一维不均匀介质中波传播瞬态响应的传输线模型分析(精)

一维不均匀介质中波传播瞬态响应的传输线模型分析Transientanalysisofpropagationinnon-uniformonedimensionalmediumbytransmissionline

method［摘要］本文提出了用传输线模型分析一维不均匀介质中波传播的瞬态响应。这种方法将一维不均匀介质用多层介质近似，并进一步用级联的传输线模型等效。分析的过程是：首先对局限在某一时间段内的输入电磁信号进行傅里叶变换得出其频谱，然后研究该频谱的主要分量在所研究介质中的传播，并得出波传播方向任一截面上瞬态信号的频谱，最后通过快速傅里叶变换得出时域瞬态响应。这种方法适用范围广，数值计算方便，只要离散时间间隔足够小，抽样点数足够大，就能达到一定的精度。［关键词］传输线，傅里叶变换，瞬态响应[Abstract]Inthispaper,thetransientanalysisofpropagationinnon-uniformonedimensionalmediumbytransmissionlinemethodisproposed.Inthismethod,thenon-uniformmediumisapproximatedbymulti-layerdielectricmediaandmodeledasacascadedtransmissionline.Theanalyticalprocedureisasfollows:theincidenttransientelectromagneticsignalisfirsttransformedintothefrequencydomain,thenthepropagationofthemaincomponentsinthespectraisanalyzedbytransmissionlinemethod,finallyFFTalgorithmisusedtofindtheresponseintimedomainofthemulti-layerstructure.Thecalculationiseasyandthehighaccuracycanbeachievedbythismethodaslongasthetimeintervalissmallandthenumberofsampleislargeenough.［Keyterms］:transmissionline,Fouriertransform,transientresponse引言不均匀介质中电磁波传播的瞬态响应在很多情况下可简化为局限在某一时间段内电磁信号对一维不均匀介质的激励。对此问题的分析可直接在时域中进行，如时域有限差分（FDTD门去⑴。瞬态响应的分析也可在频域中进行。首先将瞬变激励信号用傅里叶展开得出其频谱，然后研究频谱的主要分量沿不均匀介质的传播，最后通过傅里叶反变换得到某一截面上波传播的瞬态响应。本文对一维不均匀介质瞬态响应的分析基于频域分析。首先将一维不均匀介质用多层介质近似（在每一层介质内，介电系数是均匀的），并将该多层介质系统用级联的传输线等效。这样一维不均匀介质中波传播的瞬态响应就简化为传输线瞬态响应的研究。与传统方去相比［2~5］，这种方去的优点是：物理概念清楚，数值处理具有通用性，激励信号垂直投射、倾斜投射均可处理。如果非均匀平面波用平面波展开，也可处理点源激励的情况。对于高斯微分脉冲垂直投射单层介质的瞬态响应，本文数值模拟结果与文献［6］频域中计算的结果一致。本文还给出了激励脉冲倾斜投射到单层、多层介质情况下瞬态响应的数值模拟结果，其结果表明传输线模型分析一维不均匀介质波传播的瞬态响应是行之有效的。分析模型一维不均匀介质可用图1.a的多层介质模型近似，其相对介电系数沿z轴的分布表示为:r8rI8r18r2r8rI8r18r2Z<00<z<z1z<z<z121）8Z<Z<Zrn n-1 n8 Z>ZrIII n式中下标I、III、1、2、…、n分别表示属于区域I、III以及区域II中第1、2、…、n层介质中的量，d为区域II中第n层介质的厚度，如图1.a。式（1）表示在z<0的区域In与z>d的区域III,介质是均匀分布的，其相对介电系数分别为8厂8”，在0<Z<Z的区rIrIII n域〃，有n层平板介质，在每一层内介质是均匀的，介电系数为常数，但在相邻两平板介质的交界面，介电系数发生跳变。图1.（a）多层平板介质；图1.