第13章轴对称含辅助线证明题专题训练1 人教版数学八年级上册

第=page99页，共=sectionpages99页第=page1010页，共=sectionpages11页人教版数学八年级上册第十三章轴对称含辅助线证明题专题训练1如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．

​（1）求证：2BD＝2CF+BE；（2）若AB＝4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ＝1，求BP的长．

如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．

（1）求证：△CBE为等边三角形；（2）若AD=5，DE=7，求CD的长．

已知等边△ABC的边长为4cm,点P,Q分别是直线AB,BC上的动点.

(1)如图,当点P从顶点A沿AB向B点运动,点Q同时从顶点B沿BC向C点运动时,它们的速度都为1cm/s,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为t秒,连接AQ,PQ.(i)当t=2时,求∠AQP的度数;(ii)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?(2)如图,当点P在BA的延长线上,Q在BC上时,若PQ=PC,请探究AP,CQ和AC之间的数量关系,并说明理由.

如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y轴正半轴上一个动点，AD是角平分线．

(1)如图1，若∠ACB=90°，直接写出线段AB，CD，(2)如图2，若AB=AC+(3)如图2，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+如图,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BD,BD平分∠ABC,AE⊥BD于E,P为线段AD上一动点．

（1）求∠DAE；

（2）当P到BD的距离为1,到AB的距离为2时,求AE的长；

（3）当P运动至CE延长线上时,连结BP,求证：BP⊥AD．

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．

（1）求∠ADB的度数；

（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝8，求AD的长．

如图，△ABC中，AB=AC，点D为△ABC外一点，DC与AB交于点O，且∠BDC=∠BAC．

（1）求证：∠ABD=∠ACD；

（2）作AM⊥CD于M，求证：BD+DM=CM．

如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE=CD，延长BC至点F，使CF=CD，连接BD．

（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD=DF；

（2）延长BD与EF交于点G．

①如图2，求证：∠BGE=60°；

②如图3，连接BE，CG．若∠EBD=30°，BG=4，则△BCG的面积为______．

已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE=10cm，AB=6cm，求CE的长．

（12分）在ΔABC中，∠B=60∘，D是BC上一点，且AD=AC．（1）如图1，延长BC至E，使CE=BD，连接AE．求证：AB=AE；（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF=DB，求证：AF=BC；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．

（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．​​​​​​​

小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．​​​​​​​请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1)等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2)已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为___（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）

如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．

(1)求线段BC的长；

(2)连结OA，求线段OA的长；

(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．

已知，在等边△ABC中，E为BC上一点，连接AE并延长，在AE的延长线取一点D，连接BD、CD，使得∠BDC=120°．

（1）如图1，求证：DA平分∠BDC；

（2）如图2，在AC上取点F，使得CE=AF，连接BF交AD于点G，点M为GD的中点，当ME=FG时，BD=8，求AD的长．

如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180∘−α，BD平分∠ABC．

（1）如图，若α=90∘，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是_______

（2）问题解决：如图，求证AD=CD；

（3）问题拓展：如图，在等腰ΔABC中，∠BAC=100∘，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC​​​​​​​．

如图,在等腰三角形△ABC中,AC=BC,D、E分别为AB、BC上一点,∠CDE=∠A.(1)如图,若BC=BD,求证:CD=DE;(2)如图,过点C作CH⊥DE,垂足为H,若CD=BD,EH=1,求DE-BE的值.

已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，连接EF，∠EAF+∠BAC=180°

（1）如图1，若∠ABE=63°，∠BAC=45°，