人教版八年级数学下册第16章二次根式

第十六章

二次根式16.1二次根式第1课时

二次根式的定义1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业二次根式的定义二次根式有意义的条件二次根式的“双重”非负性填空：一个正数有_______平方根，它们____________；0的平方根是____；_________没有平方根.两个互为相反数0负数1知识点二次根式的定义思考用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S的正

方形的边长为__________.(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则

它的宽为________m.

知1－导知1－导(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t

(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)

满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______.

上面问题的结果分别是

，它们表示一些正数的算术平方根.形如(a≥0)的式子叫做二次根式；其中“”称为二次根号，a称为被开方数(式)．知1－讲定义导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具

备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．解：(1)∵的根指数是3，∴不是二次根式．(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．(3)当－5a≥0，即a≤0时，

是二次根式；

当a＞0时，－5a＜0，则

不是二次根式．∴不一定是二次根式．(4)＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为

二次根式．例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．(1)；(2)；(3)；(4)＋1(a≥0);(5)；(6)；(7)；(8)知1－讲知1－讲(5)当x＝－3时，

无意义，∴也无意义；

当x≠－3时，

＞0，∴是二次根式．∴不一定是二次根式．(6)当a＝4时，a－4＝0，

是二次根式；

当a≠4时，－(a－4)2＜0，

不是二次根式．∴不一定是二次根式．(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．(8)∵|x|≥0，∴是二次根式．总

结知1－讲二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？知1－练（来自《教材》）1设长方形的长、宽分别为3xcm，2xcm，由题意得2x×3x＝18，解得x＝(负值舍去)．长方形的长、宽应分别取3cm和2cm.答：解：2

下列式子一定是二次根式的是()A.B.

C.

D.3下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.知1－练CA4下列式子：

中，一定是二次根式的有(

)A．2个B．3个

C．4个D．5个知1－练C2知识点二次根式有意义的条件知2－讲式子

只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是

为二次根式的前提条件.

总

结知2－讲1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反

之也成立，即：

有意义⇔a≥0.2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之

也成立，即：

无意义⇔a＜0.知2－讲例2当x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？解：由x-2≥0，得x≥2.

当x≥2时，

在实数范围内有意义.（来自《教材》）1

当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有

意义？(1)(2)(3)(4)知2－练（来自《教材》）(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时，在

实数范围内有意义．解：知2－练（来自《教材》）(2)由2a＋3≥0，得a≥－

，

所以当a≥－

时，2a＋3在实数范围内有意义．(3)由－a≥0，得a≤0，

所以当a≤0时，在实数范围内有意义．(4)由5－a≥0，得a≤5，

所以当a≤5时，

在实数范围内有意义．知2－练【中考·成都】二次根式中，x的取值范围是(

)A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜12A知2－练【中考·日照】式子有意义，则实数a的取值范围是(

)A．a≥－1B．a≠2C．a≥－1且a≠2D．a＞23C知2－练4(中考·滨州)如果式子

有意义，那么x的取值

范围在数轴上表示正确的是(

)C知2－练【中考·黄冈】下列结论正确的是(

)A．3a3b－a2b＝2B．单项式－x2的系数是－1C．使式子

有意义的x的取值范围是x＞－1D．若分式

的值等于0，则a＝±15B知3－讲同时(a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性.3知识点二次根式的“双重”非负性（a≥0，

≥0）例3若

，则x-y

的值为( )A．1B．－1 C．7 D．－7知3－讲分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入

代数式进行计算即可得解．因为+(y+3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=0，

，所以y+3=0，x+y-1=0，

解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．C总

结知3－讲两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．【中考·攀枝花】若，则xy＝________.【中考·泰州】实数a，b满足

＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为(

)A．2B.C．－2D．－知3－练129B已知实数x，y满足|x－4|＋

＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(

)A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对知3－练B1．形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”

称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被

开方数是非负数．1知识小结若式子

有意义，则实数x的取值范围是(

)A．x≥－1B．x≥－1且x≠3C．x>－1D．x>－1且x≠3B2易错小结本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x≥－1且x≠3.易错点：考虑不全造成答案不完整.第十六章

