《高考调研》高三数学第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件113

1．二项式定理的内容．(1)(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)．(2)第r＋1项，Tr＋1＝

.(3)第r＋1项的二项式系数为

．Cnran－rbrCnr(r＝0,1，…，n)2．二项式系数的性质．(1)0≤k≤n时，Cnk与Cnn－k的关系是

．相等答案

20答案

A3．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋)＝________.4．设n∈N*，则Cn1＋Cn2·6＋Cn3·62＋…＋Cnn·6n－1＝________.答案B解析由通项公式式可得展开开式中含x4项为T8＋1＝C88x4＝x4，故含x4项的系数为为1，令x＝1，得展开式式的系数和和S＝1，故展开式式中不含x4项的系数的的和为1－1＝0.题型一求展开式中中的项例1(1)(2010·江西卷)(1－x)10展开式中x3项的系数为为()A．－720B．720C．120D．－120【解析】由通项公式式Tr＋1＝C10r(－x)r＝(－1)rC10r·xr，令r＝3，可得T3＋1＝C103(－x)3＝－120x3，故选D.【答案】D(4)求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数．【解析】法一：(通项公式法)(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8展开后的通式式公式是Tr＋1＝C8r(x＋x2)r，则x5的系数由(x＋x2)r决定，而(x＋x2)r的展开通项公公式是T′k＋1＝Crkxr－kx2k＝Crkxr＋k，所所以以(1＋x＋x2)8展开开式式的的通通项项公公式式是是C8rCrkxr＋k，其其中中0≤≤k≤r≤8，r＋k＝5，r、k∈N.法二：(逐项研究究法)(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C80(1＋x)8＋C81(1＋x)7·x2＋C82(1＋x)6·(x2)2＋C83(1＋x)5·(x2)3＋…＋C88(1＋x)0·(x2)8，则展开开式中含含x5的系数为为C80C85＋C81C73＋C82C61＝504.法三：：(基本原原理法法)将(1＋x＋x2)8写成八八个因因式乘乘积的的形式式(1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)·……·(1＋x＋x2)(共8个)．这八个个因式式中乘乘积展展开式式中形形式x5的来源源有三三：①有两个个括号号各出出一个个x2，其余余六个个括号号中恰恰有一一个括括号出出一个个x，这种种方式式共有有C82C61种；②有一个个括号号出一一个x2，其余余七个个括号号中恰恰有三三个括括号各各出一一个x，共有有C81C73种；③没有一一个括括号出出一个个x2，恰有有五个个括号号各出出一个个x，共有有C85种．故x5的系数数是C82C61＋C81C73＋C85＝504.探究1求二项项展开开式中中指定定项，，关键键是研研究通通项公公式，，对多多个多多项式式相乘乘成三三项式式，要要结合合通项项，打打出指指数的的组成成规律律，确确定项项的组组成规规律．．思考题题1(1)(2010·湖北卷卷)在(1－x2)10的展开开式中中，x4的系数数为________．【解析】注意到到二项项式(1－x2)10的展开开式的的通项项是Tr＋1＝C10r·110－r·(－x2)r＝C10r·(－1)r·x2r，因此此(1－x2)10的展开开式中中，x4的系数数等于于C102·(－1)2＝45.【答案】45【解析】通项公公式为为Tr＋1＝C9rx9－r·(－a)rx－r＝(－a)rC9rx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，故(－a)3C93＝－84，解得得a＝1.【答案】1【解析】根据二项式式系数的性性质，列方方程求解n，系数绝对对值最大的的问题需要要列不等式式组求解．．由题意知，，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.∴2n＝32，解得n＝5.探究2本例中是求求“系数绝绝对值最大大的项”，若改为“系数最大的的项”又该如何处处理？因为为第4项的系数为为负值，所所以系数最最大项必是是第3项或第5项中的某一一项．比较较这两项的的系数C10228与C10426的大小即可可．思考题2在(1＋x)n(n∈N*)的二二项项展展开开式式中中，，若若只只有有x5的系系数数最最大大，，则则n＝()A．8B．9C．10D．11【解析析】x5的系系数数是是第第6项，，它它是是中中间间项项．．∴n＝10，选选C【答案案】C题型型三三二项项式式系系数数和和例3已知知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.探究究3①求二二项项式式展展开开式式的的各各项项系系数数和和问问题题常常用用赋赋值值法法②注意意区区别别各各项项系系数数与与各各项项的的二二项项式式系系数数是是不不同同的的题型型四四二项项式式定定理理的的综综合合应应用用例4(1)求证证：：n∈N且n≥3时，，2n－1≥n＋1.(2)求证证：：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被被64整除除．．(3)计算算1.056.(精确确到到0.01)【解析析】(1)n≥3时，，2n＝(1＋1)n＝1＋n＋Cn2＋…＋n＋1≥2＋2n∴2n－1≥n＋1(2)原式式＝＝(1＋8)n＋1－8n－9＝1＋Cn＋1181＋Cn＋1282＋…＋Cn＋1n＋18n＋1－8n－9＝Cn＋1282＋Cn＋1383＋…＋Cn＋1n＋18n＋1＝64(Cn＋12＋Cn＋138＋…＋Cn＋1n＋18n－1)．∵Cn＋12，Cn＋13，…，Cn＋1n＋1均为为自自然然数数，，上上式式各各项项均均为为64的整数数倍．．∴32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．．(3)1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋……＝1＋0.3＋0.0375＋…≈1.34.探究4(1)二项式式定理理的一一个重重要用用途是是做近近似计计算：：当n不很大，|x|比较小时，，(1＋x)n≈1＋nx.(2)在证明整除除问题或求求余数问题题时要进行行合理的变变形，使被被除式(数)展开后的每每一项都含含有除式的的因式．(3)由于(a＋b)n的展开式共共有n＋1项，故可以以通过对某某些项的取取舍来放缩缩，从而达达到证明不不等式的目目的．1．一定要牢牢记通项Tr＋1＝Cnran－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，，但具体到到它们展开开式的某一一项时是不不相同的．．2．对于二项项式系数问问题，首先先要熟记二二项式系数数的性质，，其次要掌掌握赋值法法．答案D3．(2010·山东烟台)(x＋1)3＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a6＝________.答案28解析∵(x＋1)3＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]3＋[(x－1)－1]8，∴a6(x－1)6＝C82(x－1)6(－1)2＝28(x－1)6，∴a6＝28.4．(09·江西)(1＋ax＋by)n展开式中不不含x的项的系数数绝对值的的和为243，不含y的项的系数数绝对值的的和为32，则a，b，n的值可能为为()A．a＝2，b＝－1，n＝5B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6D．a＝1，b＝2，n＝5答案D解析注意到(1＋ax＋by)n＝[(1＋ax)＋by]n＝[(1＋by)＋ax]n，因此依题题意得(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，于是结