【名师一号】高中数学 2.1.1平面课件 新人教A必修2

第二章点､直线､平面之间的位置关系§2.1空间点､直线､平面之间的位置关系2.1.1平面

1

自

学

导

引(学生用书P23)

21.初步理解平面的概念,掌握平面的表示法.2.了解并会用文字语言､图形语言､符号语言表示点､线､面的位置关系.3.掌握平面的基本性质的三种语言表示,初步掌握性质的简单运用.3课

前

热

身(学生用书P23)

41.公理1:如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直线在此平面内.2.公理2:过不在一条直线上的三点,________一个平面.3.公理3:如果两个不重合的平面有______公共点,那么它们有且只有______过该点的公共直线.两点有且只有一个一条5名

师

讲

解(学生用书P23)

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1.准确理解平面的概念“平面”是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念,对“平面”这一概念应从以下三个方面注意理解:①“平面”是平的;②“平面”无厚度;③“平面”是无边界的,可以向四面八方无限延展.这就是人们常说的平面的“无限延展性”.72.空间图形的画法(1)关于平面的画法要注意以下几点①通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画一条线段来表示.②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示:如用三角形､矩形､圆等平面图形来表示平面.8③画表示平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成45°,横边画成是邻边的两倍.④画表示竖直平面的平行四边形时,通常把它的一组对边画成铅垂线.9(2)画空间图形时,为什么规定:看不见的地方要画虚线或不画呢如果所有线都画实线,则同一个图形可以想象出不同的形状.如图(甲),可以想象出两种不同的图形形状.①想象点A在平面BCD里面,我们看不见;②再想象点A被慢慢拉到外面来,于是,点A又在平面BCD的外面.这样,就得出两种不同的图形了,而图(乙)则不会产生上述感觉.同时也符合人的视觉效果原理:近实远虚.103.准准确确理理解公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”.公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.11面重重“有且只有”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”,“只有一个”说明“唯一”,所以“有且只有一个”,也可以说成“存在”并且“唯一”,与确定同义.推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.12图形形表表示示如如下下图图公理理3的的作作用用是是判判定定两两个个平平面面相相交交及及证证明明点点在在直直线线上上.13典例剖析(学生用用书P24)14例1:用符符号语语言及及文字字语言言描述述下图图,并并画出出平面面ABC和和平面面α及及β的的交线线.分析:要画画出两两个平15解:如如图,α∩∩β=l,A∈∈α,B∈∈α,AB∥l,C∈∈β,A、、B、、C均均不在在l上上.16规律技技巧:本题题给出出了画画两个个平面面交线线的一一般方方法,即找找出它它们的的两个个公共共点,转化化为找找同一一平面面内两两条直直线的的交点点.17变式训训练1:判判断下下列说说法是是否正正确?并说说明理理由.(1)平面面的形形状是是平行行四边边形;(2)任何何一个个平面面图形形都是(3)圆和平面多边形都可以表示平面;(4)因为 ABCD的面积大于 A′B′C′D的面积,所以平面ABCD大于平面A′B′C′D′;(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.18解:(1)不正正确.平面面是无无限延延展的的,我我们只只是画画平行行四边边形表表示平平面.(2)不正正确.平面面图形形和平平面是是两个个完全全不同同的概概念.平(3)正确.圆和平面多边形都是平面图形,可以用它们表示平面.(4)不正确.平面是无限延展的,不论大小,不计面积.(5)不正确.平面是无限延展的,无边界.19题型二二多多线线共面面问题题例2:证明明两两两相交交且不不共点点的三三条直直线在在同一一平面面内.已知:如图图所示示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线线l1､l2､l3在同一一平面面内.20分析:证明明多线线共面面,一一般先先选取取两条条直线线构造造一个个平面面,然然后证证明其其他直直线都都在这这个平平面上上.21证明:证法法1:(同同一法法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一一个平平面αα.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2α,∴B∈αα.同理可可证C∈αα.又∵B∈l3,C∈∈l3,∴l3α.∴直线线l1､l2､l3在同一一平面面内.22证法2:(重合合法)∵l1∩l2=A,∴l1､l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2､l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2α,∴A∈α.