二次根式16.1二次根式第2课时

二次根式的

性质1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业性质1：()2＝a(a≥0)性质2：

＝a(a≥0)代数式复习回顾：1.怎样的式子叫二次根式？2.怎样判断一个式子是不是二次根式？3.如何确定二次根式中字母的取值范围？1知识点性质1：（

）2=a(a≥0)非负数的算术平方根仍然是非负数.知1－导性质1：()2=a(a≥0)根据算术平方根非负数的性质，就可以确定字母的值.解：(1)()2=1.5;(2)(2)2=22×()2=4×5=20.例1计算：(1)；(2)；知1－讲（来自《教材》）总

结知1－讲()2=a(a≥0)这一性质也可以反过来用，即a=()2(a≥0)，如3=()2，

等．1计算：(1)()2;(2)(3)2.知1－练（来自《教材》）(1)()2=3;(2)()2=32×()2=9×2=18.解：2下列计算正确的是(

)A．－()2＝－6B．()2＝9C．()2＝±16D．3把4写成一个正数的平方的形式是(

)A.B.C.D.知1－练AB化简|a－3|＋()2的结果为(

)A．－2B．2C．2a－4D．4－2a知1－练4D在实数范围内分解因式：x2－7＝_________________．要使等式()2＝4－x成立，则x＝________．知1－练5642知识点知2－导填空：=________;=________;=________;=________;可以得到=2，=0.1，=，=0.性质2：=a(a≥0)探究归纳知2－导一般地，根据算术平方根的意义，=a(a≥0).知2－讲例2化简:(1);(2).解：

(1)(2)（来自《教材》）总

结知2－讲

计算

一般有两个步骤：①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即

＝|a|；②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|＝1

说出下列各式的值：(1)(2)(3)(4)知2－练（来自《教材》）解：知2－练【中考·广州】下列运算正确的是(

)B．C.D．|a|＝a(a≥0)2D知2－练如果

＝1－2a，则(

)A．a<B．a≤

C．a>D．a≥3B知2－练【中考·荆门】当1＜a＜2时，式子＋|1－a|的值是(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2a4B知2－练在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，化简

－2|c－a－b|的结果为(

)A．3a＋b－c

B．－a－3b＋3cC．a＋3b－c

D．2a5B知3－导3知识点代数式

回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab，

，-x3，，(a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.例3指出下列式子，哪些是代数式，哪些不是代数式?(1)a=b；(2)a-b；(3)2x-1=3；(4)1；(5)2+3-；(6)3-4x＞6；(7)(a+b)(a-b)；(8)知3－讲分析：代数式是运用运算符号把数或表示数的字母连起来

的式子.(1)(3)是等式，所以不是代数式；(6)是不等

式，所以不是代数式；(2)(5)(7)(8)是运用运算符号

连接起来的式子，所以代数式；(4)是单独的一个数，

也是代数式.解：(2)(4)(5)(7)(8)是代数式；(1)(3)(6)不是代数式.总

结知3－讲

解题时先看是不是有运算符号连接，再找单独的字母或数字.只要不是运算符号连接的式子就不是代数式.事实上，只要式子中含有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“=”、“≠”的式子都不是代数式.知3－练下列式子中不是代数式的为(

)A.(x≥－2)B．5a＋8＝7C．2018D.1B知3－练【中考·邵阳】如图所示，边长为a的正方形中阴影部分的面积为(

)A．a2－πB．a2－πa2C．a2－πaD．a2－2πa2A(1)具有双重非负性：①a≥0；②≥0.

与()2的运算结果不同：

＝|a|=()2＝a.(3)用基本运算符号把数或表示数的字母连起来

的式子，我们称这样的式子为代数式.1知识小结化简.2易错小结因为1－<0，所以解：易错点：运用

＝a(a≥0)时，忽略a≥0.错解：在运用

＝a(a≥0)时，易忽略a≥0这个条件，导致错误．其原因是没有把

和()2区别开来，忽略了1－

是负数的情况．解决此类问题时，我们既可以先判断a的符号，再脱去

中的根号，也可以利用绝对值的方法，即

＝|a|，再进一步化简．诊断：第十六章

二次根式16.2二次根式的乘除第1课时

二次根式的

乘法1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业二次根式的乘法积的算术平方根1.什么叫二次根式？2.两个基本性质:复习提问=aa(a≥0)－a(a＜0)==∣a∣(a≥0)形如(a≥0)的式子叫做二次根式.1知识点二次根式的乘法探究计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)=_______,=_______;(2)=_______,=_______;(3)=_______,=_______.知1－导两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：(a≥0，b≥0)．知1－讲法则：解：(1)(2)例1计算：(1)；(2)知1－讲（来自《教材》）1计算：

