第七章 梁的弯曲强度

1第七章梁的弯曲强度基本概念

梁

当构件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲，将主要承受弯曲的构件统称为“梁”。

根据梁的支座性质与位置不同，梁可分为简支梁(a)、外伸梁(b)、悬臂梁(c)。

根据其约束力是否可由平衡条件求得，梁可分为静定梁和超静定梁

2C（a）（b）（c）3纯弯曲：梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§7-1纯弯曲时梁的正应力杆件的横截面上只有弯矩，无其它内力，称纯弯曲。41.梁的纯弯曲实验横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM5凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中性层与横截面的交线－－中性轴1、变形几何关系中性层纵向对称面中性轴67横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

推论：两个概念：中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。82、物理关系胡克定理93、静力学条件10正应力公式变形几何关系物理关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径11正应力分布12常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面13弯曲正应力公式适用范围:弯曲正应力分布细长梁的纯弯曲或横力弯曲横截面惯性积

IYZ=0弹性变形阶段目录14弯曲正应力强度条件1.弯矩最大的截面上；2.离中性轴最远处；4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑

与目录危险截面发生的位置：15校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：强度条件应用：依此强度准则可进行三种计算16例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：1、求1—1截面上1、2两点的正应力；2、求此截面上的最大正应力；3、全梁的最大正应力；4、已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m1112120180zy3017Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax解：画M图求截面弯矩12120180zy3018Q=60kN/mAB1m2m11求应力12120zy18030xM+M1Mmax19求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m111212018030xM+M1Mmax20解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0.9MPa，试校核梁的强度。q=3.6kN/mxMABL=3mQ–+x21求最大应力并校核强度q=3.6kN/mxM22例3

T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm,

y2=88mm,Iz=763cm4,试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2G23y1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM24校核强度T字头在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A425解：1.内力：绘内力图，Mmax=ql2/8=5kN/m2.强度校核：例3：矩形截面，q=10kN/m，l=2m，h=0.2m，b=0.1m，[σ]=8MPa。试校核该梁的强度。强度校核通过。26分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢型号（2）某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用起重量跨度试选择工字钢的型号。应力27（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢28例：工字钢截面，No.20a，Wz=2.37×10-4m3，a=2m，b=3m，[σ]=120MPa。试估算合理的[F]。解：1.内力：绘弯矩图，危险截面C，Mmax=Fab/l2.估算载荷：F不得超过23.7kN。29例：箱形截面，l=4m，h=0.3m，b=0.2m，t=0.02m，[σ]=120MPa。试估算合理的[F]

。解：1.内力：绘弯矩图，危险截面A，Mmax=Fl2.估算载荷：F不得超过43.13kN。30横力弯曲§7-2正应力公式的推广强度条件6-231横力弯曲正应力公式当跨度l

与横截面高度h

之比l/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲最大正应力32§7-3梁横截面上的剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力1、两点假设：

剪应力与剪力平行；

矩中性轴等距离处，剪应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

在梁上取微段如图b；

在微段上取一块如图c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c33dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由剪应力互等34Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；352、几种常见截面的最大弯曲剪应力

Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b

为y点处截面宽度。①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。;»maxAQtf36

②圆截面：③薄壁圆环：④槽钢：exyzPQeQeh37最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。剪应力强度条件：需要校核剪应力的几种特殊情况：梁的跨度较短，M

较小，而Q较大时，要校核剪应力。铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。383940417-4提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力是控制弯曲强度的主要因素，所以弯曲正应力的强度条件往往是设计梁的主要依据，由此可知：要提高梁的承载能力应从两方面考虑：一方面是合理安排梁的受力情况，以降低另一方面是采用合理的截面形状，以提高W的数值，充分利用材料的性能。42一、合理安排梁的受力情况，以减小。合理安排梁的受力情况，尽量降低梁内最大工作弯矩的数值，相对