【优化方案】高考数学总复习 第6章§6.7数学归纳法精品课件 理 北师大

§6.7数学归纳法

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§6.7数学归纳法双基研习•面对高考1．数学归纳法数学归纳法是用来证明关于_________命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是_______________________________．2．用数学归纳法证明命题的步骤(1)当n＝______时，验证命题成立．双基研习•面对高考基础梳理正整数使命题成立的最小的正整数n0(2)假设当n＝k(k≥n0且k∈N＋)时命题成立，推证n＝_______时命题也成立，从而推出命题对于所有的_______________________成立，其中第一步是_________，第二步是__________，二者缺一不可．思考感悟

数学归纳法的第一步是验证，那么对于任何命题都是验证n＝1时命题成立吗？提示：不一定，要看题目中n的要求，如证当n≥3时命题成立，则第一步应验证n＝3时命题成立．

k＋1从n0开始的所有正整数n归纳奠基归纳递推课前热身1．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为(

)

A．1

B．1＋2C．1＋2＋22

D．1＋2＋22＋23答案：C答案：D答案：B5．(2011年黄山模拟)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．答案：(5,7)考点探究•挑战高考考点突破考点一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题是数学归纳法应用的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．同时，由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用归纳假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．例1【思路点点拨】本题是是一个个与正正整数数n有关的的命题题，直直接证证明有有困难难，可可考虑虑用数数学归归纳法法．【名师点点评】用数学学归纳纳法证证明恒恒等式式的关关键是是在证证明n＝k＋1时命命题题成成立立，，从从n＝k＋1的待待证证的的目目标标恒恒等等式式(或不不等等式式)的一一端端“拼凑凑”出归归纳纳假假设设的的恒恒等等式式(或不不等等式式)的另另一一端端，，再再运运用用归归纳纳假假设设即即可可．．同同时时，，还还要要注注意意待待证证的的目目标标恒恒等等式式(或不不等等式式)的另另一一端端的的变变化化(即用用“k＋1”代替替恒恒等等式式或或不不等等式式中中的的所所有有的的“n”)考点二用数学归纳法证明不等式用数数学学归归纳纳法法证证明明不不等等式式的的关关键键是是由由n＝k成立立得得n＝k＋1成立立，，主主要要方方法法有有：：①①放放缩缩法法；；②②利利用用基基本本不不等等式式法法；；③③作作差差比比较较法法；；④④综综合合法法；；⑤⑤分分析析法法等等．．例2【思路路点点拨拨】本题题考考查查利利用用数数学学归归纳纳法法证证明明与与正正整整数数有有关关的的不不等等式式．．合合理理运运用用归归纳纳假假设设后后，，向向目目标标靠靠拢拢的的过过程程中中，，可可以以利利用用证证明明不不等等式式的的一一切切方方法法去去证证明明．．【名师师点点评评】用数数学学归归纳纳法法证证明明与与n有关关的的不不等等式式一一般般有有两两种种具具体体形形式式：：一是是直直接接给给出出不不等等式式，，按按要要求求进进行行证证明明；；二是是给给出出两两个个式式子子，，按按要要求求比比较较它它们们的的大大小小．．对第第二二类类形形式式往往往往要要先先对对n取前前几几个个值值的的情情况况分分别别验验证证比比较较，，以以免免出出现现判判断断失失误误，，最最后后猜猜出出从从某某个个n值开始都都成立的的结论，，再用数数学归纳纳法证明明．考点三归纳、猜想、证明“归纳——猜想——证明”的模式，，是不完完全归纳纳法与数数学归纳纳法综合合应用的的解题模模式．其其一般思思路是：：通过观观察有限限个特例例，猜想想出一般般性的结结论，然然后用数数学归纳纳法证明明．这种种方法在在解决探探索性问问题、存存在性问问题或与与正整数数有关的的命题中中有着广广泛的应应用．其其关键是是归纳、、猜想出出公式．．例3【名师点评评】数学归纳纳法是高高中重要要的证明明方法，，在高考考中常与与其他知知识相结结合，尤尤其与数数列中的的归纳、、猜想并并证明或或与数列列中的不不等式问问题相结结合综合合考查，，证明时时要灵活活应用题题目中所所给出的的已知条条件，充充分考虑虑“假设”这一步的的应用，，不考虑虑假设而而进行的的证明不不是数学学归纳法法．