【优化方案】高考数学总复习 第4章§4.1平面向量的概念及线性运算精品课件 理 北师大

§4.1平面向量的概念及线性运算

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.1平面向量的概念及线性运算双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有_____的量；向量的大小叫作向量的______

(或模)零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量与向量a________，且长度为单位1的向量叫作a方向上的单位向量平行(共线)向量方向_____或______的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等、方向相同的向量0的相反向量为0相反向量长度相等、方向______的向量方向长度同方向相同相反相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的和的运算________法则_____________法则(1)交换律：a＋b＝______.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差_________法则三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0λ(μ

a)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝__________.相同相反λa＋λb3．向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得_______，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量

b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得_________.b＝λab＝λa思考感悟a∥b是a＝λb(λ∈R)的什么条件？提示：a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要条件．(1)当a＝λb(λ∈R)时，由数乘的几何意义知a∥b成立．(2)当a≠0，b＝0时，a∥b成立，而不存在λ∈R使a＝λb成立．答案：B课前热身2．(2009年高考湖南卷)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．如图图，向向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2答案：：C答案：：(1)(2)(3)5．设e1、e2是平面面内一一组基基向量量，且且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向向量e1＋e2可以表表示为为另一一组基基向量量a、b的线性性组合合，则则e1＋e2＝________a＋________b.考点探究•挑战高考考点突破考点一向量的有关概念准确理理解向向量的的基本本概念念是解解这类类题目目的关关键．．共线线向量量即为为平行行向量量，非非零例1A．2B．3C．4D．5【思路路点点拨拨】理解解向向量量基基本本概概念念的的内内涵涵，，按按照照定定义义逐逐个个判判定定，，注注意意到到特特殊殊情情况况，，否否定定某某个个命命题题只只要要举举出出一一个个反反例例即即可可．．【解析析】①真真命命题题；；②②假假命命题题，，若若a与b中有有一一个个为为零零向向量量时时，，其其方方向向是是不不确确定定的的；；③③真真命命题题；；④④假假命命题题，，终终点点相相同同并并不不能能说说明明这这两两个个向向量量的的方方向向相相同同或或相相反反；；⑤⑤假假命命题题，，共共线线向向量量所所在在直直线线可可以以重重合合，，也也可可以以平平行行；；⑥⑥假假命命题题，，向向量量可可用用有有向向线线段段来来表表示示，，但但并并不不是是有有向向线线段段．．【答案案】C【名师师点点评评】本例例中中多多个个命命题题的的真真假假判判断断需需逐逐一一进进行行，，而而且且要要求求准准确确无无误误，，特特别别注注意意特特殊殊情情况况，，如如命命题题②②中中忘忘记记考考虑虑零零向向量量．．命命题题⑤⑤中中向向量量平平行行混混同同于于解解析析几几何何中中的的直直线线平平行行．．用已已知知向向量量来来表表示示另另外外一一些些向向量量是是用用向向量量解解题题的的基基本本功功，，除除利利用用向向量量的的加加、、减减法法、、数数乘乘向向量量外外，，还还应应充充分分利利用用平平面面几几何何的的一一些些定定理理，，因因此此在在求求向向量量时时要要尽尽可可能能转转化化到到平平行行四四边边形形或或三三角角形形中中，，利利用用三三角角形形中中位位线线、、相相似似三三角角形形对对应应边边成成比比例例等等平平面面几几何何的的性性质质，，把把未未知知向向量量转转化化为为与与已已知知向向量量有有直直接接关关系系的的向向量量来来求求解解．．考点二向量的线性运算例2(2)(2009年高考湖湖南卷)如图所示示，D、E、F分别是△△ABC的边AB，BC，CA的中点，，则()【思路点拨拨】利用向量量的线性性运算，，三角形形的性质质及向量量的几何何意义可可得结论论．【答案】(1)B(2)A(3)C【名师点评评】解决此类类问题关关键要熟熟练掌握握运算法法则，并并善于用用基本向向量表示示其余所所涉及到到的向量量，表示示的方法法是依据据三角形形法则或或平行四四边形法法则，构构造含有有表示所所求向量量的有向向线段的的三角形形或平行行四边形形．变式训练练1(1)(2009年高考北北京卷)已知向量量a、b不共线，，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向考点三共线向量定理的应用例3【答案】(1)D(2)D【规律小结结】(1)向量共线线的充要要条件中中要注意意当两向向量共线线时，通通常只有有非零向向量才能能表示与与之共线线的其他他向量，，要注意意待定系系数法的的运用和和方程思思想．(2)证明三点点共线问问题，可可用向量量共线来来解决，，但应注注意向量量共线与与三点共共线的区区别与联联系，当当两向量量共线且且有公共共点时，，才能得得出三点点共线．．方法技巧巧1．将向量量用其他他向量(特别是基基向量)线性表示示，是十十分重要要的技能能，也是是向量坐坐标形式式的基础础．(如例2(1))2．首尾相相连的若若干向量量之和等等于以最最初的起起点为起起点，最最后的终终点为终终点的向向量；若若这两点点重合，，则和为为零向量量．(如例1)3．通过向向量的共共线可以以证明三三点共线线及多点点共线，，但要注注意到向向量的平平行与直直线的平平行的区区别．(如例3)方法感悟悟1．关于两两个向量量的和应应注意的的几个问问题(1)两个向量量的和仍仍是一个个向量；；(2)使用三角角形法则则时要注注意“首尾相连连”；(3)当两个向向量共线线时，三三角形法法则适用用，而平平行四边边形法则则不适用用．失误防范范2．向量减减法运算算应注意意的两个个问题(1)向量的减减法实质质是加法法的逆运运算；差差仍为一一个向量量．(2)用三角形形法则作作向量减减法时，，记住“连接两个个向量的的终点，，箭头指指向被减减向量”．3．向量量的数数乘运运算(1)向量数数乘的的特殊殊情况况：当当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，也也有λa＝0.(2)实数和和向量量可以以求积积，但但不能能求和和、求求差．．(3)熟练掌掌握向向量线线性运运算的的运算算规律律是正正确化化简向向量算算式的的关键键，要要正确确区分分向量量数量量积与与向量量数乘乘的运运算律律．考情分析考向瞭望•把脉高考向量的的线性性运算算，共共线问问题是是高考考的热热点，，尤其其向量量的线线性运运算出出现频频率较较高，，多以以选择择题、、填空空题的的形式式出现现，属属于中中低档档题目目，主主要考考查向向量的的线性性运算算及对对向量量有关关概念念的理理解，，常与与向量量共线线和向向量基基本定定理交交汇命命题．．预测2012年高考考仍将将以向向量的的线性性运算算、向向量的的基本本概念念为主主要考考点，，重点点考查查向量量加、、减的的三角角形法法