《走向清华北大》高考总复习 函数的奇偶性与周期性课件

第七讲函数的奇偶性与周期性回归课本1.函数的奇偶性(1)函数的奇偶性的定义奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数.关于原点对称(2)对函数奇偶性的理解①函数奇偶性的判断a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.②在公共定义域内a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和是奇函数.b.两偶函数的和､积与商(分母不为零)为偶函数.③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反.2.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期.(2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上､下界.考点陪练答案:B2.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x-4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0;当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,综上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B.答案:B3.(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()A.-3 B.-1C.1 D.3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.答案:A4.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均均为R,则()A.f(x)与g(x)均为偶函数数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.答案:B答案:2x+3类型一函函数奇偶性性的判断解题准备:判断函数奇奇偶性的一一般方法(1)首先确定函函数的定义义域,看是否是关关于原点对对称的.否则,既不是奇函函数也不是是偶函数.(2)若定义域关关于原点对对称,则可用下述述方法进行行判断:①定义判断:f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数,f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.②等价形式判判断:f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.(3)对于分段函函数的奇偶偶性的判断断应分段进进行.[分析]判断函数的的奇偶性,首先要检验验其定义域域是否关于于原点对称称,若关于原点点对称,再严格按照照奇偶性的的定义进行行推理判断断.的定义域关关于原点对对称,∵当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)(x<0).∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.类型二函函数的单调调性与奇偶偶性的综合合问题解题准备:1.讨论函数的的单调性和和奇偶性时时,应先确定函函数的定义义域.2.奇函数在关关于原点对对称的单调调区间内有有相同的单单调性,偶函数在关关于原点对对称的单调调区间内有有相反的单单调性.3.将函数的奇奇偶性和单单调性综合合运用是考考查函数性性质的重要要题型.又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0,∵1-x2>0,1+x1>0,∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.类型三函函数的周期期性解题准备:三个结论:若a､b是非零常数数,且a≠b,则有结论2:(对称性与周周期关系结结论)(1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|;(2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|;(3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|.结论3:(奇偶性与周周期关系结结论)(1)f(x)是偶函数且且关于直线线x=a对称,则T=2|a|;(2)f(x)是奇函数且且关于直线线x=a对称,则T=4|a|.(上述结论中中的T为函数的周周期,但不一定是是最小正周周期).类型四函函数的奇偶偶性与周期期性的综合合问题解题准备:奇偶性和周周期性都是是函数的整整体性质.奇偶性是解解决函数图图象的对称称性问题,周期性是解解决函数图图象的平移移问题.函数的单调调性揭示函函数的局部部性质,灵活运用函函数性质可可解决与函函数相关的的方程､不等式等综综合问题.【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数数,对任意的x,都有f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一个个根,则方程f(x+1)=0的第2000个根是多少少.(从x轴右半轴开开始从左到到右数起).[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数数,且周期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左左移1个单位.由x∈R,f(x)是奇函数,且f(x)=0在[-1,1]上只有一个个根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是3999.错源一忽忽略定义域域出错[剖析]判断函数奇奇偶性,首先要看函函数的定义义域,若定义域是是关于原点点的对称区区间,则函数可能能具有奇偶偶性;否则,函数一定不不具有奇偶偶性.其次,要看f(x)与f(-x)之间的关系系.[正解]函数的定义义域为{x|x≠1},定义域不关关于原点对对称,因此该函数数为非奇非非偶函数.错源二忽忽视对参数数的讨论【典例2】判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性.[错解]显然函数定定义域为R.因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,所以f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),所以f(x)既不是奇函函数,也不是偶函函数.[剖析]此解法错在在于没有对对参数进行行讨论,未考虑到a=0这种特殊殊情形,以致解题题出错.[正解]当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数数;当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),此时f(x)既不是奇奇函数,也不是偶偶函数.技法一快快速解解题(数形结合合法)【典例1】已知定义义在R上的函数数f(x)不恒为零零,且满足f(x+3)=-f(3-x)､f(x+4)=f(4-x),则f(x)是()A.奇函数也也是周期期函数B.偶函数也也是周期期函数C.奇函数但但非周期期函数D.偶函数但但非周期期函数[快解]由于本题题为选择择题,故可用数数形结合合法,画出符合合题意的的图象即即可选对对答案.函数f(x)以点(3,0)为对称中中心,以直线x=4为对称轴轴,如下图所所示,点(2k-1,0)都是对称称中心,直线x=2k都是对称称轴,这里的k∈Z,故选B.[另解切入入点]因为f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函数数f(x)以点(3,0)为对称中中心,以直线x=4为对称轴轴.[分析思维维过程]要利用两两个条件件式,推证出f(x)是奇函数数或偶函函数,需找到两两式的联联系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出现,如此推演演,有望得到到结果.[解析]∵f(x+3)=-f(3-x)①f(x+4)=f(4-x)②∴f(x+4)=f[(x+1)+3]=-f[-(x+1)+3]=-f(2-x)=-f[4-(x+2)]=-f[4+(x+2)]=-f[3+(x+3)]=f[3-(x+3)]=f(-x).则f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).∴f(-x)=f(x),且f(x+4)=f(x).故函数f(x)是偶函数数,也是周期期函数,选B.[答案]B[方法与技技巧]解是由函函数满足足的关系系一步一一步推证证,步骤较多多,不易掌握握.而数形结结合法简简单､直观,好掌握,易理解,对于解选选择题非非常适宜宜.[得分主要要步骤]运用好已已知的两两个条件件式是很很重要的的.首先由②②式入手手,使之出现现①式的的形式,再由②到到①,每步都需需认真思思考,是否满足足条件,是否可以以得到需需要的结结果.[易丢分原原因]各步变换换时,注意符号号,稍有不慎慎将会出出错.如由f(x+4)得到f(-x),故f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).技法二探探寻判判断奇偶偶性的途途径[解]解法一:对于比较较复杂的的函数解解析式,除了用定定义法进进行判断断外,还可以考考虑用f(-x)=±±f(x)变形式:f(-x)±±f(x)=0进行判断断,应注意的的是在利利用这两两个式子子进行判判断之前前,应先探求求是用f(-x)+f(x)=0还是用f(-x)-f(x)=0来进行判判断.[方法与技技巧]本题是用用验证法法判断函函数的奇奇偶性.关系式f(-x)±f(x)=0实质是函函数奇偶偶性的定定义f(-x)=±±f(x)的一个变变形式,使用这个