初高中数学衔接知识点专题1-6(精简版)word版含答案

初高中数学衔接识点专题（一）数与式的运算【要回顾】1绝对值[1]绝对值的数意义：．即[2]绝对值的何意义：的距．[3]两个数的的绝对值几何意义表示

||

的距．

．[4]两个绝对不等式:

x(0)

；

a

．2乘法公式我在初中已经学过了下列一些法公式：[1]平方差公：；[2]完全平方公式：；[3]完全平方公式：．我还可以通过证得到下列一些法公式：[式1]

(

[式2][式3]说明上述公式称“乘法式3根式

a333

(立和公式(立差公式[1]式子

a(a

叫做次根式，性质如下(1)

(a)

；(2)

；(3)

；

ba

．[2]平方根与术平方根概念：(a0)叫做的算术平方根．中

叫做a的平方根，作

a(a0)

，其[3]立方根的念：

叫做

a

的立根，记为

x3

4分式[1]分式的意

形

的子，若含字母，且，称为式当≠，分式具下性质：（）；（）．Ap2]分式当分式的子、分中至少有一个分式时，就做繁分式，如，2mnp说明繁分式的简常用以两种方法(1)利用法法则(2)利用分式基本性质．[3]分母（子有理化把分（子）中根号化去叫做分母子）有理．分母有化的方法分母和分都乘以分母有理因式，化分母中的号的过程而分子有化则是分和分子都以分母的理化因式，去分子中根号的过-1-【例选讲】例1解下列等式）

x例2计算：（）

(x

12x)3

（）

1(5

111nm2mnn2104

)（）

(a2)(a例3已知

x2，求

1x

的．例4已知

0

，

111a)()()bca

的．例5计算没有特殊说明，节中出现的字均为正：（）

（）

)

2

)2(-2-（）

1ab

（）

2

x2

x

x例6设

323,y33

，

x3

的．★专题二

因式分解1公式法常用乘法公式[1]平方差公：；[2]完全平方公式：；[3]完全平方公式：．[4][5]

(a2a33

(方和公式[6]

a

(立差公式由因式分解与整乘法正好是互逆变形，所以整式乘法公式过来写，运用述公式可以进因分解．2分组分解从面可以看出，够直接运用公法分解的多项，主要是二项和三项式．而于四项以上的项

mb

既有公式可用没有公式可以提取此以将多项式分处理种用分组来因式解的方法叫做组分解法．分分解法的关键于如何分组．常见型：（1分组后能取公因式2）分后能直接用公式3十字相乘（1

x

2

)xpq

型的式分解这式子在许多问中经常出现，特点是：①二项系数是；②常数项两个数之积；一次系是常数项的两因数之和．∵

x

2)xx2

(xp(xp)xp)(x)

，∴

x

2

)xpqxp)(x运这个公式，可把某些二次项数为的次项式分解因式（2一般二次项式

2

型的式分解由

axacca)(a)211

我发现，二次项数

a

分成

1

，数项

c分成

cc，ac121

写

cc

，里按斜线交叉乘，再相加，得到

c121

，果它正好-3-等ax2bx的次项系数b，么2就可以分成(x)，中ac位于上1111一，c位于下行．这种借助十字叉线分解系数从而将二次三式分解因式的法，叫做十2字相法．必注意，分解因及十字相乘都多种可能情况所以往往要经多次尝试，才确定一个二次项能否用十字相法分解．4其它因式解的方法其他用的因式解的方法（1）方法2）拆、添项法例1公式法）解因式：

b；7例2分组分法）分解式1）

(2)a2)cd

（）

22z2例3十字相法）下列各式式分(1)

x2x24(2)

x

(3)

xy

2

(4)

(x)例4十字相法）下列各式式分(1)

(2)x

2

xy

2解：3

41125说明用十字乘法分解二次项式很重要．二次项系数不时较难，体分解时，为高速度可先对有关常分解，交叉相后，若原常数负数，用减法凑”，看是否合一次项系数否则用法”凑”，先凑”绝对值，后调整，添加、负号．例5拆项法）解因式

x32(3)

x

2

21

(4)

x

3x2yy★

专题三

一元二次方程根系数的关系【要回顾】-4-12121一元二次程的根的断式一二次方程

2

a0)

