《走向清华北大》高考总复习 对数与对数函数课件

第十讲对数与对数函数回归课本1.对数概念(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)对数性质①零和负数没有对数,即N>0;②1的对数为0,即loga1=0(a>0且a≠1);③底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1).(3)对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为lgN.(5)自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,N的自然对数logeN简记作lnN.2.对数的运算性质如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么4.对数函数的定义一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,它的定义域为(0,+∞),值域为R.5.对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当x>1时,y<0;当0<x<1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数x的图象关于x轴对称6.反函数指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.考点陪练练1.已知函数数的的定定义域为为M,g(x)=ln(x+1)的定义域域N,则M∩N=()A.{x|x>-1}B.{x|-1<x<1}C.{x|x<1}D.∅解析:要使函数数f(x)有意义,则必须有有1-x>0,即x<1,所以f(x)的定义域域为{x|x<1};要使函数数g(x)有意义,则必须有有x+1>0,x>-1,所以g(x)的定义域域为{x|x>-1}.所以M∩N={x|-1<x<1},故选B.答案:B2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关关系为()A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a>1,所以2a-(a-1)>0,即2a>a-1>0;又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+1>2a>0.因为a>1,所以函数数y=logax在(0,+∞)上是增函函数,所以loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),所以m>p>n,故选B.答案:B3.下列四个个数中最最大的是是( )答案:D解析:①若a>1,则f(x)=logax在[2,+∞]上是增函函数,且当x≥2时,f(x)>0.由|f(x)|>1得f(x)>1,即logax>1.∵当x∈[2,+∞∞)时,logax>1恒成立,∴loga2>1,∴loga2>logaa,∴1<a<2.②若0<a<1,则f(x)=logax在[2,+∞)上是减函函数,且当x≥2时,f(x)<0.∴由|f(x)|>1得-f(x)>1,∴f(x)<-1,即logax<-1.∵当x∈[2,+∞∞)时,logax<-1恒成立,答案:C评析:在对数函函数中如如果底数数含有字字母,通常把底底数与1比较大小小,进行分类类讨论.答案:C类型一对对数的的运算解题准备备:对数化简简求值问问题的常常见思路路:一是将对对数的和和､差､积､商､幂转化为为对数真真数的积积､商､幂;二是将式式子化为为最简单单的对数数的和､差､积､商､幂,合并同类类项后再再进行运运算,解题过程程中,要抓住式式子的特特点,灵活使用用运算法法则.[分析]关于对数数运算的的题目,往往需要要利用对对数的运运算性质质､对数恒等等式､换底公式式等进行行变形和和求解.类型二对对数函函数的图图象解题准备备:对数函数数的图象象:经过点(1,0),且图象都都在第一一､四象限;都以y轴为渐近近线(当0<a<1时,图象向上上无限接接近y轴;当a>1时,图象向下下无限接接近y轴);对于相同同的a,函数f(x)=logax与g(x)=的图象关关于x轴对称.[分析]在同一坐坐标系下下画出y=2x与y=logax的图象,数形结合合求解.类型三对对数函函数的性性质解题准备备:利用对数数函数的的性质可可以比较较对数的的大小,解对数不不等式,也可以求求与对数数函数有有关的函函数的定定义域和和值域,还可以判判断对数数函数与与其他函函数复合合以后的的函数的的单调性性.【典例3】已知函数数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区区间;(2)是否存在在实数a,使f(x)的最小值值为0?若存在,求出a的值;若不存在在,说明理由由.[分析]由f(1)=1求出a的值,然后根据据复合函函数的单单调性求求单调区区间;根据对数数函数的的性质和和二次函函数的最最值求a的值.[解](1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,这时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1<x<3,函数定义域为为(-1,3).令g(x)=-x2+2x+3.则g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减,又y=log4x在(0,+∞)上递增,所以f(x)的单调递增区区间是(-1,1),递减区间是(1,3).(2)假设存在实数数a使f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有[反思感悟]研究复合函数数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先研究其定定义域,分析复合的特特点,结合函数u=f(x)及y=logau的单调性(最值)情况确定函数数y=logaf(x)的单调性(最值).类型四 对数数函数的综合合问题解题准备:对于指､对数函数的综综合应用,不仅重视指､对数函数内在在的综合联系系,还要重视函数数与其他知识识的综合渗透透,以及在实际问问题中的应用用.【典例4】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)设g(x)=log4(a•2x-a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只只有一个公共共点,求实数a的取值范围.[分析]由偶函数的定定义建立关于于k的方程求出k的值;对于(2),可转化为相应应方程只有一一个实数解的的问题进行求求解.[反思感悟]本题的求解主主要体现了函函数与方程思思想的应用,这种思想方法法是高考的热热点,在求解函数问问题､方程问题中非非常有用.错源一 错用用对数运算性性质造成变形形不等价【典例1】作出函数y=2log4x-2的图象.[剖析]错解因为错用用了对数的性性质,在函数式变形形过程中出现现了错误,函数的变形过过程不是等价价变形,即原函数y=2log4x-2的定义域是x≠0的全体实数,值域是y>0.函数的定义域是x≠0,值域是y≠0,而在变形中函函数y=2log2x-1的定义域是x>0,值域是y>0,因而原函数的的图象显然是是错误的.错源二 忽视视真数大于0[剖析]错误的原因在在于忽视了原原式中的三个个对数式隐含含的条件,x>0,y>0,x-2y>0,所以x>2y>0,所以x=y不成立.[正解]因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y,因为x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y应舍去,所以x=4y,技法一 快速速解题(特例法)[另解切入点]y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直直线y=x对称,故f(x)=logax,可以写出g(x),注意0<a<1和a>1两种情况的讨讨论.[解析]解法一:由题意知,f(x)=logax,故g(x)=logax(logax+loga2-1).令t=logax,则h(t)=t2+(loga2-1)t.[答案]D[方法与技巧]解法一是由复复合函数的增增减性讨论的的,解法二利用导导数讨论,但都要考虑0<a<1和a>1两种情况.而快解是赋值值,这种方法快,但有时不一定定能很快找到到要取的特殊殊值.技法二 等价价转化思想【