第一章 地球的形状和重力场(给学生)

第一章地球的形状和重力场专业：地球物理学主讲教师：张美玲教授联系电话录概述

位论简述地球的重力场重力校正和重力异常重力异常场异常的划分与识别重力资料的地质解释及应用实例

固体潮基本概念平均海平面在重力作用下是一个等位面，即是说，这个面上的重力位各处都是相等的。重力等位面：地球重力位相同的点在空间构成的曲面。重力等位面有两个重要的性质：一是在重力等位面上移动单位质量时，重力不做功；二是两个等位面之间的位差是个常量。

基本概念德国的大地测量学家利斯廷于1873年创立了大地水准面概念。定义是：假设海水面处于静止平衡状态下，将其延伸到大陆下面，构成一个遍及全球的闭合曲面，这个曲面就是大地水准面。即大地测量学中所谓的地球形状。大地测量学中所谓的地球形状是指平均海面所定义的一个封闭理论曲面的形状。大地水准面也常被称为海拔面或大地水准参考面。基本概念地球的形状就是指大地水准面的理由是：大地水准面与占地球面积71％的平均海水面重合，与地球自然表面非常接近；大地水准面具有水准面特性，处处与铅垂线正交，而测量仪器是用水准器整平，用垂球对中的，所以，大地水准面是测量作业的基准面；3.海水面是实际存在的，与世界上沿海国家都发生联系，通过验潮取平均值就可获得平均海水面的位置。

大地水准面虽然比较平滑，但仍是一个极不规则的曲面。要确定这样的曲面，可以分两步走：1）首先确定一个和它同重力位而又最逼近的旋转椭球面——扁球面，又称作参考扁球面。这个参考面的形状简单、有规则，便于计算。2）然后确定大地水准面与这个扁球面的偏离。实测表明，大地水准面与参考椭球面的最大偏离不超过地球半径的十万分之一。即637×0.1≈63.7m。基本概念1924年，国际间选定一个扁球面作为参考面，以后在1967年又修订了一次。这个选定的参考椭球面的参数是：长轴a=6378160m(637万米)；扁率f=(a-c)/c=1/298.247也许有人认为选取一个三轴椭球面作为参考面更逼近一些，但这样做对实际精度的提高改善不大，且计算上却复杂得多了。参考椭球面：与大地水准面重力位相同且又最逼近的旋转椭球面——扁球面，该球面是一个重力等位面。按照位论的定理，这个面上任一点的重力值是可以计算的。这样得到的重力表达式就是所谓的国际重力公式。基本概念实际上，大地水准面在海洋上与平均海面重合，但在大陆地区，它的一部分可能切入地下。因此从全球来看，大地水准面并不是完全包在地球外面，而在某些地方却覆盖着少量的地球物质。地面上的实际重力值：是地球引力、自传离心力、地球天体引力之和。前两者几乎是恒定的，强度也比第三者强。前两者是测量点位置的函数。第三者主要是日月的引力，这个引力随时间变化，是地面上的重力有一个微小的时间变化，因此是测量点位置和时间的函数。固体潮：地外天体的引力不但产生重力的时间变化，而且使地球发生形变。这种变形在海洋上表现为普通的潮汐现象；在陆地上和海底则称为固体潮。正常重力值：以参考椭球面为模型，建立地球重力的理论表达式，即所谓的国际重力公式。根据这个公式所计算的重力值，称为正常重力值，是重力测量的标准。重力异常：实测的重力值减去正常重力值之间的差异。在小区域的重力测量中，常选取一个合适地点的重力值作为标准，不必按重力公式去计算。重力异常分布与地下物质的密度分布有关系。研究重力异常在各种地球物理现象中的意义是重力学的任务。§1.1位场理论基础§1.1.1质点的引力场及引力位

§1.1.2地球的引力场、引力位和大地位§1.1.3地球的离心力场及离心力位§1.1.4地球的重力场和重力位§1.1.5地球重力等位面和大地水准面、垂线和正高矢量分析复习一、矢量和标量的定义1.标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、电场等如：温度T、长度L等矢量：.模的计算：.单位矢量：.方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：

