【名师一号】高中数学 第四章 本章回顾课件 新人教A必修2

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一､知识结构

2共24页3共24页二､方法总结1.求圆的方程应注意根据所给条件,恰当选择方程的形式,用待定系数法求解.2.讨论点与圆､直线与圆､圆与圆的位置关系时,一般从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径关系)去考虑,其中用几何法较为简捷､实用.3.解决空间问题注意利用类比的思想.4共24页三､数学思想1.数形结合思想例1:圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有几个?分析:探讨圆半径,圆心到直线的距离以及二者之间的大小关系.5共24页解:解法1:圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心O1(3,3),半径r=3.设圆心O1到直线3x+4y-11=0的距离为d,则如图,在圆心O1同侧与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,则这两个交点符合题意.6共24页又r-d=3-2=1.∴与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.∴符合题意的点共有3个.7共24页解法2:符合题意的点是平行于直线3x+4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线为3x+4y+m=0,则∴m+11=±5,即m=-6,或m=-16.即l1:3x+4y-6=0,或l2:3x+4y-16=0.设圆O1:(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2.8共24页则∴l1与O1相切,与圆O1有一个公共点;l2与圆O1相交,与圆O1有两个公共点.即符合题意的点共有3个.9共24页

规律技巧:到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为该定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般根据圆与直线的位置关系来判断,即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.10共24页2.转化与化化归思想例2:若实数数x､y满足足x2+y2+8x-6y+16=0,求x+y的最小值.解:将方程化化为(x+4)2+(y-3)2=9设x+y=b,则y=-x+b可见求x+y的最小值转转化为求直线线y=-x+b在y轴上上的截距最小小,因为(x,y)在圆圆上,这时只只要直线与圆圆相切.如图图由点到直线线的距离公式式可得11共24页页12共24页页规律技巧:把把求x+y的的最值问题转转化为几何问问题,利用点点到直线的距离得以以解决.13共24页页3.函数与方方程思想例3:已知知⊙C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0)､B(1,0),点P是圆圆上动动点,求d=|PA|2+|PB|2的最大大､最最小值值及对对应的的P点点坐标标.解:设设点P为(x0,y0),则则d=(x0+1)2+y+(x0-1)2+y=2(x+y)+2.欲求d的最最大､､最小小值,只需需求u=x+y的的最最大､､最小小值,此即即求⊙⊙C上上点到到原点点距离离之平平方的的最大大､最最小值值.14共24页页作直线线OC,设设其交交⊙C于P1(x1,y1)､P2(x2,y2),则u最小值值=(|OC|-1)2=16=|OP1|2,此时时OP1:P1C=4,∴d最小值值=34,对对应点点P1的坐标标为同理可可得d最大值值=74,对对应点点P2的坐标标为15共24页页规律技技巧:圆上上点到到定点点或定定直线线的距距离的的最值值,都都在点点与定定点的连连线､､点与与直线线的垂垂线过过圆心心时取取得.本题题解法法充分分反映映了解析析几何何的解解题思思路:一方方面,将几几何问问题代代数化化;另另一方方面,将代数数问题题几何何化.16共24页页四､专专题:(一一)巧巧用直直线与与圆的的位置置关系系设圆C的半半径为为r,圆心心到直直线l的距距离为为d,则直直线与与圆的的位置置关系系为:(1)l与与圆相相交⇔d<r;(2)l与与圆相相切⇔d=r;(3)l与与圆相相离⇔d>r.恰当地地运用用这一一结论论解题题,往往往给给人以以推陈陈出新新之感感,请请看下下面的的例子子.17共24页页1.应应用于于求斜斜率例4:已知知直线线l经经过点点(3,2)且且与圆圆心在在原点点的单单位圆圆相切切,求求直线线l的的斜率率.解:设设l的的斜率率为k,则则直线线l的的方程程为:y=k(x-3)+2.∴圆心心到直直线的的距离离为由于直直线与与圆相相切,因而而解得18共24页页2.应应用于于证明明不等等式例5:设c是直直角三三角形形的斜斜边长长,a,b是两两条直直角边边边长长,求求证证明:由直直角三三角形形,知知a2+b2=c2.取圆C:x2+y2=c2,直线线x+y=a+b,则点(a,b)必为为圆C与直直线的的公共共点,由点到到直线线的距距离公公式,得≤c,整理理即得得到19共24页页3.应应用于于求最最值例6:已知知a2+9b2-4a-12b+3=0,a,b∈R,求求k=a+6b的最最值.解:由由已知知整理理得(a-2)2+(3b-2)2=5,显然,点(a,3b)是是圆(x-2)2+(y-2)2=5与与直线线x+2y=k的公公共点点,由直线线与圆圆的位位置关关系,有:解之得得1≤≤k≤≤11.因此,k=a+6b的最最大值值为11,最小小值为为1.20共24页页(二)圆的的几何何性质质的应应用在解析析几何何中,若能能抓住住图形形的特特征,充分分利用用平面面几何何知识识.常常会得得到事事半功功倍的的效果果.例7:以原原点为为圆心心,且且截直直线3x+4y+15=0所所得弦弦长为为8的的圆的的方程程.分析:充分分利用用圆的的几何何性质质,半半径､､半弦弦长及及弦心心距构构成直直角三三角形形,由由勾股股定理理求解解.21共24页页解:设设圆的的方程程为x2+y2=r2,圆心心O到到直线线3x+4y+15=0的距距离由题意意得d2+42=r2,∴r2=16+9=25.故所所求圆圆的方方程为为x2+y2=25.22共24页页例8:已知知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线线l过过点P(2,3)且且与圆圆M交交于A､B两点点,且且求求直线线l的的方程程.分析:画出出示意意图,注意意直线线l的的斜率率存在在与不不存在在的情情形.解:(1)当直直线l的斜斜率存存在时时,设直线线l的的方程程为y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0.作出示示意图图,如如图,23共24页页作MC⊥AB于于C,在Rt