【全套解析】高三数学一轮复习 109 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 （理） 新人教A

第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．3．利用实际问题的直方图，了解正态分布的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的均值与方差(1)均值若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则ξ的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…那么D(ξ)＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做ξ的方差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．(标准差与随机变量本身有相同的单位)(3)若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．两点分布，则Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)．2．均值、方差的性质及应用(1)EC＝C(C为常数)；(2)E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b为常数)；(3)D(aξ＋b)＝a2Dξ.3．正态分布(1)函数(2)正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．1．设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则(

)A．n＝8，p＝0.2

B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45答案：A2．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么(

)A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9DξB．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2答案：A解析：∵Eξ＝μ＝－2，∴E(2ξ－1)＝2Eξ－1＝－5.答案：D4．一个均匀匀小正方体体的六个面面中，三个个面上标以以数0，两个面上上标以数1，一个面上上标以数2.将这个小正正方体抛掷掷2次，则向上上的数之积积的数学期期望________．热点之一求离散型随随机变量的的期望与方方差求离散型随随机变量X的均值与方方差的步骤骤：1．理解X的意义，写写出Y的所有可能能取值；2．求X取每个值的的概率；3．写出X的分布列；；4．由均值的的定义求EX；5．由方差的的定义求DX.[例1]袋中有20个大小相同同的球，其其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中中任取一个个，ξ表示所取球球的标号．．(1)求ξ的分布列、、期望和方方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEξ＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.[思维拓展]在计算离散散型随机变变量的期望望与方差时时，首先要要弄清其分分布特征，，正确求出出分布列，，这是求均均值和方差差的前提，，然后准确确应用公式式，特别是是充分利用用期望和方方差的性质质解题，善善于使用公公式E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，能避免免繁琐的的运算过过程，提提高运算算速度和和准确度度．即时训练练某商场举举行抽奖奖促销活活动，抽抽奖规则则是：从从装有9个白球，，1个红球的的箱子中中每次随随机地摸摸出1个球，记记下颜色色后放回回，摸出出1个红球可可获得奖奖金10元；摸出出2个红球可可获得奖奖金50元，现有有甲、乙乙两位顾顾客，规规定：甲甲摸一次次，乙摸摸两次，，令X表示甲，，乙摸球球后获得得的奖金金总额．．求：(1)X的概率分分布；(2)X的数学期期望．解：摸球的情情形有以以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)．(1)X的所有可可能的取取值为0,10,20,50,60，热点之二期望与方差的的性质及应用用利用均值和方方差的性质，，可以避免复复杂的运算．．常用性质有有：(1)EC＝C(C为常数)；(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)；(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；[思维拓展]1.要掌握简单的的方差与期望望计算．2．公式运用要要严密准确．．即时训练如果X是离散型随机机变量，EX＝6，DX＝0.5，X1＝2X－5，那么EX1和DX1分别是()A．12,1B．7,1C．12,2D．7,2解析：因为E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，由已知可可得EX1＝7，DX1＝2，应选D.答案：D热点之三与二项分布布有关的期期望与方差差当随机变量量X服从两点分分布或二项项分布时，，可不用列列出分布列列，直接由由公式求出出EX和DX.[思路探究]解答该5个问题可以以认为是5次独立重复复试验，答答对问题的的个数ξ服从二项分分布，求η的期望与方方差可通过过ξ与η的线性关系系间接求出出．[思维拓展](1)当求随机变变量ξ的期望与方方差时，可可首先分析析ξ是否服从二二项分布，，如果服从从，则用公公式求解，，可大大减减少运算量量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望与方方差．即时训练某运动员投投篮命中率率为p＝0.6.(1)求一次投篮篮时命中次次数X的期望与方方差；(2)求重复5次投篮时，，命中次数数η的期望与方方差．X01P0.40.62．要记住正态态变量的取取值位于三三个区间内内的概率值值．在求解解实际问题题时，先求求出正态分分布的两个个重要参数数μ和σ的值，然后后结合三个个区间对应应的概率值值进行解答答．即时训练把一正态曲曲线C1沿着横轴方方向向右移移动2个单位，得得到一条新新的曲线C2，下列说法法不正确的的是()A．曲线C2仍是正态曲曲线B．曲线C1，C2的最高点的的纵坐标相相等C．以曲线C2为概率密度度曲线的总总体的方差差比以曲线线C1为概率密度度曲线的总总体的方差差大2D．以曲线C2为概率密度度曲线的总总体的期望望比以曲线线C1为概率密度度曲线的总总体的期望望大2答案：C本节是理科科高考中的的重点内容容之一，题题型以解答答题为主，，考查随机机变量的概概率、分布布列、期望望和方差等等，大多以以实际问题题为背景，，涉及排列列组合、互互斥事件的的概率、相相互独立事事件的概率率、条件概概率等，考考查利用所所学知识解解决实际问问题的能力力．[例5](2010·全国国Ⅱ)如图图，，由由M到N的电电路路中中有有4个元元件件，，分分别别标标为为T1，T2，T3，T4，电电流流能能通通过过T1，T2，T3的概概率率都都是是p，电电流流能能通通过过T4的概概率率是是0.9，电电流流能能否否通通过过各各元元件件相相互互独独立立．．已已知知T1，T2，T3中至至少少有有一一个个能能通通过过电电流流的的概概率率为为0.999.(1)求p；(2)求电电流流能能在在M与N之间间通通过过的的概概率率；；(3)ξ表示示T1，T2，T3，T4中能能通通过过电电流流的的元元件件个个数数，，求求ξ的期期望望．．[解]记Ai表示示事事件件：：电电流流能能通通过过Ti，i＝1,2,3,4.A表示示事事件件：：T1，T2，T3中至至少少有有一一个个能能通通过过电电流流．．B表示事事件：：电流流能在在M与N之间通通过．．＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.(3)由于电电流能能通过过各元元件的的概率率都是是0.9，且电电流能能否通通过各各元件件相互互独立立，ξ～B(4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6.1．(2010·课标全全国)某种种种子每每粒发发芽的的概率率都为为0.9，现播播种了了1000粒，对对于没没有发发芽的的种子子，每每粒需需再补补种2粒，补补种的的种子子数记记为X，则X的