∵A∈l2,l2β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A､B､C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1､l2､l3在同一平面内.23规律技技巧:(1)同同一法法证明明直线线共面面的步步骤:①证明明其中中两条条直线线平②证明其余直线上均有两点也在平面α内,即其余直线也在平面α内,也就是证明了这些直线共面.(2)重合法证明直线共面的步骤:①证明这些直线确定若干个平面;②利用公理及其推论证明这些平面重合,从而证明了这些直线共面.24变式训训练2:求求证:如果果一条条直线线和两两条平平行直直线都都相交交,那那么这这三条条直线线共面面.已知:a∥b,a∩l=A,b∩l=B,求证:直直线a､､b､l共面.25证明:如如图所示示.∵a∥b,∴直直线a､､b确定定一个平平面α.∵a∩l=A,∴A又b∩l=B,∴B∈b,B∈α.又∵A∈l,B∈l,∴lα.∴直线a､b､l共面.26题型三多多点点共线问问题例3:如如图,27分析:由由公理3知,两两个平面面相交有有一条公公共直线线,要证证P､Q､R三三点共线线,只要要证明这这三点是是这两个个平面的的公共点点即可.28证明:∵∵AB∩∩α=P,AB 面ABC,∴P∈面面ABC,P∈∈α,∴P在平平面ABC与平平面α的的交线上上.同理可证证Q和R均在这∴P\,Q\,R三点共线.29规律技巧巧:解决决点共线线或线共共点的问问题是平平面性质质的应用用.解决决点共线线一般30变式训练练3:如如图,已已知平面面α､ββ相交于于l,设设梯形ABCD中,AD∥BC,且且ABαα,CDββ.求证:AB､CD､l相交于于一点.31证明:∵∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯梯形ABCD的的两腰,∴AB､DC必相交交于一点点,设AB∩DC=M,又∵∵ABαα,CDββ,∴∴M∈αα,且M∈β,∴M∈∈α∩ββ.又∵∵α∩ββ=l,∴M∈∈l,∴∴AB､32易错探究究33例4:已已知:A､B､､C､错解:∵A､B､C､D共面,∴点A在B､C､D确定的平面内,又点B､C､D､E共面,∴点E也在B､C､D确定的平面内.∴A､E都在B､C､D所确定的平面内.即点A､B､C､D､E五点一定共面.34错因分析:错错解中,误认认为B､C､､D三点确定定一个平面,而题设中并并没有说明B､C､D三三点确定一个个平面.因此此,当B､C､D三点共共线时,A､､B､C､D､E不一定定共面.35正解:A､B､C､D､､E五点不一一定共面.(1)当B､､C､D三点点不共线时,由公理可知知B､C､D三点确定一一个平面α,由题设知A∈α,E∈∈α,故A､､B､C､D､E五点共共面于α;(2)当B､､C､D三点点共线时,设设共线于l,若A∈l,E∈l,则则A､B､C､D､E五五点共面;若若A､E有且且只有一点在在l上,则A､B､C､､D､E五点点共面;若A､E都不在在l上,则A､B､C､､D､E五点点可能不共面面.综上所述,在在题设条件下下,A､B､36技能演练(学生用书P25)37基础强化1.经过同一一直线上的3个点的平面面()A.有且只有有一个B.有且只有3个答案:C382.用符号表表示“点A在在直线l上,l在平面αα外”,正确确的是()答案:B393.已知点A,直线a,平面α.以上命题中真真命题的个数数是()答案:A404.平面α∩∩平面β=l,点A∈A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上都不对答案:C415.给出下列列命题:(1)和直线线a都相交的的两条直线在在同一个平面面内;(2)三条两两两相交的直直线在同一平平面内;(3)有三个个不同公共点点的两个平面面重合;(4)两两平平行的三条直直线确定三个个平面.其中正确命题题的个数是()答案:A426.下列命题题①三个点确定定一个平面②一条直线和和一点确定一一个平面③两条相交直直线确定一个个平面④两条平行线线确定一个平平面其中正确命题是________.③④⑤43②不正确.当点在直线上时,不成立.③正确.两条相交直线,必有三个点不共线,由公理2知,正确.④正确,理由同③.⑤正确,反证法:若有三点共线l,则l与第四个点确定一个平面α.∴四点共面,与已知相矛盾.447.三条直答案:1或3458.三个平平面α、ββ、γ两两两相交于三三条直线,即α∩ββ=c,ββ∩γ=a,γ∩αα=b,已已知直线a和b不平平行.求证:a、、b、c三三条直线必必过同一点点.46证明:∵αα∩γ=b,β∩γγ=a,∴∴aγγ,bγγ.∵a、b不不平行,∴∴a、b必必相交,设设a∩b=P,∵P∈a,aββ,∴∴P∈β.∵P∈b,bαα,∴∴P∈α.而α∩β=c,∴P∈c.∴a、b、、c相交于于一点P,即a、b、、c三条直直线过同一一点.47能力提升489.若空间间中有四个个点,则““这四个点点中有三点点在同一直直线上”和和“这四个个点在同一一平面上””能不能互互相推导.解:(1)“这四个个点中有三三点在同一一直线上””有两种情情况:①第第四个点在在共线三点点所在的直直线上,可可推出“这这四个点在在同一平面面上”;②②第四个点点不在共线线三点所在在的直线上上,可推出出“这四点点在唯一的的一个平面面内”.(2)“四四个点在同同一平面上上”可能推推出“两点点分别在两两条相交或或平行的直直线上”,不一定能能推出“这这四个点中中有三点在在同一直线线上.”4910.一条条直线与三三条平行直直线都相交交,求证:这四条直直线共面.分析:如果果一条直线线与两条平平行直线都都相交,则则完全仿照照变式2的的证法证明明,可是第第四条直线线为何在确确定的平面面内,显然然靠公理1是行不通通的,本题题采用平面面重合法证证明.50证明:如图图,易证a\,b\,d在同同一平面αα内,b\,c\,d在同一一平面β内内.∵α与β有有公共的相相交直线b\,d.即α\,ββ是相交直直线b\,d确定的的平面,∴α与β重重合.∴a\,b\,c\,d四线线共面.51品