高二物理竞赛动量定理课件

运动定理动量、动量定理功与能动量矩(角动量）定理有心力问题碰撞曲线的功合力所做的功等于分力所做功的代数和。内积(标量积)功（1）平面直角坐标系xyOxr0r1yFrs0s1Fs不同坐标系里的功（2）平面“自然”坐标系功的性质(1)功是过程量，一般与路径有关。(2)功是标量，但有正负。

(3)

合力的功为各分力的功的代数和。引力的功

两个质点之间在万有引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,

M指向m的方向为矢径r的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a

点运动到b点，万有引力的功:

与路径无关Example:质量为M、m的两球原来相距为a，在万有引力作用下逐渐靠近至相距为b，求在此过程中引力所作的功。abSolutionI:

InFrameMMmabCr1r2SolutionII:

Re.centerofmassM:m:M:m:各个力的功与参考系有关，但一对力的功与参考系的选择无关。质心系里，内力的功与质量成反比。对小质量物体作功占主要地位。引力的功只与物体系统的初始和最终相对位置有关，与路径无关。

保守力做功势能GravitationalpotentialenergyElasticpotentialenergy关于势能：势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能的差与之无关。不同保守力对应的势能，其零势能位形的选取可以不同。(3)势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。(4)与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与参考系无关。

(2)势能保守力梯度：例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆轨道上,轨道半径为,求卫星的势能\动能和机械能.(不计空气阻力)（1）势能（2）动能RO

动量、动量定理动量:冲量I:由牛顿第二定律：动量定理的微分形式动量定理的积分形式例

如图所示，一质量为m的小球在两个壁面以速度vo来回弹跳，碰撞是完全弹性的，忽略重力贡献。（1）求每个壁所受的平均作用力F，（2）如果一个壁表面以v<<vo的速率慢慢地移向另一个表面，则回跳频率由于碰撞间距离的减少以及球从运动的表面碰回时，小球的速率增大而增加，求出用表面的距离x来表示的力F。（3）证明：把表面从距离l推近到距离x时所做的功等于球的动能的增加。mv0vlx（1）因为是完全弹性碰撞，小球反弹的速度还是vo，所以小球每一次与壁面碰撞动量的变化是2mvo,即单次碰撞墙壁受到的冲量为2mvo，单位时间内的碰撞次数（碰撞频率）为f=vo/2l,单位时间墙壁受到的总冲量即是墙壁受到的平均作用力，所以

(2)设两个壁面之间距离为x时小球的速度为u,与上一问类似，碰撞频率为f=u/2x，每一次碰撞墙壁受到的冲量为2mu，所以求两壁之间距离为x时的速度u。小球与壁面相继两次碰撞的时间间隔为

每一次碰撞速度的增量为2ｖ小球速度的速度增加率积分得利用以上结论还容易证明，把表面从距离l推近到距离x时所做的功等于球的动能的增加例．在水平桌面上有一卷质量为m、长为l的链条，其一端用手以恒速v竖直向上提起（如图所示），当提起的长度为x时，(1)求手的提力为多少？做功多少？(2)链条获得的机械能为多少？(3)比较以上功与机械能变化是否相等，你能解释吗？vx解:取提起的这一段链条为研究对象，它受到的合力为手的提力与这一段自身的重力之和，即

链条在dt时间内，一段长度为dx=vdt的链条由静止加速到v，其动量的增量为

该力做功为（2）链条获得的机械能为动能和势能之和（3）功与机械能变化的差是用功能原理来求力得不到正确结果!

碰撞Collisions（1-D）对心碰撞（正碰）（两球的相对速度沿球心联线）

m1u1m2u2(u1>u2)

动量守恒原理碰撞前碰撞后

碰撞过程压缩阶段恢复阶段

恢复系数

0<=e<=1完全弹性碰撞完全非弹性碰撞约化质量

动能

相等

不相等

动量守恒原理+恢复系数的定义研究对心碰撞问题的两个基本方程式质心的速度m1=m2的完全弹性碰撞交换速度练习：试在质心系中求解对心碰撞两体问题的动能AboutkineticenergyBeforecollision：Aftercollision：Relativevelocity,aftercollisionTherefore：e=1,T=0;e<1,T<0资用能：availableenergy,

对撞机角动量

与角动量守恒

匀速直线运动的

一个守恒量掠面速度:Arealvelocity掠面速度：位矢r在单位时间内扫过的面积。推广到有心力！掠面速度Cc//SB，所以三角形SBC与SBc等高有心力作用下掠面速度相等。牛顿的推理：???有心力作用下什么守恒？