，配方法将其变为：．由可以用

的值情况来判定元二次方程的的情况．因此把

叫一元二次方程(

的的判别式，表为：

2ac对于元二次方2

＋bx＋＝（a≠0，有[1]当[2]当

0时，方程两个不相的实数根；0时，方程两个相等实数根：；[3]当0时，方程没有实根．2一元二次程的根与数的关系定理：果一二次程

2

的两个根为

x,12

，那么：x12

,x12说明：元次方程根与系的关系由十六纪的法国数学韦达发现以常把此定理称韦达定”上定理成立的前是．特别，对于二次系数为1的一二次方程x＋＋＝，若x，是两根，由韦达理可知x＋＝－，·＝，＝－＋)，＝，所，方程＋＋＝可化为x－＋x)＋·＝0，于x是一元次方x＋＋＝的两，所以，，是一元二次方－＋x＋·x0．因此有以两数，x为根的元二次方（二次项数为1）是2－x＋x)＋·x＝0．121212【例选讲】例1已知关

x

的元二次方程

3x

x

，据下列条件，别求出

的围：（）程两个不相等的数根；（2）程有两个相等实数根（）程实数根；（）程实数根．例2已知实x、满

2

y

2

x，试、

y

的．例3若

x,12(1)

是程2

x两个根，试求列各式的值：11；(2)；(3)x5)(；(4)xx12

x|12

．例4已知,x是一元次方程42的两实数根．123(1)是否存实数k使(2xx)成立？若存在求出2-5-

的；若不存在，说明理由．1212x(2)求使2值为整数的实的数值．x21解：假设存在数k，(2xx)12

32

成．∵一元二次程

kx2kx

的两个实数根，∴

4)

(kk

，又

x,12

是一元二次方程4kx

kx

1的个实数根，∴kx4k∴

)(x)x211

)xx)12

xx2

k39k，0．42∴存在实数

k

，

x)(x)11

32

成．x()2k4(2)∵22xxk211∴要其是整数，只需k能4整除，故，意到为数的实数的数值．

k

，使

xx12x1

的★专题平面直角坐系一次函数、反例函数要点顾】1平面直角标系平面角坐标系的对称点对点或对称直线程

对点的坐标

轴轴原点

(b直直直

yx直

y2函数图象[1]一次函数

称

是

x

的次函数，记为

ykx

(是数k≠特的，当=0时称是的比例函。[2]正比例函数图象与性：函=(k是数，≠0)图象是

的条直线，当

时图过原点及第一第三象限随x的增大而；当y随的大而．

时图象过原点及二、第四象限-6-[3]一次函数的象与性质：数

y

(是数k0)的象是过点(0且与直线=平的条直线设

y

(≠0)，则当

时y随x的大而；当

时随x的大而．[4]反比例函数的图与性质：数

y

kx

(≠是曲，当

时图象在第一、三象限，在每象中y随x的大而；

时图象在第二、四象，在每象限随的大而双曲线是轴对图形称轴是直线x

与

又是中心对称图对称中心是原．【例选讲】例1已知Ay1(1)、关x轴对称(2)

条件，求出A、B点标．、B关于轴称(3)A、B关于点对称例2知一次函数＝＋2的象过第一、二三象限且与x、分交于A、点，原点，若Δ的面积为，求此一次函的表达式。例3图，反比例函

y

kx

的象与一次函数

ymx

的象交于

A，

B

两．求比例函数与一函数的解析式根图象回答：当x取值时，反比例数的值大于一函数的值．

x图（）★专题

二次函数二次数＝ax

＋＋(a≠0)有下列性：[1]当a＞，函数y＝ax＋bx＋图象开口方向；点坐标为，称轴为直线；当

时，随着x的增而；当

时随着x的大；时函数取最小值．[2]a＜0时函y＋＋图象开方向；点坐标为，称轴为直线；当而；

时，着x的大时随x的大；

时函数取最大值．上二次函数的性可以分别通过图直观地表示来．因此，在后解决二次函问题时，可以助于-7-函图像用数形合的思想方法

x＝

2

A

(

b4aca4a

)