在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。三、矢量微分元：线元，面元，体元例：其中：和称为微分元。1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：四、标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。以温度场为例：热源等温面b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：2.标量场的梯度a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为计算：在直角坐标系中：所以：梯度也可表示：在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：3.散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。

b.表达式：c.散度的计算：

在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场表示为：该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：4.散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式六、矢量场的旋度1.环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。2.旋度:定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：其中：为x方向的环量密度。旋度可用符号表示：其中：可得：同理：所以：旋度公式：为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似的，可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式：对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。在圆柱坐标系中：

在球坐标系中：

在广义正交曲线坐标系中：

2.拉普拉斯算子

在直角坐标系中：1.1.1质点的引力场及引力位式中，为质点作用于点处单位质点上的引力，为方向的单位矢量，为引力常数，负号表示吸力方向。p(x,y,z)r´Or0f(r)图1-1质点dm的引力场根据牛顿万有引力定律，位于空间任一P′点的质点dm作用在P点单位质点上的引力指向P′点，它的大小与dm成正比，与两点间距离的平方成反比，即（1-1）为直角坐标系的三个坐标轴方向的单位矢量。这样，可以把（1-1）式写成（1-2）（1-3）（1-4）dm单位质点p′(x′,y′,z′)三个分量：（1-5）由于引力场是一个保守力场，并可以证明位于点的质点在点产生的引力等于标量函数在点的梯度，引入矢量微分算符，即（1-6）引力及引力场推广到体积分布令

则引入标量则假设dm的体积忽略不计则满足此方程的解为规定时，，所以。于是有（1-7）标量函数称为位于P′

点的质点dm

在P点产生的引力位。引力位在P点的梯度等于dm在P点产生的引力。引力位标量质点dm在P点的引力位沿某一方向的方向微商等于该质点在P点产生的引力在该方向上的投影。用表示引力位在P点沿n方向的微商，则有（1-8）证明令P点在坐标系中的位置为(x,y,z),P点的矢径表示为V0V0+dV1.1.2地球的引力场、引力位和大地位如图1-2所示，选取直角坐标系，坐标原点O点选在地球的质心，Oz沿着地球的旋转轴，在地球的赤道平面内，由（1-7）式，地球在空间内任一点P(r)产生的引力位为PxyzOr0r´P´图1-2地球在空间任一点P产生的引力位，

P′为地球内部任一点若将地球作为一个质量体，P为空间一点，考虑地球在P点产生的引力及引力位（1-7）（1-9）

式中，为地球在点的密度函数；为P′点处积分体积元，积分遍及整个地球。于是地球在空间P点的引力为地球引力位在该点的梯度，即（1-10）①若P点在物体(或地球)之外，令不能为零。因为为有限值，故积分（1-9）为收敛的，可在积分号下求导数xOrr´P´r引入拉普拉斯算子用分别代替，则有同理,可以证得