(1)；(2)；(3)；(4).知1－练（来自《教材》）解：(1)(2)

以下运算错误的是(

)A.B.C．D.知1－练2B【中考·安徽】计算的结果是(

)A.B．4C.D．2【中考·海南】下列各数中，与3的积为有理数

的是(

)A.B．3C．2D．2－知1－练34BC等式成立，则x的取值范围是(

)A．x≥3B．x≥4C．3≤x≤4D．x≤4知1－练5B【中考·长沙】下列计算正确的是(

)A.B．x8÷x2＝x4C．(2a)3＝6a3D．3a3·2a2＝6a6知1－练6A的计算结果估计在(

)A．1至1.5之间B．1.5至2之间C．2至2.5之间D．2.5至3之间知1－练7B2知识点积的算术平方根知2－导把反过来，就得到，利用它可以进行二次根式的化简.知2－讲把二次根式的乘法法则反过来，得：(a≥0，b≥0)．这就是积的算术平方根的性质．文字语言：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积．知2－讲例2化简：(1)(2)解：(1)(2)（来自《教材》）知2－讲例3计算：(1)(2)(3)解：(1)

(2)(3)（来自《教材》）1

化简：

(1)(2)(3)(4)知2－练（来自《教材》）解：2一个长方形的长和宽分别是和2.求这个

长方形的面积.知2－练（来自《教材》）解：长方形的面积

答：这个长方形的面积为4知2－练【中考·益阳】下列各式化简后的结果为3的是(

)A.B.C.D.3C知2－练若，则x的取值范围是(

)A．x≥－3B．x≥2C．x＞－3D．x＞24B知2－练【中考·连云港】关于

的叙述正确的是(

)A．在数轴上不存在表示

的点B.C.D．与

最接近的整数是35D知2－练6下列计算正确的是(

)A.B.＝5a2bC.＝8＋5D.＝7D知2－练化简

的结果是(

)A．2B．－2C．－4D．47D1.

(a≥0，b≥0)；2．(a≥0，b≥0).

本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根.1知识小结将

根号外的因式移到根号内为(

)A.B．－C．－D.2易错小结∵－

＞0，∴a＜0.∴B易错点：忽视隐含条件，误将负数移到根号内.错解：本题学生容易把a直接从外面平方后移到根号内化简，即

.忽视了当a的取值为负数时，应留负号在根号外，然后再平方后移到根号内化简．诊断：A第十六章

二次根式16.2二次根式的乘除第2课时

二次根式的

除法1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业二次根式的除法商的算术平方根最简二次根式二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤是什么？1知识点二次根式的除法1.计算：(1)=_______,=_______;(2)=_______,=_______;(3)=_______,=_______.知1－导知1－导法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即：(a≥0，b＞0)．解：(1)(2)例1计算：(1)；(2)知1－讲（来自《教材》）总

结知1－讲

利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．1计算：

(1)；(2)；(3)；(4).知1－练（来自《教材》）(1)3;(2)(3)(4)2a.解：【中考·南京】计算的结果是__________．知1－练253成立的条件是(

)

A．a≠1B．a≥1且a≠3C．a＞1D．a≥34计算

的结果是(

)A.

B.

C.

D.知1－练DC【中考·包头】下列计算结果正确的是(

)A．

B.C．(－2a2)3＝－6a6

D．(a＋1)2＝a2＋1知1－练5B小明的作业本上有以下四题：①

＝4a2；②；③；④.做错的题是(

)A．①B．②C．③D．④知1－练6D计算的值为(

)A.B.C.D.知1－练7C2知识点商的算术平方根知2－导把反过来，就得到(a≥0，b＞0)，利用它可以进行二次根式的化简.知2－讲例2化简：(1)(2)解：(1)(2)（来自《教材》）知2－讲例3计算：(1)(2)(3)解：(1)解法1：

解法2：(2)(3)（来自《教材》）总

结知2－讲分母有理化一般经历如下三步：“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移到根号外；“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；“三化”，即化简计算．知2－练1下列各式计算正确的是(

)A.B.C.D.2若

，则a的取值范围是(

)A．a≤0B．a<0C．a>0D．0<a≤1CD【中考·烟台】下列等式不一定成立的是(

)A.＝(b≠0)B．a3·a－5＝(a≠0)C．a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)D．(－2a3)2＝4a6知2－练3A设

