开始在山东、广东、海南、宁夏进行实验2005秋季又扩大到江苏，到2006年季，福建、浙江、安徽、辽宁、天津加入。目前共有十省（区、直辖市）使用《普通高中课程标准实验教科书·数学》。这次高中数学课程改革比较突的特点是在“构建共同基础，提供发展平台”的前提下，“提供多样课程，适应个性选择”“强调本质”“注意提高学生的数学思维能力”“发展学生的数学应用意识等具做法是课程内容分为诸多模块和专题，突出数学教科书的“数学味”，注重从现实情境引入数学知识，用数学处理具体的实际问题等等。实事求是地讲《标准》设计的理念和路都是非常好的，作为《标准》最主要的载体——教材在实验过程中，有很多积极的评价。但也存在不少问题，比较突出的是《标准》把“内容与要求”合在一起写。虽然表述容易，但有些内容不明确，教还是不教，难以把握，弹性很大。具体到教材的编写，不同版本的教材存在一定的差异。/8本文依《标准的要求编《普通高中课程标准实验教科书数学A版的思考，结合教材实验的实际情况以及实验教师的反映地阐述对高中数学新课程体几何”部分若干问题的思考。希望对教师教学和学生学习有一定的帮助。一“体何部到包哪内？“立体几何”是高中数学非常经典的内容。回顾上个世纪九十年代以后开始的近二十年的高中数学课程改革，1997年，“立体几何”部分单独成册《立体几何》，与《代数》（上册）同时开设，在高一两个学期完成，《立体几何》约57课时1997年，《全日制普通高级中学数学教学大纲》把“立体几何”部分的内容缩为一章“直线、平面、简单几何体”，再加上“研究性学习课题

多面体欧拉定理的发现”，共39课时翻看《全日制中学数学教学大纲（高中部分）》（修订本）和《全日制普通高级中学数学教学大纲》，其教学内容和具体要求（或教学目标）都是分开表述，学什么，达到什么目标，比较清晰。《标准》把“立体几何”部分的内容，放在数学“立体几何初步”、选修2-1“空间向量与立体几何”，以及系列3和系列4的部专题中，如“选修3-3

球面上的几何”中等等，而且必修课程和选修课程分的比较开。由于选修系1（望在人文社科学等方面发展）学生只学习数学2中的“立体几何初步”，选修系2的生学习“空间向量与立体几何以们为中数学新课程中立体几何部分包括数学2中立体几何初步”和选修中“空向量与立体几何”，它们共30课时（）中学课中立几”分教内是是去“线平、单何”容真集单从课时上看，容易产生这种印象：高中数学新课程中“立体几何”部分的教学内容是过去“直线、平面、简单几何体”内容的真子集。实际是这种情况吗？答案是否定的。从《标准》和《普通高中课程标准实验教科书·数学2》A版（以下简称《数学2》看高数学新课程“立体几何部分新增加了一些内容行投影中心投影三视图。这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔，而“直线、平面、简单几何体没有这部分内容增加这部分内容的主要目的是进一步认识空间图形过/8视图以及空间几何体与其三视图互相转化空间图形有比较完整的认识养发展学生的空间想象能力、几何直观能力，更全面地把空间几何。投影是视图的基础，投影分为平行投影和中心投影。立体几何中研究的图形都是平行投影下的图形心投影在日常生活中非常普遍不高立体几何究主要内容。有了投影，才有视图。除了“平行投影、中心投影，三视图”的内容外，他容是“直线、平面、简单几何体”的真子集。（）中学课中立几”分教内结合《标准》的学习和教科书的编写，概括一下，高中数学新课程中“立体几何”部分的教学内容：．空间几何体棱柱。棱锥。棱台。圆柱。圆锥。圆台。球。柱体、锥体、台体、球体的简单组合体。简单空间图（长方体球圆柱圆锥棱柱等的简易组合的三视图。斜二测画法。简单空间图形的直观图。平行投影下的空间图形。中心投影下的空间图形。球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆的表面积和体积。．点、直线、平面之间的位置关系平面及其基本性质。平行直线。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定和性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。平面与平面平行的判定与性质。二面角及其平面角。平面与平面垂直的判定与性质。．空间向量与立体几何空间向量及其加法、减法与数乘运算。空间向量基本定理。空间向量的正交分解。/8空间向量的坐标表示。空间向量的加法、减法与数乘运算的坐标表示。空间向量的数量积。空间向量数量积的坐标表示。直线的方向向量。