称为拉普拉斯方程,其解称为调和函数或谐函数围绕P点作一小球面σ，其半径为。取球面上一点P′。令点P′由小球外物质所产生的力位为，则令P′点由小球所产生之力位为，则Pεσr②若P点在物体(或地球)之内，则地球在该点产生的力位满足泊松方程,其解为谐函数与一特解之和。即证明:因物体是一个质量为ρ的有限体,积分收敛。令该有限体的包裹面为Σ，ΣP′为P点的密度。（1-12）即在物体之内，力位V满足泊松方程。引入因而有（1-13）有（1-14）当，，，故说明地球在其外部空间产生的引力位满足拉普拉斯方程，在其内部满足泊松方程。地球在其外部空间产生的引力位称大地位。令不变,关于求微分,得，方向长度为例1：求一均匀球体对其外任一点P产生的引力位。设球体的半径为R，密度为，P点与球心O的距离为h（图1-3）。若利用球极坐标（，，），求P点的力位。图1-3均匀球体引力位示意图解：设为球体上任一小长方体，其中为方向的厚度，方向长度为利用余弦定理则引力位公式变为M是球体的总质量。若球体不是实心的而是一个同心球层，其内半径为，外半径为，则上式改为此时M是球层的质量。以上两式表明：一均匀球体或均匀球层在其外一点所产生的引力位等于将其全部质量集中于球心所产生的引力位。若球体或球层并不均匀，但密度只是r′的函数，这个结论显然仍是正确的。以上结论十分重要，因为它说明，不同的密度分布可以产生相同的引力位。例2：任一有限物体在远处的力位。取任一点O为原点，P为体外远处的任一点。物体在P点所产生的力位为Srr’Pθ任意球体引力位示意图为物体上任一小个体与质心的距离;S为与P点的距离解:令为P与质点O间的距离;令利用泰勒级数展开所以，若取O点为物体的质心，则易见而误差降低为。故对一有限物体M为物体的质量，A、B均为有限值。当r极大时，其误差的数量级为上式是位函数的主要性质。这样的函数不仅在重力场的理论中要遇到，而且在许多物理部门中，如电磁学，流体力学，弹性力学，热传导等等问题中也是常常遇到的。总结1。一有限物体对其外一点产生的力位满足拉普拉斯方程，其解为调和函数或谐函数。2。一有限物体对其内一点产生的力位满足泊松方程，其解为谐函数与一特解之和3。一有限物体产生的力位与其自身的质量成正比，与点的距离成反比，无穷远处为零。距离与力位的乘积为一常数。1.2.3地球的离心力场和离心力位如图1-4所示。选取直角坐标系与地球固定在一起，P（r）为地球上的任一点，由于地球自转，P点处单位质点的惯性离心力为（1-20）式中，为地球的自转角速度矢量；r为P点的径矢，（1-21）xyzOθrqPω图1-4地球的离心力场为地球在点产生的离心力在重力测量中，矢量常简称为地球在P点产生的离心力矢量，其值为：（1-22）（1-23）（1-20）式也可写成（1-24）引入标函数Q（r），可以证明Q（r）的梯度等于地球在P（r）点产生的离心力q（r），有（1-25）（1-26）Q（r）称为地球在P点产生的离心力位，同样可以证明离心力位沿着任意方向的方向微商等于离心力在这个方向上的投影。有（1-26）式，可以求出离心力的拉普拉斯公式为（1-27）1.1.4地球的重力场和重力位

地球是一个具有一定质量、两极半径略小于赤道半径且按照一定角速度旋转的椭球体。如果忽略日、月等天体对地面物质的微弱吸引作用，则在地球表面及其附近空间的一切物体都要同时受到两种力的作用：一是地球所有质量对它产生的吸引力；二是地球自转而引起的惯性离心力，此两力同时作用在某一物体上的矢量和称为重力，见图1-5。图中z为地球自转，为余纬度。点为地球的质心，有矢量场称为地球的重力场。r-p点的径矢；g(r)-p点的重力矢量；f(r)-p点的引力矢量；q(r)-p点的惯性离心力矢量；-地球自转角速度矢量图1-5地球的重力场地球的引力场决定于地球内部的密度分布，而地球内部的密度分布是不规则的，因而地球的引力矢量不指向地心，其大小随地面点位置的不同而变化。惯性离心力矢量决定于地球的自转角速度和P点在地球上的位置，一般把地球的自转角速度看成一个常矢量，所以地球的离心力场是一个规则的力场，因而地球的重力场是一个由地球内部密度分布及其绕轴自转角速度决定的力场，它是P点位置的不规则的矢量函数。重力矢量的模简称为重力，即（1-29）在重力学中，简称重力，重力的量纲与加速度相同，在SI单位中它的测量单位是。由于单位太大，重力测量单位采用g.u.（gravityunit），。在CGS单位中，为了纪念伽利略（Galileo），重力测量中采用Gal（伽）、mGal（毫伽）等单位，Gal与SI单位的换算关系是：

