《高考调研》高三数学第一轮复习 第十一章《排列、组合和二项式定理》课件112

1．两个概念(1)排列从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)，按照

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)组合从n个元素中取出m个元素

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．一定顺序排成一列并成一组1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有________．答案

70种解法一直接法，可以从4台甲型电视机中取2台，再从5台乙型电视相中取1台，或者从4台甲型电视机中取1台，再从5台乙型电视机中取2台，所以共有C42·C51＋C41·C52＝70种选法．解法二间接法，从9台电视机中取3台有C93种取法，从甲型电视机中取3台有C43种取法，从乙型电视机中取3台有C53种取法，这两种取法不符合条件，所以符合条件的取法为C93－C43－C53＝70种．2．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有(

)A．6种 B．24种C．48种 D．720种答案

C解析选C.据题意知4个不同的商业广告可排在中间的4个位置上共有A44种方法，再将2个公益广告排在首末2个不同的位置共有2种方法，根据分步计数原理可得不同的播放方式共有2A44＝48种．3．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有________种．(用数字作答)答案

2400解析第一步：安排甲、乙两人在3～7日，其选择有A52＝20，第二步：剩下5个人选择有5！，因此不同的安排方法数共有20×5！＝2400种方法．4．某兴趣小组有4名男生，5名女生，从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生且女生人数必须少于男生的选派方法有________种．(用数字作答)答案