（a）多层平板介质；（b）传输线等效电路。IIIIIIerlE0er2e0设以波矢kl为特征的入射平面波（TE或TM），从区域I以0角倾斜投射到图1.a所示多层介质系统。选择本征坐标系使波矢k只有两个分量，k二kX+kZ。则对于TE模,x0z0电场只有E分量，磁场有H、H两个分量；对于TM模，磁场只有H分量，电场有E、yxzyxE两个分量。取z为纵向，根据波传输的传输线模型刀，E、H（对于TE模）或E、H（对z yx xy于TM模）沿z轴的传输可用级连传输线（见图1.b）电压、电流的传播等效。其等效传输线的特性阻抗和传播常数为：kkzi—z—rikkzi—z—ri0Z=1/YZ=1/Y=<iiTM模TOC\o"1-5"\h\zk2二k2—k2 ⑶ziixik2二⑷2皿£ ⑷i ri0下标i二I,III,1,2,…,n表示相应介质层中的量。无论是区域I、III还是区域II，x方向边界条件相同，在x方向场按e-jy变化，并且各个区域x方向传播常数k要求都相等（也即斯奈尔定律）：k二k二k二k二k二…二k二ksin0 （5）xxIxIII x1 x2 xnI因此，第i节传输线的传播常数k.为i k= \；k2—k2 =:k2£ —k2sin20 i二I,III,1,2,…,n （6）zi i x 0riI介质交界面切向场量E、H连续导致交界面等效传输线电压、电流的连续。这就是图yx1a的多层介质系统就波的纵向（z方向）传播而言，可用级连的传输线等效的根据。计算公式若记Z（z）为从z二z处沿入射方向往右看过去的输入阻抗。则z二z处的输入阻抗ini i i—1可以由传输线阻抗变换关系得到：

Zn(Zi丿=■Z(z)+jZtg(k(zZn(Zi丿= in i i zii i—1 iZ+jZ(z)tg(k(z-z))i ini zii i—1区域III趋于无穷远，其等效传输线III也趋于无穷远，z=z处输入阻抗Z.(z)即区域III的ninn特征阻抗乙(z)=Z"。根据公式(7)层层计算可以得出z=0处的输入阻抗Z(0)。由此得i III i到z=0处反射系数rS-丿为I(0—)(0—)=Z(0)—Z Y-Y(0)in丿、 II in/、Z(0)+ZY+Y(0)in I I in8)计算波的透射特性可以通过传输线上电压、电流关系依次推出各级传输线的电压、电流值。由此可以得到透射到介质III中的波。具体推导见文献［7］，这里只给出推导结果。z=z+n的透射系数为Tiii(zTiii(z+)=Vi(z=z+)TH n-Vi(z=0-)I=(1+r(0-))HIi=1(1+r(z-))emzi-zi—1)i1+r(z—)e—2jkzi(zi—zi—1)ii9)(10)11)E(o(10)11)E(o)=0+gJE.(zy=0,t)e-购dt12)瞬态场入射平面波采用文献［6］的定义方法来实现，利用傅里叶变换，激励瞬态电磁信号可展开为:E.(x,z,t)=e—yEi(z,t)yyE.(z,t)=—fE )ej3—kz)d①y 2兀 0—g式中—g为z=0处激励瞬变场的频谱，其各个频谱分量的电场都是y方向极化，且只随z方向变化的函数。由于多层介质结构为线性系统，利用式⑻、(9)和(11)可以得出在z<0区域的反射波以及z>d处透射波的瞬态响应，用逆傅里叶积分表示为：Er(Er(x,z,t)yE(o)r(0—)ejotejkzze—jkxxdo0Izx13)—gEt(x,z,t)=—fE(o)T(z+)ej«te-jkzze-jkxxdo (14)y 2兀 0 IIIn—g在实际工程应用中并不需要求出其解析解，因此可以绕开文献［6］中求积分的方法，而采用FFT可以方便的求出入射波信号的瞬态响应波形，只要抽样时间间隔At取足够小，抽样点数n足够大，数值模拟的结果就越接近理论值。数值模拟【例子1】为了比较，采用文献［6］中所示例子，入射平面波为高斯函数的一阶微分信号f(t),参数a=10,b=1如式(15)所示，垂直入射到放置在空气中的单层平板介质上，介电参nd数为£=1£=9£ =1,介质厚度d满足二T,其中C为光在真空中传播速度，T为IrIIIc光在平板介质中的单程传输延迟。所有时间t都已用T归一化。f(t)二4b)e一皿2=2ab{—te-at2} (15)dt由于入射波在t|>4T时几乎为零，可以对t在［-4T,16T］时域段的波形进行抽样，抽样时间间隔At=0.02,抽样点数N=1000,瞬态响应结果示于图2中，与文献［6］求解的结果吻合的很好。