解问题．

A

b4ac)a4a

x＝

2[2]二次函数三种表示式：（1．一式：；（2顶点式：（3交点：

说明：确定二函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：给出点坐标可用一般式求；给出点，且其一点为顶时可利用点式来求③出三点，其中点为与x轴的两交点【题选讲】

(x.(

时利用交点式来．例求次数＝3－6＋图象开口方向、对轴、顶点坐标最大值（或最值指出当x取何值时随x的增大而增大或减）？并画出该数的图象．例2某产的成本是120元件，销阶段每件产的售价（元）与产品日销售量（件之间关系下表所示：/元130150165/件705035若销售量y是售价x的次函数那么，要使每所获得最大的润，每件产品销售价应定为多元？此时每天销售利润是多？例3已知函

yx,

其中

求该函数的最大与最小值并求函数取最大值最-8-小时所对应的自量x的．例4根据下条件，分别求对应的二次函的关系式．（1已知某次函数的最大为2，像的顶点在直＝＋上并且图象经过3，1（2已知二函数的图象过(3，0)，，0)，且点到x的距离等于2（）知次函数的图象(－，22)，(0，8)，(28)．★专题六【要回顾】

二次函数的最值题1二次函数

y

2

(a

的最．二函数在自变量

x

取意实数时的最情况当

时函数在

x

b2a

4处得最小值，4无大值；当时函数在

x

b2a

4处得最大值，无最小值42二次函数（为全体实时）最大或最小值求法．第一确定a的符＞有最值a＜有最大；第二配方求顶，顶点纵坐标即为对的最大值或最值．3求二次函在某一范内的最值如：

y

2

在x（其中m）最值．第一：先通过方，求出数图象的称轴：第二：讨论：

x0

；[1]若时最小值a时求最大值，需分三种况讨论：①对轴小于m，即对轴在mxn的左侧；0②对轴，即对轴在n的内部；0③对轴大于n即，即对称轴在n的右侧。0[2]若a0时求最大值或a时求最小值，需两种情况论：对称对称

x0x0

22

，即称轴在，即称轴在

的中的左侧；的中的右侧；-9-说明求二次函在某一范内的最值要注意对轴与自变的取值范相应位置具体情况，参考4。【例选讲】例1下列函数的最值或最小值．（）

yxx

；（2）

yx

．例2

时求函数

y

的大值和最小值例3

x

时求函数

y(2)

的值范围．例4

t

时求函数

y

1x22

的小值其中

t

为数)．分析由于所的范围随着的化而变，所以需要比对称轴与其范的相对位置．解：数

y

15x22

的称轴为

x

．出其草图．(1)当对称在所范围左侧．即t：当x时y

15t22

；(2)当对称在所范围之间．即

t

时当

x

时

y

12

；(3)y

当对称轴在所给范围右侧．即11(ttt2．2

t

时：当

x

时，-10-tt2综所述：1t2t例5

0x2

时求函数

yx

ax

的大值。●各专题参考案●专题数与式的算参考答-11-例1（1）解法1：

x，2①x2，不等可变为

x，x；②x2，不等式可变

，

，解：．上所述原不等式的解x．解：表示x轴坐标x的点坐标2的之间的离所不等式

x

的何意义即为x上坐标为x的点坐标2的之间的离小于，观察数轴可坐标为x的点在坐为的的左，在坐标为1的点的右．所原不等式的解x

．解：

x

，以原不等式的为

1

．（2解法一：

x

，

x

；

x

，

x

；①x式可为

xx

＞x＜＜＜0

，不式可变为

(x

，＞，不存在满足条的；③，等式可为

(x，2

＞，解x＞．又≥，∴x＞．综所述，原不等的解为＜0，＞．解法：图表x轴上标为x的P到标为1的之的离|，即|＝－1||－3|表示x轴上P到坐为的之的距离，即PB＝x－．

－3|所，不等式

x

＞的几何义即||＋|PB＞．由|AB|＝，

可点P在(坐为0)左侧、或点P在点D坐标为4)右．所原不等式的解x＜，或＞．

0－

1

3x例（解原式

11[x22)]2)2)2)22(x23

11x)33

4

x

3

821xx3说明多式乘法的结果般是按某个字的降幂或升幂列．（）式

11()n3m3521258

3（）式

(aa2)64（）式

()

