【全套解析】高三数学一轮复习 75 直线、平面垂直的判定及其性质课件 （理） 新人教A

第五节

直线、平面垂直的判定及其性质1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条

直线都垂直，则该直线和此平面垂直．相交(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内

直线．②垂直于同一直线的两平面

2．斜线和平面所成的角斜线和

所成的锐角．任意平行．它在平面内的射影3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：一个平面过另一个平面的

，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于

的直线垂直于另一个平面．一条垂线交线4．二面角的平面角从二面角的棱上一点，在两个半平面内分别作与棱

的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．垂直1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.答案：A2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是(

)A．①③B．②④C．②③ D．①④解析：由线面垂直的性质知①正确；由面面平行的定义知，m、n可能平行，也可能异面，所以②错误；对于③中n∥α也可能n⊂α，④正确．答案：D3．设设平平面面α⊥β，且且α∩β＝l，直直线线a⊂α，直直线线b⊂β，且且a不与与l垂直直，，b不与与l垂直直，，则则a与b()A．可可能能垂垂直直，，不不可可能能平平行行B．可可能能平平行行，，不不可可能能垂垂直直C．可可能能垂垂直直，，也也可可能能平平行行D．不不可可能能垂垂直直，，也也不不可可能能平平行行解析析：：当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如右图：过过a上一点作c⊥l，则c⊥β.∴b⊥c.∴b⊥α.∴b⊥l，与已知矛盾盾．答案：B4．三棱锥P—ABC的顶点P在底面的射影影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的________心，若PA、PB、PC两两垂直，则则O为△ABC的________心．解析：当PA＝PB＝PC时，OA＝OB＝OC，∴O为外心．当PA、PB、PC两两垂直时，，AO⊥BC，BO⊥AC，CO⊥AB.∴O为垂心．答案：外垂5．m、n是空间两条不不同的直线，，α、β是两个不同的的平面，下面面四个命题中中，真命题的的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n.②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β.③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β.④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.答案：①④热点之一直线与平面垂垂直的判定与与性质证明直线和平平面垂直的常常用方法有1．利用判定定理理．2．利用平行线线垂直于平面面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．3．利用面面平平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．4．利用面面垂垂直的性质．．当直线和平面面垂直时，该该直线垂直于于平面内的任任一直线，常常用来证明线线线垂直．[思路探究]要证BD⊥平面PAC，只需在平面面PAC内寻求两相交交直线与BD垂直，而PA显然与BD垂直，故只需需证BD⊥AC.[课堂记录]设AC与BD交于点E.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.即时训练如右图所示，，P为△ABC所在平面外一一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥EF.证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.而EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF.热点之之二平面与与平面面垂直直的判判定与与性质质1．判定面面面垂垂直的的方法法(1)面面垂垂直的的定义义(作两平平面构构成二二面角角的平平面角角，计计算其其为90°°)．(2)面面垂垂直的的判定定定理理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．关于于三种种垂直直关系系的转转化可可结合合下图图记忆忆．注意：：在求求平面面垂直直时，，一般般要用用性质质定理理，在在一个个平面面内作作交线线的垂垂线，，使之之转化化为线线面垂垂直，，然后后进一一步转转化为为线线线垂直直，要要熟练练掌握握“线线垂垂直”、“线面垂垂直”、“面面垂垂直”间的转转化条条件和和转化化运用用，这这种转转化方方法是是本章章内容容的显显著特特征．．掌握握转化化思想想方法法是解解决这这类问问题的的关键键．[例2](2010·苏北四市调调研)如右图，在在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G分别为线段段AC1、A1C1、BB1的中点，求求证：(1)平面ABC⊥平面ABC1；(2)FG⊥平面AB1C1.[思路探究](1)由面面垂直直判定定理理易证；(2)先证FG⊥AC1，再证明BC∥B1C1，B1C1⊥BE，B1C1⊥平面ABC1可得FG⊥B1C1，则结论得得证．[课堂记录](1)∵AB⊥BC，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴BC⊥平面ABC1，又∵(2)在△AA1C1中，∵E、F分别为AC1、A1C1的中点，∴EF∥BG，且EF＝BG，连接BE，∴四边形BEFG为平行四边边形，∴FG∥EB.∵AB＝BC1，E为AC1的中点，∴BE⊥AC1，则FG⊥AC1.∵BC⊥AB，BC⊥BC1，B1C1∥BC，∴B1C1⊥AB，B1C1⊥BC1，又AB∩BC1＝B，∴B1C1⊥平面ABC1.∵BE⊂平面ABC1，∴B1C1⊥BE，则B1C1⊥FG，∵AC1∩B1C1＝C1，∴FG⊥平面AB1C1.即时训练练(2010·湛江模拟拟)如右图，，已知三三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且且△PMB为正三角角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平平面ABC⊥平面APC.证明：(1)∵∵M为AB中点，D为PB中点，∴MD∥AP，又∵MD⊄平面APC，∴DM∥平面APC.(2)∵∵△PMB为正三角角形，且且D为PB中点．∴∴MD⊥PB.又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB.又已知AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面APC，BC⊂面ABC，∴平面面ABC⊥平面PAC.热点之三三线面角与与二面角角的求法法高考中对对直线与与平面所所成的角角及二面面角的考考查是热热点之一一，有时时在客观观题中考考查，更更多的是是在解答答题中考考查．求这两种种空间角角的步骤骤：根据线面面角的定定义或二二面角的的平面角角的定义义，作(找)出该角，，再解三三角形求求出该角角，步骤骤是作(找)―→认(指)―→求．在客观题题中，也也可用射射影法：：[例3]在三棱锥锥P－ABC中，PC、AC、BC两两垂直直，BC＝PC＝1，AC＝2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．．(1)证明：平面GFE∥平面PCB；(2)求二面角角B－AP－C的正切值值．[思路探究究](1)利用三角角形中位位线性质质⇒线∥线⇒线∥面⇒面∥面；；(2)[课堂记录]

(1)证明：∵G、E、F分别为AP、AB、AC的中点，∴GF∥PC，EF∥BC，又GF⊄平面PBC，EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴GF∥平面PBC，EF∥平面PBC，又GF∩EF＝F，∴平面GFE∥平面PCB.(2)解：过C作CH⊥AP交AP于点H，连接BH，∵PC、AC、BC两两垂直，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥AP，又CH∩BC＝C，∴AP⊥平面BHC，∴AP⊥BH，∴∠CHB就是二面角B－AP－C的平面角．即时训练已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面面边长都相等等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦弦值等于()答案：B高考本节内容容主要考查线线面、面面垂垂直的判定和和性质，其中中线面的垂直直是考查的重重点，难度以以中等为主，，高考多以解解答题出现，，且有多问．．从能力上看看，主要考查查学生将空间间问题转化为为平面几何问问题的能力．．所以∠BAC＝90°.又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，所以CD⊥PA，CD⊥AC，又PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.1．(2010·山东高考)