在CGS单位中，为了纪念伽利略（Galileo），重力测量中采用Gal（伽）、mGal（毫伽）等单位，Gal与SI单位的换算关系是：（1-30）地球在P点的引力位V（r）和离心力位Q（r）的和称为地球在该点的重力位W（r），即（1-31）将式（1-7）和（1-26）式代入上式，得（1-32）由重力位的定义，地球在P点的重力等于地球的重力位在该点的梯度，即（1-33）地球的重力位在P点沿着任一方向的方向微商等于重力在这个方向上的投影（1-34）根据（1-16）和（1-27）式，地球重力位W（r）满足下列方程：

1.2.1等效层定理及解的唯一性问题

一、等效层定理

设有一物质分布，其表面为S，见图1-10。求面外一点P的力位。设、为可微分函数，则满足格林公式：（1-39）令，r是由P点到空间任一点的距离，体积分延展到S以外的全部空间。因在P点，r=0，故可取一小球面包围P，取一大球面包围S和，积分在之内，但在S与之外的空间进行，最后则令趋于无限，趋于零。代入（1-39）SPεΣ图1-10适当面积分布存在于物体表面上故物体在其外一点所产生的力位和在其表面上取一适当的面积分布所产生的力位等效，称作等效层定理。

SPεΣ图1-10适当面积分布存在于物体表面上若V为一位函数，则当无限大时，，当时，，故化简后，得（1-40）n为S的向外法线。若在S以外，无物质分布，则，上式化为

（1-41）PSV=V。图1-11适当面积分布存在于物体表面外以上两式称为格林公式。故物体在其外一点所产生的力位和在其表面上取一适当的面积分布所产生的力位等效，称作等效层定理。由这个定理还可引出一个有意义的结果：设S是物体之外的一个等位面：，P点在S之外，图1-11。由式（1-41）

利用位场理论公式此式右端第一项等于零。故（1-42）S是一个等位面。此式称为沙斯尔（Chasles）定理，它表明在计算力位时，任一物体可以用它的任一外部等位面上的适当单层分布所替代。

二、唯一性定理和狄利克雷问题在物体之外，引力位满足拉普拉斯方程。在一定条件之下，拉普拉斯方程只有一个确定的解。因此若用任何一个方法得到一个解，而这个解又满足所给的条件，则这个解必然是正确的解。讨论谐函数唯一性的条件是位论的重要课题之一。设所有质量都位于S曲面之内。故在S外，引力位V是一个谐函数，即。代入格林公式（1-43）并令，则（1-44）

现在要证明：若S面上的V值分布为已知，则S面外的V值即完全确定，即V只有一个解。因为如果不是如此，则可假定V尚有其他一个解V′。V和V′都满足拉普拉斯方程并在S上具有同值。令。则在S上，U=0，代入上式则故U=常数。因在S上,U=0，故U恒等于零，而所以V的解是唯一的，即是说，若V是谐函数，它在S以外的解可以由它在S上的给定值完全确定。由谐函数的边界值来确定这个函数称为狄利克雷（Dirichlet）问题，或称为第一边界值问题。同样道理，若S面上的是给定的，则仍有

U=C，但未必为零，故，即S外的力位最多相差一常数。给定边界上的法向导数来确定一谐函数，称为第二边界值问题，或称为诺依曼（Neumann） 问题。若在S上，给定V及的线性组合，，h及K为同号，则在S外，值完全确定；不然的话，仍令，则在S上，，仍代入（1-43）中，得上式左端不能为负，右端不能为正，故。从而。这称为混合边界值问题或称为第三边界值问题。在地球重力场的研究中，这三种边界问题都是会遇到的。

1.2.2拉普拉斯方程的解

（1-45）用分离变数法，设代入（1-45），得

第一项是r的函数而后两项则是的函数，故只能有（1-46）（1-47）K是一个参数。式（1-46）的解是（1-48）A、B是两个任意常数，。将代入（2b），得（1-49）此式的解可以写为。故

