《走向清华北大》高考总复习 正弦定理和余弦定理课件

第二十二讲正弦定理和余弦定理回归课本1.正弦定理(1)内容:=2R(其中R为△ABC外接圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②(其中R是△ABC外接圆半径)③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;④a:b:c=sinA:sinB:sinC.2.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.(2)余弦定理的变形(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.

3.解斜三角形的类型在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:4.测距离的应用5.测高的的应用用6.仰角､俯角､方位角角､视角(1)在视线线和水水平线线所成成的角角中,视线在在水平平线上上方的的角叫叫做仰角,在水平平线下下方的的角叫叫做俯角,如下左左图所所示.(2)如上右右图所所示,P点的方方向角角为南偏东东60°°.(3)由物体体两端端射出出的两两条光光线,在眼球球内交交叉而而成的的角叫叫做视角.7.△△ABC的面积积公式式有考点陪陪练答案:C答案:C答案:D4.在△ABC中,角A,B,C的对边边为a,b,c,若B=45°°,则角A等于()A.30°°B.30°°或105°C.60°°D.60°°或120°答案:D5.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的的边长长分别别为a,b,c.若∠C=120°,a,则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小小关系系不能能确定定解析:c2=a2+b2-2abcos120°°⇒a2-b2-ab=0⇒b=<a,故选A.答案:A类型一一正正弦定定理和和余弦弦定理理的应应用解题准准备:1.正弦定定理和和余弦弦定理理揭示示的都都是三三角形形的边边角关关系,根据题题目的的实际际情况况,我们可可以选选择其其中一一种使使用,也可以以综合合起来来运用用.2.在求角角时,能用余余弦定定理的的尽量量用余余弦定定理,因为用用正弦弦定理理虽然然运算算量较较小,但容易易产生生增解解或漏漏解.3.综合运运用正正､余弦定定理解解三角角形问问题时时,要注意意以下下关系系式的的运用用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-【典例1】在△ABC中,若∠B=30°°,AC=2,求△ABC的面积积.[解]解法一一:根据正正弦定定理有有∴sinC=由AB>AC知∠C>∠∠B,则∠C有两解解.(1)当C为锐角角时,∠C=60°°,∠∠A=90°,由三角角形面面积公公式得得:S=AB·AC·sinA=××2×sin90°=.(2)当C为钝角角时,∠C=120°,∠A=30°°,由三角角形面面积公公式得得:S=AB·AC·sinA=∴△ABC的面积积为或或解法二二:由余弦弦定理理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2××××|BC|××∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.(1)当|BC|=2时,S△=|AB|·|BC|·sinB(2)当|BC|=4时,S△=|AB|·|BC|·sinB∴△ABC的面积积为或或[反思感感悟]本题主主要考考查正正弦定定理､三角形形面积积公式式及分分类讨讨论的的数学学思想想,同时也也考查查了三三角函函数的的运算算能力力及推推理能能力.类型二二判判断三三角形形的形形状解题准准备:1.这类题题型主主要是是利用用正､余弦定定理及及其变变形,把题设设条件件中的的边､角关系系转化化为角角或边边的简简单关关系,从而进进行判判断.2.判断三三角形形的形形状的的思路路大致致有两两种:一是化化边为为角,以角为为着眼眼点,利用正正､余弦定定理及及变形形,把已知知条件件转化化为内内角三三角函函数之之间的的关系系,走三角角变形形之路路;二是化化角为为边,以边为为着眼眼点,利用正正､余弦定定理及及变形形,把已知知条件件转化化为边边的关关系,走代数数变形形之路路.在运用用这些些方法法对等等式变变形时时,一般两两边不不约去去公因因式,应移项项提公公因式式,以免产产生漏漏解.【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表表示三三个内内角A、B、C的对边边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断断该三三角形形的形形状.[分析]利用正正、余余弦定定理进进行边边角互互化,转化为为边边边关系系或角角角关关系.