平面的法向量（）于角距《标准》在选修“间向量与立体几何”中明确提出：“能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。”。角度是“立体几何”中的一种度量。异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角等内容在“点、直线、平面之间的位置关系”必须介绍，穿插在相关内容之中，尽管在“点、直线、平面之间的位置关系”中没有明确提到。距离是“立体几何”中的另一种度量。点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线之间的距离异直线之间的离直与平面之间的距离平与平面之间的距离的本质是两点之间的距离点间的距离是以这两点为起点和终点的向量的模或长度空间中的距离问题就转化为向量的模或长度问题。可见，用空间向量及其运算，特别是数量积运算，是处理夹角和距离问题的首选方法。（）于三线理其定”很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。尽管说得过分些，但从另外一个角度说明，“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理是整个立体几何内容的个典型代表在整个立体几何知识的枢纽位置综合了很多知识内容：直线与直线线与平面平与平面的垂和平。在数学“直、平之间的位置关系”中虽然没有明确提到“三垂线定理”，但在选2“间向量与立体几何中提“用向量方法明有关线位置关系的一些定包括三垂线定理。按照这种提法材中必须明确提三线定理生应该知道这个定理于放《数学2》中，还是放在《选修2》中，则是另外一个问题。实际上，考虑到目前“点、直线、平面之间的位置关系”一章仅有10课时而且直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理仅仅要求归纳得出，在《数学2中没有严格的证明。我们认为，“三垂线定理”放在《选修2-1》中比较合适，而且要求了解其内容，并用向量方法证明，不要求运用此定理证明有关的命题。有了“三垂线定理”，“三垂线定理的逆定理”也就顺理成章了，无非是斜线与斜线在平面内的射影的位互了一下。/8在教材实验过程中，教师非常关注“三垂线定理及其逆定理”的教学。一方面是它在过去整个高中“立体几何”中的地位和作用；另一方面，它也是过去高考的核心内容，目前的高考试卷中，如果是用综合法处理的“立体几何”方面的大题，于“三垂线定理及其逆定理”的。但是，随着空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方（坐标方法处有关垂直和平行问题成为一种普适的方法，三线定理及其逆定理综方法退其次中数学新课程中强调用空间向量及其运算处理立体几何中的角度、距离，淡化综合方法处理角度问题和距离问题。（）于目前《标准》只要求认识球的结构特征，了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆）。由于在系列3中的“选修球面的几何”专门讲述涉及球以及球面的几何，因此现在新课程“立体几何部分不涉及球面上距离等内容球的表面积和体积公式也不要求推导，教学时一定不要增加这方面的内容。二怎把这分教要？由于《标准》把“内容与要求”合在一起写，对教学要求的把握相对来说，容易一些。但在教材编写和教材实验中，也存在不少问题。（）柱棱、台些间何要到么度按照《标准》的要求，教材首先通过实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。结构特征是这些空间几何体的本质特征，我们需要抽象概括出这些空间几何体的概念棱柱为例抽出它的本质特征后要不要讲斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及棱柱的一些性质？由于《标准》在选2“间向量与立体几何”中有“参考案例”例1，例1中确提出“直三棱柱……”，所以必须讲。至于放到哪部分内容中下我们谈到结体系时，会详细阐述锥也有类似的问题，正棱锥怎么讲？在何处讲？（）于视与何观力空想能视图和投影是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》新增的内容，作为与初中数学课程内容的衔接，“空间几何体”包括视图和投影的内容。要求到什么程度？1．三视图是不是要求到“长对、高平齐、宽相等”？与初中阶段的相关内容如何衔接？/82．对于平行投影和中心投影下视图与直观图，如果只是“通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图直观图，了解空间图形的不同表示形式。”