2(xyy)xyx2xy)]23y)xy3例3：

x

10xx原=

11(x)(x)[()2xxxx例4：原=a

aa)((a22abbcac

2

①)[(ab]c2)abc3

②把②代入①得=

3

例5）原式

3(23)3(2（）式

xx

(xx(2)(xxx2)说明注性质

a

a

的用：当化去绝值符号但字母范围未知时，对字母的取值类讨论．-12-22（）式

bab

2（）原式

2x2xx2xx2x2x2例6：

3)y3xyxy32原=

(x

2

xy

2

)xy

2

]

说明有代数式的求值题(1)先化简求值(2)当直代入算较复杂时，根据结论的结特点，倒几步，再代入件，有时整体入可简化计算．【巩练习】1．

2．

136

3

3．或

4．

5．

4

4

4

2

y

2

x

2

z

2

2

z

2

6．

3y,

,专题因式分解案例1分：中应提取公因再进一步分解(2)中取公因式后括号内出现a，看着是(a

3

)

2

b

3

)

2

或

(

2

)

3

2

)

3

．解：(1)

a

b

4

ba

3

27

3

))(

2

abb

2

)

．(2)

7

6

6

6

)

3

3

3

3

)(a)(

2

2

a)(a

2

2

)(a2ab2)(a2ab2)例2（1）析：照原先分方式无公因式可提需要把括号打开重新分组，然再分解因式．解：

()2)cdabd222)2abd2(ad)(ad)bc)()（2分析：将数2提出后，到

x

2y2z

，中前三项作为组，它是一个全平方式，再第四项形成平差形式，可继分解因式．解：

x

2

xy

2

z

2

2(x

2

y

2

z

2

))

2

2

]yz)(xyz)例5：

x

32x3xx

x1)[(x21)]xxx4)x1)(【巩练习】

21．

(1)();(xmnx)(3)(x2xx8);(4)(xx(5)(xy)

2

(y)

．28．；3．

1(2x2(4)2其情况如下：

11(x22

)x

x

；11(222

)x

x

.4．

2cabca2ab2)(a-13-112222112222专题一元二次程根与系的关系习答案例解：∵

2

，∴(1)

4

11；433

；(3)

4k

1；k3

．例2：以所给程看作为关于x的程，整理得

x

2

y

2

y由x是数，所以上述程有实数根，此：

y2)]2

y

2

y

2

y

，代原方程得：

x2x

．上知：

x例3：题，根根与系数的关系：

xxx121

x)x2007)401821211x2xx1(5)(xx)251212(4)

||12

()12

2)12

(1

2

2008说明：利用根与系的关系求值，要练掌以下式变11x，)x)x，(x)x1212整思想．【巩练习】

2

22)2，222等等．达定体现了11．；2；．

；4．

b

；．

(1)

k

时方程为x

，实根(2)当

k

时

0

也实根．(1)

3k且4

；(2)

k

．专题例1解：(1)为AB关x

平面角坐标系一次函数反比例函参考答案轴称，它们横坐相同，纵坐标为相反数，所

x，y21

，(2)为、B关y轴对称它们横坐标互相反数，纵坐相同，所以，A

x2

，

y1

，(3)为、B关原对称，它们的纵坐标都互为反数，所以B

x，，A2

、例2析：为线过第一、三限，所以可知>0，因为b＝，所以直线与y轴交于，可知OB，而AOB的积为2，此推算出OA＝，直线过第二象，所A点标为（20A、B两坐标可求出此次函数的表达。解：∵是线y＝kx＋2与y轴点，B（，2OB2，

又S

又kx【巩练习】

，第二象限(把代入y中得x11．B2D(2，2)C(8，、，0)．．1）k）点P的坐标．-14-专题二次函数考答案例1：∵＝－x1＝－3(＋＋，∴数图象的开口下；对称轴是线x＝－；顶点坐标为－，；当x＝－时，数y取最大值＝；当x＜－时，随着x增大增大；当＞－时y随着x的大而减小；232采描点法画图点(－x轴交点和C(3与y轴的点为(0，，过这五点画图象（如图－所