（1-50）V称为球谐函数，写成式（1-50）的形式，则称为立体球谐函数。是的n次多项式。称为n次面谐函数，它只和球面上的坐标有关系，它与r无关。拉普拉斯方程的一般解可由上式叠加而成，即（1-51）根据以上的定义，可以得到以下一条定理：若V是一个n次的球谐函数，则也是一个球谐函数，它的次数是。因为V可以写成的形式，所以由式（1-50）可见它也是一个球谐函数。根据这个定理，若在球内某一点的力位为已知，则在同一向径上的球外一点的力位可以立刻写出来。

将一球面函数展开成面谐函数的级数时，面谐函数的正交归一关系极为重要。求解方程（1-49），给出面谐函数的具体形式。仍用分离变数法，代入

（1-52）得，该形式的方程称为连带勒让德方程L是一参数。令，则上式是简谐方程，其解是（1-53）是任意常数。代入前式，得

（1-54）若令，则上式可化为（1-55）式（1-54）或（1-55）是的二阶常微分方程，它有两个独立的级数解，都和参数n，m有关系。最重要的情况是n，m都是正整数或零，而且，其中一个解常用符号或表示，称为第一类连带勒让德函数；第二类连带勒让德函数则用或表示，但较少应用。由式（1-52）得（1-56）

（1-57）由式（1-50）得（1-58）都是任意常数。这是谐函数V最一般的解，各常数可以由边界条件来确定。当然，V也可以用来表示，但此处从略。若是力位在一球面上（球面半径为）的值，显然当P点在球面之外，即当时即当时§1.2.6

地球形状和正常重力场1、地球椭球由于地球内部质量分布不均匀，使得大地水准面的形状也是一个不规则的曲面，但是，地球从总体上来说处于流体平衡状态。地球的大地水准面接近旋转椭球面，选择适当参数的旋转椭球作为真实地球的模型称作参考椭球，参考椭球选定后，大地水准面相对参考椭球面的起伏不超过110m。构造地球模型，确定一个重力场使它满足以下的条件：

1）它必须等于引力场与离心力场之和。

2）它的一个等位面必须是一个旋转椭球面，其对称轴与旋转轴重合。

3）质量等于地球总质量，且产生引力位的所有质量都在椭球面之内。

4）引力位必须满足。这种地球模型（正常场地球模型）在其表面和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场。而真实地球（大地水准面包络的地球）与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生的重力场的差值称为地球在该点产生的重力异常场。2、正常重力场引入直角坐标系，坐标原点在旋转椭球的中心，沿其极半径，在赤道平面内，则旋转椭球面的方程为式中，分别为旋转椭球的赤道半径和极半径；为旋转椭球的椭圆率（扁率）。地心至点的径矢与水平轴之间的夹角称为点的地心纬度。P正常场地球模型的赤道半径、极半径、扁率、总质量和旋转角速度惟一地决定了旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。旋转椭球面是正常场地球模型的一个重力等位面，对旋转椭球面上的重力位沿其内发现方向求微商，就可以求出正常场地球模型在参考椭球面上的正常重力分布。用和分别表示赤道上和两极的正常重力，表示正常场地球模型的重力扁率，它等于两极的重力和赤道上的重力差与赤道上重力的比值，即索米格兰纳（Somigliana）根据重力位公式直接导出正常重力公式的一般形式为：式中，值约为，约等于赤道上的离心力与地球重力的比值，它的量级与旋转椭球的扁率相等，约为。从（3-47）式看出，重力扁率和旋转椭球的扁率有如下关系称为克雷绕（Clairant）定理。正常场地球模型有四个独立参数：地心引力常数，参考椭球的赤道半径、扁率和旋转角速度，给定这四个参数，可以求出赤道上的正常重力和两极的正常重力，根据上述式，可以计算出地球参考椭球在它表面上的重力分布。国际大地测量和地球物理联合会于1979年通过了1980参考系相对应的正常重力场地球模型的参数和导出的物理参数为与1980大地参考系相对应的正常重力公式为与1980大地参考系相对应的平均重力目前我国勘探部门使用的是1901年赫尔默德正常重力公式为式中，B表示大地纬度，它与地理纬度之间的关系为，为极半径；为赤道半径。