[解]解法一一:由已知知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B).得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦弦定理理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=∴△ABC是等腰腰三角角形或或直角角三角角形.解法二二:同解法法一可可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正、、余弦弦定理理得a2b•=b2a•∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴∴a=b或c2=a2+b2,∴△ABC为等腰腰三角角形或或直角角三角角形.[反思感感悟]判断三三角形形形状状主要要有如如下两两条途途径:(1)利用正正、余余弦定定理把把已知知条件件转化化为边边边关关系,通过因因式分分解、、配方方等得得出边边的相相应关关系,从而判判断三三角形形的形形状;(2)利用正正、余余弦定定理把把已知知条件件转化化为内内角的的三角角函数数间的的关系系,通过三三角函函数恒恒等变变形,得出内内角的的关系系,从而判判断出出三角角形的的形状状,此时要要注意意应用用A+B+C=ππ这个结结论.在两种种解法法的等等式变变形中中,一般两两边不不要约约去公公因式式,应移项项提取取公因因式,以免漏漏解.类型三三测测量高高度和和角度度问题题解题准准备:1.在测量量高度度的问问题中中,要正确确理解解仰角角､俯角和和坡角角､坡度等等特定定的相相关概概念,画出准准确的的示意意图.2.(1)仰角､俯角:在视线线和水水平线线所成成的角角中,视线在在水平平线上上方的的角叫叫仰角角,视线在在水平平线下下方的的角叫叫俯角角.(2)坡角､坡度:坡面与与水平平面的的夹角角叫做做坡角角;坡面的的竖直直高度度与水水平宽宽度的的比值值叫做做坡度度.3.测量角角度问问题,首先要要明确确方位位角､方向角角的含含义:指北或或指南南方向向线与与目标标方向向线所所成的的0°~90°的角叫叫做方方向角角:从指正正北方方向线线顺时时针转转到目目标方方向线线所成成的角角度叫叫做方方位角角.4.方向角角是解解三角角形实实际问问题中中经常常出现现的.目标方方向角角一般般可用用“x偏x多少度度”来表示示,这里第第一个个“x”是“北”或“南”,第二个个“x”是“东”或“西”.如北偏偏东25°°等.5.在解此此类应应用题题时,分析题题目条条件,理清已已知与与所求求,再根据据题意意正确确画出出示意意图,这是最最关键键､最重要要的一一步.通过这这一步步可将将实际际问题题转化化成可可用数数学方方法解解决的的问题题,解题中中也要要注意意体会会正､余弦定定理““联袂袂”使使用的的优点点.【典例3】在湖面面上高高hm处,测得天天空中中一朵朵云的的仰角角为α,测得云云在湖湖中之之影的的俯角角为β.试证云云距湖湖面的的高度度为[证明]如图,设湖面面上高高hm处为A,测得云云C的仰角角为α,测得C在湖中中之影影D的俯角角为β,CD与湖面面交于于M,过A的水平平线交交CD于E.[反思感感悟]在测量量高度度时,要理解解仰角角､俯角的的概念念.仰角和和俯角角都是是在同同一铅铅垂面面内,视线与与水平平线的的夹角角,当视线线在水水平线线之上上时,称为仰仰角;当视线线在水水平线线之下下时,称为俯俯角.解斜三三角形形应用用题的的一般般步骤骤是:①准确理理解题题意,分清已已知与与所求求;②依题意意画出出示意意图;③分析与与问题题有关关的三三角形形;④运用正正､余弦定定理,有序地地解相相关的的三角角形,逐步求求解问问题的的答案案;⑤注意方方程思思想的的运用用;⑥要把立立体几几何知知识与与平面面几何何知识识综合合运用用.[探究]如图,在海岸岸A处发现现北偏偏东45°°方向,距A处海海里的的B处有一一艘走走私船船.在A处北偏偏西75°°方向,距A处2海里的的C处的我我方缉缉私船船奉命命以海海里里/小时的的速度度追截截走私私船,此时走走私船船正以以10海里/小时的的速度度,从B处向北北偏东东30°°方向逃逃窜.问:缉私船船沿什什么方方向行行驶才才能最最快截截获走走私船船?并求出出所需需时间间.[解]设缉私私船应应沿CD方向行行驶t小时,才能最最快截截获(在D点)走私船船,则CD=t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦弦定理理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,()2+22-2()·2·cos120°°=6,∴BC=海里.又∵∴sin∠ABC=∴∠ABC=45°°,∴∴B点在C点的正正东方方向上上,∴∠CBD=90°°+30°°=120°.在△BCD中,由正弦弦定理理,得∴sin∠BCD=∴∠BCD=30°°,∴∴缉私船船沿北北偏东东60°°的方向向行驶驶.