，

(说明：这例题可以看出根据配后得的性质画函数图象以直接选出关点，减少了选的盲目性，使图更简便、图更精确．例2分析：于每天的利润日销售量×销价－120)日售量又销售价

x的次函数，所以欲求每天所获的利润最大值首先需要求出天的利润与销价x之的函数关系然后，再由它之间的函数关求出每天利润最大值．解由于y是x的一函数，于是，y＋（Bx＝，＝；＝，＝入方，有130,k,

解k＝，＝200．＝－x＋200．设天的利润为z（＝(－+200)(－120)＝－＋x－24000＝(－160)＋1600，∴＝时，z取最大值1600．答当售价为160元件时每天的利润最，为1600元例3析：例函数变量的范围是个变化的范围需要对a的取值进行讨．解）＝－，数＝x是4此时＝－；

的象仅仅对应着个点(2，4)所以，函数的大值和最小值当2＜a＜时，图22－①可知，当x＝－时函数取最大＝4；x＝时函数取最值y＝；当0≤＜时，图2－6②可知，当＝－时，函数最大y＝；当＝0时函数最小＝；当≥，由图．2－③知当＝a时，函取最值y＝；＝时，函取最值y0．

－

①

②

③说明在本例，利用了分类论的方法，对a的所可能情进行讨论．此，本例中所研的二次数的自变量的值不是取任意实数，而是取分实数来研究在解决这一类题时，通常需借助于数图象来直观解决问题．例4（1）析在解本时，要充分利题目中所给出条件——最大、顶点位置，而可以将二次数成顶点式，再函数图象过定来求解出系数a．解∵二次函数的大值为2而最大值一是其顶点的纵标，∴顶点的坐标为．又顶点在直yx1上以＋x顶坐1次函的解析式为，得＝－．∵次函数的图像过点3－

y(x

2

a

，∴次函数的解析为

y

2

，y＝2x＋－．说：在解题时，最大值确定出点的纵坐标，利用顶点的位求出顶点坐标然后设出二次数的顶式，最终解决问题．因此，解题时，要充挖掘题目所给条件，并巧妙利用条件简捷解决问．-15-22（2分析一：于目所给的条件，二次函数的象所过的两点际上就是二次数的图象与x轴交坐标，于是可将函数的表达设成交点式．解法：∵二次函的图象过(－，0)，(10)∴可设二次函为y(＋3)x－a≠，展，得

y＝＋－a顶点纵坐标为

a

2

，于二次函数图的顶点到x轴的离2|－4a|＝即a＝

所二函数的表达式y＝

1313x2＝－2222

．分析：由于次函数的图象－，0)，(1，0)，以，称轴为直线＝－1又由顶点到轴的离为2可知点的纵坐标为2或－2，于是又可以将二次数的表达式设顶点式来解，后再利图象过点－，0)，(，0)就可以求得函的表达式．解法：∵二函数的图象过(－，，，0)，∴称轴直线x＝1．又顶点到x轴距离为2∴顶点的纵标为2或－．是可设二次数为＝(＋＋2，或y＝a(＋1)－，由函数图过点10)，0(1＋1)＋，0＝(1＋－2．＝

1，a．以，所的二次函数2为y＝－

11(＋1)＋，＝(＋－2．22说：上述两种解分别从与x轴交点坐标及点的坐标这两不同角度，利交点式和顶点来解，在今后的解过程中，要善利用条件，选恰当的方法来决问题．（3解：设二次函数为y＝＋＋(≠0)．函数图象过(1，22)(08)(28)可得

解＝，＝，c＝－．以，所求的二函数为＝－x＋－．

8【巩练习】1D（）（3）2）＝＋－（）＝－＋2x＋3yx

y4(x

2

2

．（）

(3)(xx2x55

）

11yxx224．长为6m，宽为3m时，形的面积最大

5函f（x）解析式为y

xx2,2x4,xx6,

O8

,函y的图像如所示由数图像可知，数的取值围是＜≤．专题二次函数最值问题考答案例分析由于函数

yx和yx

的变量x的取范围是全实数，所以只确它们的图象有高点或最低点就可以确定函有最大值或最值．解因为次函数x

x中的二次项系2＞，所以抛线

x有