＝a，

＝b，用含a，b的式子表示

，则下列表示正确的是(

)A．0.3abB．3ab

C．0.1ab2D．0.1a2b知2－练4A3知识点最简二次根式知3－导定义：如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．归纳知3－导最简二次根式必须满足：(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整

数(式)；(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，

即每个因数(式)的指数都是1.知3－讲例4下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简

二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．(1)(2)(3)(4)(5)(6)导引：根据最简二次根式的定义进行判断．解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．(2)是最简二次根式．(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含

有分母)．知3－讲(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开

得尽方的因数4，4＝22.(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．

综上，只有(2)是最简二次根式．知3－讲例5设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.

已知S

=，b=,求a.解：因为S=ab，所以（来自《教材》）1

把下列二次根式化成最简二次根式：(1)(2)(3)(4)知3－练（来自《教材》）(1);(2);(3)(4)解：2

设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.

已知S=16，b= ，求a.知3－练（来自《教材》）解：由题意得S=ab，所以【中考·荆州】下列根式是最简二次根式的是(

)A.B.C.D.知3－练3C【中考·锦州】下列二次根式中属于最简二次根式的是(

)A.B.C.D.知3－练4D已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为(

)

A.B.C.D.知3－练5B1.二次根式的除法：

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即：(a≥0，b＞0)．2.最简二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.1知识小结计算：2易错小结正解：原式＝易错点：在计算过程中由于弄错运算顺序导致错误.错解：

与

互为倒数，在计算时容易感觉后两个式子方便计算，就先计算后面的乘法运算，从而得出错误答案2.诊断：第十六章

二次根式16.3二次根式的加减第1课时

二次根式的加减1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业被开方数相同的最简二次根式二次根式的加减最简二次根式：定义：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．1知识点被开方数相同的最简二次根式知1－导

一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.可合并的二次根式的条件：(1)最简二次根式；(2)被开方数相同．知1－讲导引：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后

找出被开方数不是3的二次根式．即例1〈凉山州〉下列根式中，不能与

合并的是(

)A.

B.

C.

D.知1－讲C总

结知1－讲

判断两个二次根式是否能合并，应先把二次根式化为最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相同就能合并，否则不能合并．1下列各式化成最简二次根式后被开方数与

的被

开方数相同的是(

)

A.B.C.D.2(中考·龙岩)与－

是同类二次根式的是(

)A.B.C.D.知1－练DC以下二次根式：①

；②

；③

；④

中，化简后被开方数相同的是(

)A．①和②B．②和③C．①和③D．③和④知1－练3C若最简二次根式与可以进行合并，则m的值为(

)A．－1B．0C．1D．2知1－练4D2知识点二次根式的加减知2－导

二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.

二次根式的加减法的一般步骤：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．知2－讲例2计算：(1)(2)解：(1)(2)（来自《教材》）

二次根式加减运算的步骤：(1)“化”：将每个二次根式化成最简二次根式；(2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式；(3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项．总

结知2－讲知2－讲例3计算：(1)(2)解：(1)

(2)（来自《教材》）总

结知2－讲

二次根式加减运算的技巧：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数

中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，

则要化成分数，进而化为最简二次根式．(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、

结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．1

下列计算是否正确？为什么？

(1)(2)(3)知2－练（来自《教材》）解：(1)错误；(2)错误；(3)正确.2计算：(1)(2)(3)(4)知2－练（来自《教材》）解：知2－练3(中考·桂林)计算3－2的结果是(

)A.B．2C．3D．6A知2－练【中考·眉山】下列运算结果正确的是(

)A.B．(－0.1)－2＝0.01C.D．(－m)3·m2＝－m64A知2－练【中考·广州】下列计算正确的是(

)A.(y≠0)B．xy2÷＝2xy(y≠0)C．(x≥0，y≥0)D．(xy3)2＝x2y65D知2－练【中考·呼和浩特】下列运算正确的是(

)A．a2＋a3＝a5B．(－2a2)3÷＝－16a4C．3a－1＝D．(2a2－

a)2÷3a2＝4a2－4a＋16D知2－练7若

的整数部分是a，小数部分是b，则

a＋b＝_____________.1．二次根式加减运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式；(2)判别：找出被开方数相同的二次根式；(3)合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二

次根式合并．2．整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、

添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．1知识小结下列计算正确的是(

)A.