实际观测表明，真实地球的重力场与正常重力场相差甚小，研究这个差异部分比研究整个重力场方便得多，研究这个差异部分也就研究了整个的地球重力场。3、大地水准面的形状和垂线偏差地球与正常场地球模型的密度分布上的差异，一方面使得地球在空间任一点的重力位与正常场地球模型在该点产生的重力位有偏差，这个偏差称为地球在该点的扰动位，即图1-15大地水准面高度示意图AA2W(A)=W0U(A)=当A点恰巧落到大地水准面上时T(S)=γ（A2）N3、大地水准面的形状和垂线偏差另一方面使得大地水准面相对参考椭球面发生起伏，地面上某点重力矢量方向与该点正常重力方向之间有一个夹角，这个夹角称为该点的垂线偏差。垂线偏差是一个矢量，它有偏差方向和大小。用ξ（A1）表示它的南北分量，向南为正；用η（A1）表示它的东西方向分量，向西为正。两点之间的数值的差称为A1点的重力偏差如图所示，为地面点在大地水准面上的投影，为在参考椭球面上的投影，为点的大地高程，为点的正高，为点的大地水准面的高度（点处大地水准面与参考椭球面之间的距离），或称为大地水准面的起伏。点的大地高程等于点的正高和之和，即3、大地水准面的形状和垂线偏差地面大地水准面参考椭球面大地高程（AA2）；大地水准面的高度（N）；正高（H）大地水准面上点的扰动位等于（3-53）式中，为地球在点的重力位；为正常场地球模型在点产生的重力位。由于大地水准面上的重力位等于正常重力位，即，在旋转椭球面上，旋转椭球面上的重力位与大地水准面的位相等，因而有将上式代入（3-53）式，有（3-54）（3-54）式表明，大地水准面上A1点的扰动位T(A1)实际上等于A2、A1两点的正常重力位的差。图1-15大地水准面高度示意图A1A2令大地水准面上P点的重力与其对应于参考面上Q点的正常重力差称为P点的重力异常。定义此式称为布容斯公式但又有在下列公式中，W以及U都不是谐函数，因为它们都包含离心力位，但T是质量重新分布引起的，则有参考面的扁率是e≈3×10-3。若将它看成球面，则N,T,等量的相对误差不过3×10-3

。N的值不超过百米，所以它的误差不超过一米。如果这个误差是在允许的范围之内，则在地面上，球面半径可用椭球面的平均半径R来替代，即，值可用椭球面上的平均值来替代，于是得

(1-129)

(1-130)上二式是球面几近公式§1.3重力校正和重力异常自由空气校正和自由空气重力异常布格校正和布格重力异常地壳均衡模型、均衡校正和均衡重力异常

重力测量是在地球的自然表面上进行的。地面上的重力值随时间和地点而变化，其测量值受到两种因数的影响，一是观测点至大地水准面的距离，二是地形质量。为了便于对不同观测点进行比较，需要对地球自然表面上的重力观测值进行必要的校正。在地表某一点的重力异常值（∆g）就是重力观测值（g）通过外部校正（δg）后，与该点正常重力值（γ）的差值，即

（3-56）地面上的重力异常分布是研究地球形状和地球内部结构的根据，不同的异常用于不同的研究目的。§1.3.1自由空气校正和自由空气重力异常如图所示，为地球表面上的任一点，和为与点相对应的大地水准面上和参考椭球面上的点。假若地球的地形表面与大地水准面之间不存在质量，则点的重力观测值与大地水准面上相对应的重力值之间的关系为（3-57）

