《走向清华北大》高考总复习 平面向量的基本定理及坐标表示课件

第二十四讲平面向量的基本定理及坐标表示回归课本1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中,分别取与x轴､y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数a1、a2,使a=a1e1+a2e2.把有序数对(a1,a2)叫做向量a的坐标,记作a=(a1,a2),其中a1叫a在x轴上的坐标,a2叫a在y轴上的坐标.②设=a1e1+a2e2,则向量的坐标(a1,a2)就是终点A的坐标,即若 =(a1,a2),则A点坐标为(a1,a2),反之亦成立(O是坐标原点).2.平面向量的坐标运算(1)加法､减法､数乘运算向量aba+ba-bλa坐标(x1,y1)(x2,y2) (x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=λbx1y2-x2y1=0.考点陪练1.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=解析:根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底.A中显然e1∥e2;C中e2=2e1,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.答案:B2.已知知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案案:A3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0解析析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=-3.答案案:C答案案:2类型型一一平平面面向向量量基基本本定定理理的的应应用用解题题准准备备:已知知e1,e2是平平面面的的一一组组基基底底,如果果向向量量a,e1,e2共面面,那么么有有且且只只有有一一对对实实数数λ1,λλ2,使a=λλ1e1+λλ2e2.反之之,如果果有有且且只只有有一一对对实实数数λ1,λλ2,使a=λλ1e1+λλ2e2,那么么a,e1,e2共面面.这是是平平面面向向量量基基本本定定理理的的一一个个主主要要考考查查点点,也是是高高考考本本部部分分知知识识考考查查的的重重点点内内容容.[反思思感感悟悟](1)本题题先先利利用用平平面面向向量量基基本本定定理理设设出出未未知知向向量量,然后后利利用用共共线线向向量量的的条条件件列列出出方方程程组组,通过过待待定定系系数数法法从从而而确确定定参参数数的的值值.(2)由平平面面向向量量基基本本定定理理知知:平面面内内的的任任一一向向量量都都可可用用两两个个不不共共线线的的向向量量惟惟一一表表示示,根据据向向量量的的加加法法和和减减法法法法则则及及几几何何性性质质即即可可解解题题.类型型二二平平面面向向量量的的坐坐标标运运算算解题题准准备备:向量量的的坐坐标标运运算算,使得得向向量量的的线线性性运运算算都都可可用用坐坐标标来来进进行行,实现现了了向向量量运运算算完完全全代代数数化化,将数数与与形形紧紧密密结结合合起起来来,就可可以以使使很很多多几几何何问问题题的的解解答答转转化化为为我我们们熟熟知知的的数数量量运运算算.[反思思感感悟悟]由A､､B､､C三点点坐坐标标易易求求得得坐坐标标,再根根据据向向量量坐坐标标的的定定义义就就可可以以求求出出M､､N的坐坐标标.向量量的的坐坐标标是是向向量量的的另另一一种种表表示示形形式式,它只只与与起起点点､终点点､相对对位位置置有有关关,三者者中中给给出出任任意意两两个个,可求求第第三三个个.在求求解解时时,应将将向向量量坐坐标标看看作作一一“整体体”,运用用方方程程的的思思想想求求解解.向量量的的坐坐标标运运算算是是向向量量中中最最常常用用也也是是最最基基本本的的运运算算,必须须灵灵活活应应用用.类型型三三平平面面向向量量共共线线的的坐坐标标表表示示解题题准准备备:两平平面面向向量量共共线线的的充充要要条条件件有有两两种种形形式式:①①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥∥b的充充要要条条件件是是x1y2-x2y1=0;②②若a∥∥b(a≠≠0),则b=λλa.【典例例3】】平面面内内给给定定三三个个向向量量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答答下下列列问问题题:(1)求3a+b-2c;(2)求满满足足a=mb+nc的实实数数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求k;(4)若(d-c)∥∥(a+b),且|d-c|=1,求d.[分析](1)直接用向量加加减法的坐标标运算公式.(2)借助于向量相相等的条件,建立关于m,n的方程组.(3)利用向量共线线的充要条件件,建立关于实数数k的充要条件.(4)利用(d-c)∥∥(a+b)及|d-c|=1建立关于x,y的方程组.[解](1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),(3)∵(a+kc)∥∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=(4)设d=(x,y),∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又(d-c)∥∥(a+b)且|d-c|=1,∴[反思感悟]向量的坐标表表示实际上就就是向量的代代数表示.在引入向量的的坐标表示后后,可以使向量的的运算完全化化为代数运算算.这样就可以将将“形”和““数”紧密结结合在一起.因此,很多几何问题题,特别是共线､共点等较难问问题的证明,通过建立坐标标系,设出点的坐标标就可转化为为坐标运算来来解决.如:要证平行,只需相关向量量共线,要证垂直,只需相关向量量数量积等于于0.错源一 遗漏漏零向量【典例1】若a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值.[错解]因为b=(m,-m)=m(1,-1),令c=(1,-1),b∥∥c,又a∥b,所以a∥c,即3×(-1)-1×(2-m)=0,解得m=5.[剖析]零向量与任一一向量平行,当m=0时,b为零向量,也与a平行.[正解]由a∥b,得-3m-m(2-m)=0,即m2-5m=0,解得m=5或m=0,所以m的值为0或5.[评析]零向量与任一一向量都是平平行(共线)向量,这是在解题中中常常容易被被忽视的.错源二 忽视视平面向量基基本定理的使使用条件致误误[剖析]本题可以根据据向量共线的的充要条件列列出等式解决决,但在得出等式式后根据平面面向量基本定定理列式解决决时,容易忽视平面面向量基本定定理的使用条条件,出现漏解,漏掉了当a,b共线时,t可为任意实数数这个解.[正解]由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直直线上的充要要条件是存在在实数k,使得即即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.①若a,b共线,则t可为任意实数数;②若a,b不共线,则有解解之得综上,a,b共线时,t可为任意实数数;a,b不共线时[评析]平面向量基本本定理如果e1,e2是一平面内的的两个不共线线向量,那么对该平面面内的任一向向量a,有且只有一对对实数λ1､λ2,使a=λ1e1+λ2e2,特别地,当a=0时,λ1=λ2=0,本题在a,b不共线时,就是根据这个个定理得出的的方程组.在平面向量的的知识体系里里,平面向量基本本定理是基石石,共线向量定理理是重要工具具,在复习这部分分时要充分注注意这两个定定理在解决问问题中的作用用,在使用平面向向量基本定理理时要注意其其使用是两个个基向量不共共线.技法一 基向向量法【典例1】在下图中,对于平行四边边形A