45解析据题意知参加活动的情况可分为两类：一类是4男1女，另一类是3男2女，分别是C51，C52C43种不同的情况，故共有C51＋C52C43＝45种方法．题型一排列数、组合合数公式例1(1)求证：An＋1m＝Anm＋mAnm－1(2)求证：m·Cnm＝n·Cn－1m－1.(3)计算：C22＋C32＋…＋C102【思路分析】运算组合的性性质Cnm＋Cnm－1＝Cn＋1m逐一合并．【证明】C22＋C32＋C42＋…＋C102＝C33＋C32＋C42＋…＋C102＝C43＋C42＋…＋C102＝C53＋C52＋…＋C102＝……＝C113＝165探究1运用排列数、、组合数公式式证明等式时时，一般用阶阶乘式．运用用排列数、组组合数公式计计算具体数字字的排列数、、组合数时一一般用展开式式，直接进行行运算．题型二排列应用题例27位同学站成一一排：(1)站成两排(前3后4)，共有多少种种不同的排法法？(2)其中甲站在中中间的位置，，共有多少种种不同的排法法？(3)甲、乙只能站站在两端的排排法共有多少少种？(4)甲不排头、乙乙不排尾的排排法共有多少少种？(5)甲、乙两同学学必须相邻的的排法共有多多少种？(6)甲、乙两同学学必须相邻，，而且丙不能能站在排头和和排尾的排法法有多少种？？(7)甲、乙两同学学不能相邻的的排法共有多多少种？(8)甲、乙、丙三三个同学都不不能相邻的排排法共有多少少种？(9)甲、乙、丙三三个同学不都都相邻的排法法共有多少种种？(10)甲、乙相邻且且与丙不相邻邻的排法共有有多少种？(11)甲必须站在乙乙的左边的不不同排法共有有多少种？【分析】本题是有关排排列的一道综综合题目，小小题比较多，，包括排列中中的各种方法法和技巧，请请同学们认真真思考．【解析】(1)站成两排(前3后4)，共有有A77种不同同的排排法；；(2)其中甲甲站在在中间间的位位置，，共有有A66种不同同的排排法；；(3)甲、乙乙只能能站在在两端端的排排法共共有A22A55种；(4)甲不排排头、、乙不不排尾尾的排排法共共有：：法一：：甲站站排尾尾；共共有A66种不同同的排排法；；甲不站站排尾尾，共共有A51A51A55种不同同的排排法；；故共有有A66＋A51A51A55种不同同的排排法；；法二：：7位同学学站成成一排排，共共有A77种不同同的排排法；；甲排头头，共共有A66种不同同的排排法；；乙排尾尾，共共有A66种不同同的排排法；；甲排头头且乙乙排尾尾，共共有A55种不同同的排排法；；故共有有A77－2A66＋A55种不同同的排排法．．(5)先将甲甲、乙乙两位位同学学“捆绑””在一一起看看成一一个元元素与与其余余的5个元元素素(同学学)一起起进进行行全全排排列列有有A66种方方法法；；再再将将甲甲、、乙乙两两个个同同学学““松松绑绑”进行行排排列列有有A22种方方法法，，所所以以这这样样的的排排法法一一共共有有A66A22＝1440种．．(6)甲、、乙乙两两同同学学必必须须相相邻邻，，而而且且丙丙不不能能站站在在排排头头和和排排尾尾的的排排法法有有：：法一一：：将将甲甲、、乙乙两两同同学学“捆绑绑”在一一起起看看成成一一个个元元素素，，此此时时一一共共有有6个元元素素，，因因为为丙丙不不能能站站在在排排头头和和排排尾尾，，所所以以可可以以从从其其余余的的5个元元素素中中选选取取2个元元素素放放在在排排头头和和排排尾尾，，有有A52种方方法法；；将将剩剩下下的的4个元元素素进进行行全全排排列列有有A44种方方法法；；最最后后将将甲甲、、乙乙两两个个同同学学“松绑绑”进行行排排列列有有A22种方方法法，，所所以以这这样样的的排排法法一一共共有有A52A44A22＝960种方方法法．．法二二：：将将甲甲、、乙乙两两同同学学““捆捆绑绑””在在一一起起看看成成一一个个元元素素，，此此时时一一共共有有6个元素．．若丙站在在排头或或排尾有有2A55种方法，，所以丙丙不能站站在排头头和排尾尾的排法法有(A66－2A55)·A22＝960种方法．．法三：将将甲、乙乙两同学学“捆绑绑”在一一起看成成一个元元素，此此时一共共有6个元素，，因为丙丙不能站站在排头头和排尾尾，所以以可以从从其余的的四个位位置选择择共有A41种方法．．再将其余余的5个元素进进行全排排列共有有A55种方法，，最后将将甲、乙乙两同学学“松绑”，所以这样样的排法一一共有A41A55A22＝960种方法．(7)甲、乙两同同学不能相相邻的排法法共有：法一：(排除法)A77－A66·A22＝3600(种)．法二：(插空法)先将其余五五个同学排排好有A55种方法，此此时他们留留下六个位位置(就称为“空空”吧)，再将甲、、乙同学分分别插入这这六个位置置(空)有A62种方法，所所以一共有有A55A62＝3600种方法．(8)甲、乙、丙丙三个同学学都不能相相邻的排法法共有：先将其余四四个同学排排好有A44种方法，此此时他们留留下五个““空”，再将甲、、乙和丙三三个同学分分别插入这这五个“空”有A53种方法，所所以一共有有A44A53＝1440种．(9)甲、乙、丙丙三个同学学不都相邻邻的排法共共有：7位同学站甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有A55A33＝720种．故共有A77－A55A33种不同的排法．(10)甲、乙相邻邻且与丙不不相邻的排排法：先排排甲、乙、、丙之外的的4人，共有A44种排法，产产生5个“空”再将甲乙(视为一个元元素)与丙排入有有A52种，再将甲甲、乙全排排，有A22，∴共有A22A44A52种．