又在△△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°°,∴∠D=30°°,∴∴BD=BC,即∴∴t=小时≈≈15分钟.∴缉私船船应沿沿北偏偏东60°°的方向向行驶驶,才能最最快截截获走走私船船,大约需需要15分钟.[评析]应用解解三角角形的的知识识解决决实际际问题题的基基本步步骤是是:(1)根据题题意,抽象或或者构构造出出三角角形;(2)确定实实际问问题所所涉及及的数数据以以及要要求解解的结结论与与所构构造的的三角角形的的边和和角的的对应应关系系;(3)选用正弦弦定理或或余弦定定理或者者二者相相结合求求解;(4)给出结论论.错源一因因忽视视边角关关系而致致错【典例1】在△ABC中,已知A=60°,,b=2,则角B=________.[错解]在△ABC中,由正弦定定理,可得sinB=所以B=45°或B=135°.[剖析]上述错解解中的错错误十分分明显,若B=135°,则A+B=195°>180°°,故B=135°不适合题题意,是个增解解.这个增解解产生的的根源是是忽视了了a>b这一条件件,根据三角角形的边边角关系系,角B应小于角角A,故B=135°应舍去.[正解]在△ABC中,由正弦定定理可得得因为a>b,所以A>B,所以B=45°.[答案]45°°[评析]已知两边边和其中中一边的的对角,求另一边边的对角角时,一定要注注意根据据边角关关系,确定适合合题意的的角是一一个还是是两个.错源二因因忽视视边角关关系而致致错【典例2】在△ABC中,tanA=a2,tanB=b2,那么△ABC是()A.锐角三角角形B.直角三角角形C.等腰三角角形D.等腰三角角形或直直角三角角形[剖析]上述错解解忽视了了满足sin2A=sin2B的另一个个角之间间的关系系:2A+2B=180°.[答案]D[评析]判断三角角形形状状时,一定要把把边或角角的关系系考查周周全,避免遗漏漏.错源三因因忽视视角的范范围而致致错【典例3】在△ABC中,若A=2B,求的的取值范范围.[错解]在△ABC中,由正弦定定理,可得因为0<B<π,所以-1<cosB<1,所以-2<2cosB<2,又,所以0<2cosB<2,所以的的取值范范围是(0,2).[剖析]上述错解解忽视了了根据已已知条件件A=2B进一步考考查角B的取值范范围.[正解]在△ABC中,由正弦定定理,可得因为A=2B,A+B<ππ,所以所以<cosB<1,所以1<2cosB<2,所以的的取值值范围围是(1,2).[评析]对于三三角形形的内内角,一定要要注意意根据据三角角形内内角和和定理理准确确限定定角的的取值值范围围.错源四四因因忽视视隐含含条件件而致致错【典例4】在△ABC中,已知a=4+b,a+c=2b,最大角角为120°,求最大大边长长.[错解]由可可得b-c=4,所以a>b>c,即最大大边长长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在在△ABC中由余余弦定定理,得解得a=14或a=4,所以最最大边边长为为4或14.[剖析]上述错错解忽忽视了了已知知条件件a=4+b中隐含含的a>4这一要要求.[正解]由可可得得b-c=4,所以a>b>c,即最大大边长长为a,所以A=120°,因为b=a-4,c=b-4=a-8,所以在在△ABC中由余余弦定定理,得解得a=14或a=4,因为a=4+b,所以a>4,所以最最大边边长为为14.[评析]对于题题目中中的隐隐含条条件,尤其是是范围围条件件,一定要要善于于挖掘掘.错源五五忽忽视内内角和和定理理的限限制[答案]A技法一一方方程思思想【典例1】如图,D是直角角△ABC斜边BC上一点点,AB=AD,记∠CAD=αα,∠∠ABC=β.(1)证明:sinαα+cos2ββ=0;(2)若AC=,求β的值.[方法与与技巧巧]第(2)问借助助正弦弦定理理得到到“sinβ=sinαα”,结合第第(1)问的结结论消消去α角,把问题题转化化为关关于sinβ的一元元二次次方程程,通过解解方程程求得得.此题灵灵活运运用了了消元元思想想和方方程思思想.技法二二分分类讨讨论思思想【典例2】如图,有两条条相交交成60°°的直线线xx′′,yy′′,其交点点为O,甲、乙乙两辆辆汽车车分别别在xx′′,Oy′′上行驶驶,起初甲甲离O点30km,乙离O点10km,后来两两车均均用60km/h的速度度,甲沿xx′′方向,乙沿yy′′方向行行驶(设甲、、乙两两车最最初的的位置置分别别为A,B).(1)起初两两车的的距离离是多多少?(2)用包含含t的式子子表示示,t小时后后两车车的距距离是是多少少?[解](1)由余弦弦定理理,知AB2=OA2+OB2-2××OA×OB××cos60°°=302+102-2××30×10××=700.故AB=(km).即起初初两车车的距距离是是(2)设甲､乙两车车t小时后后的位位置分分别为为P,Q,则AP=60t,BQ=60t.①当0≤t≤时,∠POQ=60°°.此时OP=30-60t,OQ=10+60t.由余弦弦定理理,得PQ2=(30-60t)2+(10+60t)2-2××(30-60t)(10+60t)cos60°°=10800