其中图2(b)中的实线是文献［6］的解，点线以及(c)中的透射波是本文的解。从图中看到，第一个透射波延迟时间为T,第二个透射波延迟时间为3T,…依次类推，第一个反射波为入射波直接在交界面处反射，没有延迟，但相位反向，第二个反射波延迟2T,第三个反射波延迟4T,...第二个以后的反射波相位与输入波相位相同。后继的反射波、透射波依次n-2d—比前一个反射波、透射波多走一个来回，所需时间为t 二2T，幅度逐渐减少。如果c入射波脉冲变宽，超过波在单层平板来回反射一次所需的时间2T,则反射波、透射波第一、第二个波峰将交叠在一起，具体可参见文献［6］.(a) (b) (c)图2.(a)入射波；(b)反射波；(c)透射波(数值解)图中横坐标为时间轴t(单位：T),纵坐标为振幅【例子2】对于上面例子进行单层平板倾斜投射情况的模拟，设入射角为9=45。，入射信号参数为a=40,b=1。对［-4T,16T］段的波形进行抽样，抽样时间间隔At=0.01，抽样点数N=2000，为便于比较，其瞬态响应的结果与垂直投射的情况一起示于图3中。图(b)、(c)中实线是45。投射的结果，虚线是垂直投射的结果。从图中看出，由于倾斜投射时介质板对不同频率的波相位延迟不一样，产生色散，因此除第一个反射波只是相位与入射波反向外，其他的反射波以及所有的透射波都因为介质板中波传播的色散效应而使波形、相位发生改变。纵坐标为振幅。...：0度投射，－：45度投射。【例子3】对文献［8］所示的薄膜滤波器进行瞬态分析，其介电参数沿 z轴分布为：£££££££££££，其中区域I和III为空气介质*=* =1，区域II为£和ILHLHLHLHLIIIIIIIL£依次父替的9层滤波器结构，£=2.20(1—j0.0009),£=10.5(1—j0.0023)，九层HLH的厚度依次为：d二d二3.139mm，d二d二0.55mm，d二d二1.269mm，1 9 2 8 3 7d二d二0.497mm，d二1.666mm。对TE模入射波是一个中心频率为f二40GHz的4 6 5 0带阻滤波器，如图4(a)所示，假设入射波为高斯脉冲调制的正弦波信号，以25。入射角入射,其中心频率为f,频谱宽度为0.2人,频谱如图4(b)所示，其相应的时域波形如图5(a)所示。由于入射波频谱刚好落在滤波器带阻范围内，计算结果应该没有透射波。根据本文提供的方法计算，时间间隔取At=0.5/f0(s),采样点N=2000，其反射波和透射波如图5(b)、(c)所示，其中透射波幅度很小，在时域瞬态图中表现了滤波器带阻的功能。时间(ns) 时间(ns) 时间(ns)(a) (b) (c)图5•高斯脉冲调制正弦信号的时域瞬态响应(a)入射波；(b)反射波；(c)透射波。图中横坐标为时间轴t(单位：ns)，图中只显示t在［0,2.5ns］的值。纵坐标为振幅相对值。由以上几个例子可以看出，反射波、透射波波形与入射波有很大差别。其原因是经过介质〃不同谐波分量所经过的反射系数、透射系数及相移是不同的。对于不同的角度入射，由于多层介质纵向波数和特性阻抗改变引起滤波特性不同，因此反射波和透射波波形也不相同。结论本文采用传输线模型与FFT相结合的分析方法对一维不均匀介质中波传播的瞬态响应进行分析。通过对不均匀介质离散得到的多层介质进行推导和计算，结果表明，只要采样时间间隔足够小，采样点数足够多，误差就能控制在所要求的范围内，在实际工程应用中，这种方法在处理一维不均匀结构的波传播的瞬态响应是行之有效的，传输线模型分析二维不均匀介质中波传播的瞬态响应也是可能的。参考文献BuiM.D.,StuchlyS.S.,CostacheG.I.,“Propagationoftransientsindispersivedielectricmedia”,IEEETrans.OnMicrowaveTheoryandTechniques,vol.39,pp1165-1171,Jul.1991.M.N.MorsyandW.K.Kahn,“Anovelsummationapproachintechniquetofindthetransientresponse,”IEEETrans.Electromag.Compat.,vol.38,pp.542-545,Aug.1996.D.K.Cheng,FieldandWaveElectromagnetics.Reading,MA:Ad