守恒量m定义：动量矩角动量mmMomentofinertia转动惯量结论：有心力作用下掠面速度相等，故角动量守恒。动量矩(角动量）定理

质点对轴的动量矩等于对轴上任意一点的动量矩在该轴上的投影。

关于轴线的动量矩zApypxBpCSyyxxzAFyFxBFCSyyxx

直角坐标系力对线的力矩

极坐标系FFBAFCS

力对参考点o的力矩M：受力质点相对于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。AFMroSM=Frsin力对于参考点的力矩力对轴上任意一点力矩在该轴上的投影等于力对该轴的力矩。动量矩(角动量）定理—平面运动可以变化

直角坐标：请自己证明：动量矩(角动量）守恒

若作用于质点的力对参考点o的力矩之和保持为零，则质点对该点的动量矩不变。演示：直升飞机开普勒第二定律对任一个行星说，它的径矢在相等的时内扫过相等的面积。=0动量矩定理:质点对参考点o的动量矩的时间变化率就等于质点所受力对于o点的力矩。

关于点的动量矩定理运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。

作用力——有心力，定点——力心在有心力作用下，质点在通过力心的平面内运动。有心力有心力问题的基本方程

以力心为极点的极坐标系两个基本方程动量矩守恒原理机械能守恒原理有心力为保守力TheLawsofPlanetaryMotion

Kepler‘sFirstLaw:

行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

Kepler'sSecondLaw:对任一个行星说，它的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。动量矩守恒Kepler'sThirdLaw:

行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与周期T的平方成正比T2/a3=K引力与距离平方成反比例题：人造卫星沿着椭圆轨道运动，近地点离地心的距离为r1,远地点离地心的距离为r2,地球的质量为M，卫星的质量为m，求：（1）卫星在近地点和远地点的速度；（2）卫星的总机械能。

试导出开普勒第三定律！IPhO11-1一质量为m=12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h=100km。为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10000m/s，月球半径R=1700km,月球表面的重力加速度为g=1.7m/s2。飞船可用两种不同方式到达月球（如图）（1）到达月球上A点，该点正好与X点相对；（2）在X点给一指向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点。试计算上述两种情形下所需要的燃料量。分析：画出两种情形的完整轨道。用能量判断轨道：是否椭圆？哪一种情形燃料更多？飞船被加速还是减速了。xAAxAB圆轨道速度（1）XA之间距离即新轨道长轴为2R+h，能量原轨道长轴为2(R+h),能量为在X点需要改变的动能：在X点需要改变的动能：（2）

相图

（分析运动状态的图解）例：光滑桌面上的弹簧振子。（质量为m，弹簧的劲度系数为k）作（1）V势x曲线，（2）v速度x曲线，并讨论其运动情况。mxxoxV3E2EE0xov例：研究摆长l为的复摆运动。作(1)V重力势曲线，(2)曲线，并讨论其运动情况。（细杆质量忽略，近似为单摆）O法向切向NmglSxoxH1.00.102.03.0-例（P215）：半径为R的圆环状细管在水平面内以匀角速绕A点转动。管的内壁是光滑的。求解质点M在其相对平衡位置附近作小振动的周期，及约束反力。2mv’ONABMm2r求解及分析在平衡点B周围作小振动，在转动坐标系中，仅惯性离心力(保守力）做功，重力、约束反力、科氏力不做功。根据机械能守恒原理IPhO14-1一质点沿正半轴OX运动，作用在质点上有一个力F(x)=-10N。

在原点有一完全反射的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。质点以E0=10J的动能从x0＝1.0m出发。（1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度，（2）画出质点在力场F中的势能图，（3）描绘出作为x函数的速度的定性图。(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速度为11，下落时加速度为9，落回地面后又弹起。所以直到在原点速度为零才会静止。F是保守力，所以

fS=E0+|F|x0S=20m.(2)Ep=|F|x+c

向上时加速度为11，下落时加速度为9

（半个收缩的螺线）两球碰撞的角动量守恒v2oHm2m1r2r1v1½(rv)P=mvmROL思考题：圆锥摆的角动量是否守恒？第一种解释：关于转轴的运动角动量守恒！第二种解释：关于O点的运动L、M与角速度三者方向不同角动量不守恒！LrP=mvROM练习：试用角动量定理求解圆锥摆的运动周期。rmP=mvRO（1）m关于转轴的运动情况L与角速度同方向（2）m关于O点的运动情况L、M与角速度三者方向不同rP=mvROLMdL=Mdt解角动量定理：进动iii)

有效势能

极径的微分方程

定义有效势能惯性离心力势能O能量

行星运动

行星径向运动动能

行星运动的性质由总能量E来决定。

行星运动的性质由总能量E来决定。

1.E>0,双曲线轨道（无界）；

2.E=0,抛物线轨道（无界）；

3.Vmin<E<0,椭圆轨道（有界）；

4.