【三维设计】高考数学 第二章第四节函数的奇偶性及周期性复习课件 文 新人教A

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、

应用简单函数的周期性．函数的奇偶性及周期性[理要点]一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．f(x)2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期．存在一个最小最小正数[究疑点]1．奇偶函数的定义域有何特点？2．若f(x)是偶函数且在x＝0处有定义，是否有f(x)＝0？奇函数呢？提示：若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性．提示：不一定，如f(x)＝x2＋1是偶函数，而f(0)＝1；奇函数一定在x＝0处有定义，一定有f(0)＝0.3．若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定，由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f(x)的一个周期．答案：C2．(2010·广东高考)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则 (

)A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．答案：B[归纳领悟]利用定义判断断函数奇偶性性的方法：(1)首先求函数的的定义域，定定义域关于原原点对称是函函数是奇函数或偶函数的的必要条件．．(2)如果函数的定定义域关于原原点对称，可可进一步判断断f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)是否对定义域域内的每一个个x恒成立(恒成立要给予予证明，否则则要举出反例例)．注意：分段函数判断断奇偶性应分分段分别证明明f(－x)与f(x)的关系，只有有当对称的两两段上都满足足相同的关系系时，才能判判断其奇偶性性.[题组自测]1．已知函数f(x)＝ax4＋bcosx－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为()A．1B．－7C．4D．－10答案：A解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝f(x)＋x.由f(－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f(3)＝g(3)－3＝4－3＝1.2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(－1)，则下列不等等式一定成立立的是()A．f(－1)<f(3)B．f(2)<f(3)C．f(－3)<f(5)D．f(0)>f(1)解析：函数f(x)在[－5,5]上是偶函数数，因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)<f(1)．又f(x)在[0,5]上是单调函函数，从而而函数f(x)在[0,5]上是单调减减函数，观观察选项，，并注意到到f(x)＝f(|x|)，只有D正确．答案：D4．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的单调区间间与极值．．解：(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x＋c，∵g(x)是一个奇函函数，∴g(0)＝0，得c＝0，由奇函数定定义f(－x)＝－f(x)得b＝3.答案：f(1)>g(0)>g(－1)[归纳领悟]函数奇偶性性的应用(1)已知函数的的奇偶性求求函数的解解析式．抓住奇偶性性讨论函数数在各个分分区间上的的解析式，，或充分利用奇偶性性产生关于于f(x)的方程，从从而可得f(x)的解析式．．(2)已知带有字字母参数的的函数的表表达式及奇奇偶性求参参数．常常采用待待定系数法法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字字母的恒等式，，由系数的的对等性可可得知字母母的值．(3)奇偶性与单单调性综合合时要注意意奇函数在在关于原点点对称的区间上的的单调性相相同，偶函函数在关于于原点对称称的区间上上的单调性性相反．答案：B2．(2010·海南三亚模模拟)已知函数y＝f(x)是偶函数，，y＝f(x－2)在[0,2]上单调递减减，则()A．f(0)<f(－1)<f(2)B．f(－1)<f(0)<f(2)C．f(－1)<f(2)<f(0)D．f(2)<f(－1)<f(0)解析：由f(x－2)在[0,2]上单调递减减，∴f(x)在[－2,0]上单调递减减．∵y＝f(x)是偶函数，，∴f(x)在[0,2]上单调递增增．又f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(－1)<f(2)．答案：A在题条件下下，求f(x)(x>0)的最值．[归纳领悟]1．因为奇函函数的图象象关于原点点对称，所所以结合图图象可得奇函数在(a，b)与(－b，－a)上的单调性性相同．因因为偶函数数的图象关关于y轴对称，所所以偶函数数在(a，b)与(－b，－a)上的单调性性相反．2．对于抽象象函数不等等式，往往往通过函数数的奇偶性性将其转化为f(x1)<f(x2)的形式，再再利用函数数的单调性性脱去符号号“f”，且勿忽略略变量的定定义域.解析：f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.答案：D解析：由f(π＋x)＝－f(x)，得得f(2ππ＋x)＝f[ππ＋(ππ＋x)]＝－－f(ππ＋x)＝－－[－f(x)]＝f(x)，∴2ππ是奇奇函函数数f(x)的一一个个周周期期．．∴∴只只有有sinx满足足此此条条件件．．答案案：：B3．设设定定义义在在R上的的函函数数f(x)满足足f(x)··f(x＋2)＝13，证证明明f(x)为周周期期函函数数．．4．已已知知f(x)是定定义义在在R上的的函函数数，，且且满满足足f(x)＋f(x－1)＝1，当x∈[0,1]时，，有有f(x)＝x2，现现有有三三个个命命题题：：①f(x)是以以2为周周期期的的函函数数；；②当当x∈[1,2]时，，f(x)＝－－x2＋2x；③f(x)是偶偶函函数数．．其中中正正确确命命题题的的序序号号是是________．解析析：：①正正确确．．∵f(x)＋f(x－1)＝1(*)∴f(x＋1)＋f(x)＝1(**)(**)－(*)得f(x＋1)－f(x－1)＝0，∴f(x＋1)＝f(x－1)则f(x＋2)＝f(x)，∴∴f(x)是以以2为周周期期的的函函数数．．②正正确确．．当当x∈[1,2]时，，x－1∈[0,1]，∴f(x)＝1－f(x－1)＝1－(x－1)2＝2x－x2(x∈[0,1]时，，f(x)＝x2)．③错错误误．．当当x∈[－1,0]时，，x＋1∈[0,1]．∴f(x)＝1－f(x＋1)＝1－(x＋1)2，∴f(x)＝－x2－2x，又∵－x∈[0,1]，∴f(－x)＝(－x)2＝x2，∴f(x)≠f(－x)，f(x)不是偶函函数．答案：①②一、把脉脉考情从近两年年的高考考试题看看，函数数奇偶性性、周期期性的应应用是高高考的热热点，多多以选择择题和填填空题的的形式出出现，与与函数的的概念、、图象、、性质综综合在一一起考查查，难度度一般不不大．预测2012年将以三三角函数数的周期期性和抽抽象函数数的奇偶偶性与周周期性为为主要考考点，重重点考查查逻辑推推理与理理解能力力．二、考题题诊断1．(2010·安徽高考考)若f(x)是R上周期为为5的奇函数数，且满满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：由于函数数f(x)的周期为为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.答案：A2．(2010·新课标全全国卷)设偶函数数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝()A．{x|x<－2或x>4}B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6}D．{x|x<－2或x>2}答案：B解析：含g