探究2涉及有限制制条件的排排列问题时时，首先考考虑特殊元元素的排法法或特殊位位置上元素素的选法，，再考虑其其他元素或或其他位置置(这种方法称称为元素分分析法或位位置分析法法)；或者，先先求出不加加限制条件件的排列数数，再减去去不符合条条件的排列列数(也叫做间接接法或排除除法)，这是解排排列题的基基本策略．．所谓“捆捆绑法”与“插空法”，实际上都都是特殊元元素(位置)特殊考虑的的结果．本本题中要求求相邻(或连排)的是特殊元元素，先把把他们捆绑绑处理，要要求两两不不相邻的需需要用“插空法”．思考题2(1)(2010·北京卷，理理)8名学生和2位老师站成成一排合影影，2位老师不相相邻的排法法种数为()A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72【解析】本题采用插插空法.8名学生的排排列方法有有A88种，隔开了了9个空位，在在9个空位中排排列2位老师，方方法数为A92，根据分步步乘法计数数原理，总总的排法各各数是A88A92.【答案】A(2)(2010·山东卷，理理)某台小型晚晚会由6个节目组成成，演出顺顺序有如下下要求：节节目甲必须须排在前两两位，节目目乙不能排排在第一位位，节目丙丙必须排在在最后一位位．该台晚晚会节目演演出顺序的的编排方案案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种【解析】由题可知，，可以考虑虑分成两类类计算，若若甲排在第第一位则A44种方案，若若甲排在第第二位则有有C31A33种方案，所所以按照要要求该台晚晚会节目演演出顺序的的编排方案案共有A44＋C31A33＝42(种)，故选B.【答案】B题型三组合应用题题例3(1)7名男生5名女生中选选取5人，分别求求符合下列列条件的选选法总数有有多少种？？①A，B必须当选；；②A，B必不当选；；③A，B不全当选；；④至少有2名女生当选选；⑤选取3名男生和2名女生分别别担任班长长、体育委委员等5种不同的工工作，但体体育委员必必须由男生生担任，班班长必须由由女生担任任．【解析】①由于A、B必须当选，，那么从剩剩下的10人中选取3人即可，∴有C103＝120种．②从除去的A、B两人的10人中选5人即可，∴有C105＝252种．③全部选法有有C125种，A、B全当选有C103种，故A，B不全当选有C125－C103＝672种．④注意意到到““至至少少有有2名女女生生”的反反面面是是只只有有一一名名女女生生或或没没有有女女生生，，故故可可用用间间接接法法进进行行，，∴有C125－C51·C74－C75＝596种选选法法．．⑤分三三步步进进行行：：第一一步步：：选选1男1女分分别别担担任任两两个个职职务务为为C71·C51；第二步：：选2男1女补足5人有C62·C41种；第三步：：为这3人安排工工作有A33.由分步乘乘法计数数原理共共有C71·C51·C62·C41·A33＝12600种选法．．(2)(2010·上海，理理)以集合U＝{a，b，c，d}的子集中中选出2个不同的的子集，，需同时时满足以以下两个个条件：：①a、b都要选出出；②对选出的的任意两两个子集集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共共有________种不同的的选法。。【解析】列举法共共有36种【答案】36探究3有限制制条件件的组组合问问题的的解题题思路路．同同样要要从限限制条条件入入手．．因组组合问问题只只是从从整体体中选选出部部分即即可相相对来来说较较简单单．常常见情情况有有：(1)某些元素必必选．(2)某些元素不不选．(3)把元素分组组，根据在在各组中分分别选多少少，分类．．(4)排除法思考题3有4个不同的球球，四个不不同的盒子子，把球全全部放入盒盒内．(1)共有多少种种做法？(2)恰有一个盒盒子不放球球，有多少少种放法？？(3)恰有一个盒盒内放2个球，有多多少种放法法？(4)恰有两个盒盒子不放球球，有多少少种放法？？【解析】(1)一个球一个个球的放到到盒子里去去，每只球球都可有4种独立的放放法，由分分步乘法计计数原理知知，放法共共有44＝256(种)．(2)为保证“恰恰有一个盒盒子不放球球”，先从从四个盒子子中任意拿拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有有C42种分法；然然后再从三三个盒子中中选一个放放两个球，，其余两个个球，两个个盒子，全全排列即可可．由分步步乘法计数数原理知，，共有放法法C41·C42·C31·A22＝144(种)．(3)“恰有一个盒盒子内放2个球”，即另外的的三个盒子子放2个球，每个个盒子至多多放1个球，即另另外三个盒盒子中恰有有一个空盒盒．因此，，“恰有一个盒盒子放2球”与“恰有一个盒盒子不放球球”是一回事．．故也有144种放法．(4)先从四个盒盒子中任取取两个有C42种，问题转转化为：““4个球，两个个盒子，每每盒必放球球，有几种种放法？””从放球数数目看，可可分为(3,1)，(2,2)两类类．．第第一一类类：：可可从从4个球球中中先先选选3个，，然然后后放放入入指指定定的的一一个个盒盒子子中中即即可可，，有有C43·C21种放放法法；；第第二二类类：：有有C42种放放法法．．因因此此共共有有C43·C21＋C42＝14(种)．由由分分步步乘乘法法计计数数原原理理得得“恰有有两两个个盒盒子子不不放放球球”的放放法法有有C42·14＝84(种)．