变式训练练2在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数数列(n∈N＋)，求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由由此猜测测{an}，{bn}的通项公公式，并并证明你你的结论论．方法感悟方法技巧巧1．利用数数学归纳纳法可以以对不完完全归纳纳的问题题进行严严格的证证明．(如例3)2．利用数数学归纳纳法可以以证明与与正整数数有关的的等式问问题．(如例1)3．利用数数学归纳纳法可以以证明与与正整数数有关的的不等式式问题．．(如例2)4．用数学学归纳法法证明的的关键在在于两个个步骤，，要做到到“递推基础础不可少少，归纳纳假设要要用到，，结论写写明莫忘忘掉．”因此必须须注意以以下三点点：(1)验证是基基础数学归纳纳法的原原理表明明：第一一个步骤骤是要找找一个数数n0，这个n0就是要证证明的命命题对象象的最小小正整数数，这个个正整数数并不一一定都是是“1”，因此“找准起点点，奠基基要稳”是正确运运用数学学归纳法法第一个个要注意意的问题题．(2)递推乃关关键数学归纳纳法的实实质在于于递推，，所以从从“k”到“k＋1”的过程，，必须把把归纳假假设“n＝k”作为条件件来导出出“n＝k＋1”时的命题题，在推推导过程程中，要要把归纳纳假设用用上一次次或几次次．(3)寻找递推推关系的的方法①在第一一步验证证时，不不妨多计计算几项项，并争争取正确确写出来来，这样样对发现现递推关关系是有有帮助的的．②探求数数列通项项公式要要善于观观察式子子或命题题的变化化规律，，观察n处在哪个个位置．．③在书写写f(k＋1)时，一定定要把包包含f(k)的式子写出来来，尤其是f(k)中的最后一项项，除此之外外，多了哪些些项，少了哪哪些项都要分分析清楚．(如例3)失误防范1．数学归纳法法仅适用于与与正整数有关关的数学命题题．2．严格按照数数学归纳法的的三个步骤书书写，特别是是对初始值的的验证不可省省略，有时要要取两个(或两个以上)初始值进行验验证；初始值值的验证是归归纳假设的基基础．3．注意n＝k＋1时命题的正确确性．4．在进行n＝k＋1命题证明时，，一定要用n＝k(k∈N＋)时的命题，没没有用到该命命题而推理证证明的方法不不是数学归纳纳法．考情分析考向瞭望•把脉高考数学归纳法在在高考中的考考查重点是证证明与正整数数有关的不等等式以及与数数列有关的命命题，其中用用数学归纳法法证明与数列列有关的命题题是高考的热热点，题型为为解答题，主主要考查用数数学归纳法证证明数学命题题的能力，同同时考查学生生分析问题、、解决问题的的能力，难度度中、高档．．预测2012年高考可能以以与数列有关关的等式或不不等式的证明明为主要考点点，重点考查查学生运用数数学归纳法解解决问题的能能力．真题透析例(本题满分12分)(2010年高考江苏卷卷)已知△ABC的三边长都是是有理数．(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意意正整数n，cosnA是有理数．当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，8分sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①和归纳假设，，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．．即当n＝k＋1时，结论成立立.10分综合①②可知，对任意意正整数n，cosnA是有理数.12分【名师点评】本题易失误误的是：①归纳假设使使用不当致致误；②没有证明sinA·sinnA或sinA·sinA为有理数，，直接应用用致误；③步骤不全，，造成失分分．名师预测已知(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…an(x－1)n(其中n∈N＋)．(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；(2)试比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，并并说明理由由．解：(1)取x＝1，则a0＝2n；取x＝2，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.(2)要比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，即即比较3n与(n－1)·2n＋2n2的大小，当n＝1时，3n>(n－1)2n＋2n2；当n＝2,3时，3n<(n－1)2n＋2n2；当n＝4,5时，3n>(n－1)2n＋2n2；猜想：当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2，下面用数数学归纳法法证明：由上述过程程可知，当当n＝4时结论成立立，假设当n＝k(k≥4)时结结论论成成立立，，即即3k>(k－1)2k＋2k2，两边边同同乘乘以以3，得得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k