，是不是要求太低了？3．如果不明确给出直棱柱、正柱、斜棱柱等的概念，棱柱的三视图能否讲清楚？因为棱柱的三视图涉及棱柱的高概念。增加三视图的有关内容，对于进步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用。过去的“立体几”内容相对来说，这方面比较薄弱。三视图的有关内容在一定程度上改善了这种状形既需要直观地感觉需思辨地论证们学生能够画出空间几何体的三视图和观图从几何体的直观图画出它的三视图视图画出它的直观图等等。使得生能通过“实物模型—三视图—直观图”样一个相互转化的过程认识空间几何体活动是培养学生空间想象能力的有效途径，立体何的教学目标加全面基于以上原因，我们认为，教师学生应该知正图、侧视图、俯视图的“摆放”位置，以长齐宽等”的要求尺寸线体怎么画不作严格要求。这部分内容是初中“投影与视图的基础上的发展。一个现实情况是空何体8个课的容量，留给“空间几何体的三视图和直观图有2个课时间容无法展开想说的很清楚冲破2个课限制，这显然违背《标准》的要求。因，很多内容“点到为止”，要求不高，像上面提到点在平面的射影几何体的高行影中投下视和观几个问题须提到，但要求较低。（三）关于推理论证的要求从必修课程·数学、课程列2·修2-1的内容与要求”看，“立体几何”部分推理论证的要求有所变化关直线面置系一定定理用向量方法加以证明经典的“立体几何养学生的空间想象能力和几何直观能力外强调推理论证能力推证能力在最突出的位置整义务教育阶段对几何的推理论证能力的要求有所降低教阶相接高数新程面的教学要求有很大变化。6/8是不是《标准》对几何推理论证的要求降低了呢？对“立体几何”部分的教学要求降低了呢？这种看法有一定的片面性。从《准》和整套教材看，不难发现，在“立体几何”中对于推理论证的要求不是一步到位，而是分阶段、分层次、多角度的：对空间几何体的认识，先直观感受、操作确认，不做任何推理论证的要求。以长方体为载体（包括其他的实物模型、身边的实际例子等）对图形（模型）进行观察、实验和说理，引入合情推理。严格的推理论证，如选修课程系2·修中关直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理的证明。在修课程系列2·选修2-1中空间向量与立体几何”中引入空间向量，用空间向量处理平行、垂直、距离和夹角等问题。几何的现实性与论理性是几何的两个方面几里得公理体系把几何与逻辑结合起来，几何就与演绎推理结下了不解之缘久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材主的东西去理解客观世界，把握客观世界，以期对客观世界有更理性的认识。从几何推理的角度来看，既有合情推理，又有演绎推理，而且从数学自身发展的过程来看即演绎推理也并非几何独有广泛存在于数学的各个分支中近几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生了一些变化当化演绎推理多地强调从具体情境或前提出发进合情推理从纯强调几何的逻辑推理向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值。立体几何初步特别注意，使学生经历从特殊到一般体到抽象的过程逐认识直线与平面、平与平面的位置关系，在推理过程中渗透公理化思想言必有据的理性思维精神。/8（四）关于几何模型的作用与价值《标准》中多次提到“数学模型”一词，目的是进一步加强数学与现实世界的联系。数学模型是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的描述学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形可以是方程式、函数解析式等等。实际问题越复杂，相应的数学模型也越复杂。从形状的角度反映现实世界的物体时，经过抽象得到的空间几何体就是现实世界物体的几何模型于体几何学习知识内容与学生的联系非常密切间何体是很多物体的几何模型，这些模型可以描述现实世界中的许多物体们直观、具体，对培养学生的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体，特别是长方体，其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系研究直线与直线线与平面面与平面位置关系的直观载体习，一方面要引导学生从生活实际出发学习的知识与周围的实物联系起来另一方面要引导学生经历从现实的生活抽象空间图形的过程重探索空间图形的位置关系归纳概它们的