题型型四四排列列、、组组合合的的综综合合应应用用例4有五五张张卡卡片片，，它它们们的的正正、、反反面面分分别别写写着着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将将其其中中任任意意三三张张并并排排放放在在一一起起组组成成三三位位数数，，共共可可组组成成多多少少个个不不同同的的三三位位数数？？【解析】解法一(直接法)从0与1两个特殊值着着眼，可分三三类：①取0不取1，可先从另四四张卡片中选选一张作百位位，有C41种选法；0可在后两位，，有C21种方法；最后后剩下的三张张中任取一张张，有C31种方法；又除除含0的那张外，其其他两张都有有正面或反面面两种可能，，故此时可得得不同的三位位数有C41C21C3122(个)．②取1不取0，同上分析可可得不同的三三位数C42·22·A33(个)．③0和1都不取，有不不同的三位数数C43·23·A33(个)．综上所所述，，共有有不同同的三三位数数：C41·C21·C31·22＋C42·22·A33＋C43·22·A33＝432(个)．解法二二(间接法法)任取三三张卡卡片可可以组组成不不同的的三位位数C53·23·A33(个)，其中中0在百位位的有有C42·22·A22(个)，这是是不合合题意意的，，故共共有不不同的的三位位数：：C53·23·A33－C42·22·A22＝432(个)．探究4解排列列组合合的应应用题题，要要注意意三点点：(1)仔细审审题，，判断断是排排列问问题还还是组组合问问题；；要按按元素素的性性质分分类，，按事事件发发生的的过程程进行行分步步．(2)深入分分析，，周密密思考考，分分清是是乘还还是加加，既既不少少也不不多，，多角角度分分析，，全面面考虑虑，提提高逻逻辑推推理能能力．．(3)对有附附加条条件的的比较较复杂杂的排排列组组合应应用题题，要要周密密分析析，设设计出出合理理的方方案，，把复复杂问问题分分解成成若干干简单单的基基本问问题，，然后后再用用分类类计数数原理理或分分步计计数原原理求求解．．思考题4(2010·浙江，理)有4位同学在同同一天的上上、下午参参加“身高高与体重””、“立定定跳远”、、“肺活量量”、“握握力”、““台阶”五五个项目的的测试，每每位同学上上、下午各各测试一个个项目，且且不重复．．若上午不不测“握力力”项目，，下午不测测“台阶””项目，其其余项目上上、下午都都各测试一一人．则不不同的安排排方式共有有________种(用数字作答答)．【解析】上午的总测测试方法有有A44＝24种；我们以以A，B，C，D，E依次代表五五个测试项项目，若上上午测试E的下午测试试D，则上午测测试A的下午只能能测试B，C，确定上午午测试A的同学后其其余两个同同学上、下下午的测试试方法共有有2种；若上午午测试E的同学下午午测试A，B，C之一，则上上午测试A，B，C中任何一个个下午都可可以测试E，安排完这这个同学后后其余两个个同学的测测试方式就就确定了，，故共有3×3＝9种测试方法法，即下午午的测试方方法共有11种．根据乘乘法原理，，总的测试试方法共有有24×11＝264种．【答案】2641．解排列组组合题的““16字方针，12个技巧”：：(1)“16字”方针是解排排列组合题题的基本规规律，即：：有序排列列、无序组组合；分类类为加、分分步为乘．．(2)“12个技巧”是速解排列列组合题的的捷径．即即：①相邻问题捆捆绑法；②不相邻问题③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分分类法；⑧交叉问题集集合法；⑨至少(至多)问题间接接法；⑩选排问题题先取后后排法；；⑪局部与整整体问题题排除法法；⑫复杂问题题转化法法．2．计数重重复或遗遗漏的原原因在于于分类、、分步的的标准不不清，一一般来说说，应检检查分类类是否按按元素(或特殊元元素)的性质进进行的，，分步是是否按事事件发生生的过程程进行的的．3．画示意意图是寻寻找解题题途径的的有效手手段．1．若把英英语单词词“error”中字母的的拼写顺顺序写错错了，则则可能出出现错误误的种数数是()A．20种B．19种C．10种D．9种答案B解析“error”由5个字母组组成，其其中3个相同，，这相当当于5个人站队队，只要要给e、o选定位置，其其余三个相同同的字母r，位置固定，，即所有拼写写方式为A52，error拼写错误的种种数为：A52－1＝19.2．一份试卷有有10道考题，分为为A，B两组，每组5题，要求考生生选答6题，但每组最最多选4题，则每位考考生有________种选答方案．．答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．3．(09·陕西)从0,1,2,3,4,5这六个数字中中任取两个奇奇数和两个偶偶数，组成没没有重复数字字的四位数的的个数为()A．300B．216C．180D．162答案C解析由于0元素的特殊性性，可采用间间接法：先排排四位数，再再排除0在首位的情况况：所求的个个数为：C32C32A44－C21C32A33＝180.4．从2名女教师和5名男教师中选选出三位教师师参加2010年高考某考场场的监考工作作．要求一女女教师在室内内流动监考，，另外两位教教师固定在室室内监考，问问不同的安排排方案种数为为()A．30B．180C．630D．1080答案A解析分两类进行行：第一类类，在两名名女教师中中选出一名名，从5名男教师中中选出两名名，且该女女教师只能能在室内流流动监考，，有C21·C52种选法；第第二类，选选两名女教教师和一名名男教师有有C22·C51种选法，且且再从选中中的两名女女教师中选选一名作为为室内流动动监考人员员，即有C22·C51·C21共10种选法，∴共有C21·C52＋C22·C51