称做点的自由空气校正，于是（3-57）式可改写成式中，为地球在点的重力垂直梯度；为点的正高。令（3-58）

（3-59）即与点对应的大地水准面上点的重力值等于点的重力观测值与自由空气校正之和。地球在点的重力垂直梯度是未知量，一般用正常场地球模型在A点的重力垂直梯度代替真实地球的重力垂直梯度，即将1980大地参考系相对应的参考椭球面上的重力垂直梯度值代入（3-58）式，得出自由空气校正，即式中，h以m为单位。若不考虑离心力，分层均匀的球状地球模型在其外部的重力式中，为地球的地心引力常数，可得出分层均匀的球状地球模型在其表面上产生的重力垂直梯度，即式中，R为地球的平均半径；g0为地球的平均重力。将kM和R的数值代入上式得当A点的正高h较小时（不超过9km），可以认为正常场地球模型在A点的重力垂直梯度与分层均匀的球状地球模型表面的重力垂直梯度相等，即于是由（3-58）式得对A点的重力观测值作自由空气校正后，得出与A点相对应的大地水准面上A1的重力值g(A1)，g(A1)与其在参考椭球面相对应点A2处的正常场地球模型的正常重力值的差称为A点的自由空气重力异常1.3.2布格校正和布格重力异常地面观测点的重力观测值包括地形表面和大地水准面之间的地形质量对该点产生的引力的垂直分量。为了从重力观测值提取有关地球内部异常质量分布的信息，必须考虑地形质量对地面重力观测值的影响。在研究分析局部地区重力测量结果时，把参考面取为平面，远区地形质量对测区的重力影响视为常量。观测点A的布格校正包括局部地形校正和中间层校正两部分，即如图3-13所示，MAN为过A的水准面，A点的局部地形校正等于地形表面和水准面MAN之间的地形质量在A点产生的重力影响。Ⅰ区的多余地形质量和Ⅱ区的空缺地形质量都是使A点的重力观测值减小，因而A点的局部地形校正值总是正值。大地水准面参考椭球面计算观测点的局部地形校正时，需要有测区的地形图。将绘有同心圆和半径的透明纸放在地形图上（图3-14），使圆心和测点重合。还采用如图3-15所示的柱坐标系，将坐标原点置于A点，Az轴反重力方向垂直向上，则地形质量元对A点的重力影响（引力的垂直分量）为还采用如图3-15所示的柱坐标系，将坐标原点置于A点，Az轴反重力方向垂直向上，则地形质量元对A点的重力影响（引力的垂直分量）为式中，ρ为地形的密度。对于内半径为ri、外半径为ri+1，相对中心点A的下底面高度为h1、上底面高度为h的空心柱状地形，在A点产生的重力为用的圆环和等间距的射线将过点的水平面分割成扇形，用高度等于常数的空心扇形柱体的组合逼近点周围的地形，由（3-71）式，高度为的第个空心扇形圆柱体在点产生的重力影响为当时，有（3-71）（3-72）（3-70）A点的局部地形校正为

（3-73）式中，P为圆环个数；n等于圆环内的扇形个数。计算局部地形校正需要计算三重数值积分，现在都在计算机上完成。（3-70）根据根据（3-70）式，当时，得出厚度等于h的水平板在点产生的重力影响是式中，为地球的平均密度；为地球的平均重力；为地球的平均半径。A点的中间层校正大小等于介于过A的水平面和大地水准面之间的平面层在A点产生的重力影响。在陆地上中间层校正为负，在海上为正。在大陆上在海洋上式中，为海水的密度；为点的海水深度。这样，A点的布格校正为A点的重力观测值经自由空气校正和布格校正后与其在参考椭球面上A2点正常重力的差称为A点的布格重力异常，即（3-77）若将地表附近岩石的密度取为，地球的平均密度取为，则有（3-78）式中，h单位为m。（3-78）式表明，陆地上的中间层校正的大小约为自由空气校正的三分之一，但符号与其相反，中间层校正使自由空气校正的影响减少了三分之一。§1.3.3地壳均衡模型、均衡校正和均衡重力异常一、均衡模型1740年布格（Bouguer）在南美的基多（Quito）测量摆的周期时，发现山脉处测得的引力比起海水面测得的引力要小。后来在一座山旁测量垂线偏差时，其测量结果也比预期的小得多。1854年英国人普拉特（J.H.Pratt）在整理喜马拉雅山附近的垂线偏差测量记录时，发现比计算的垂线偏差值小。20世纪初的大量重力测量结果表明，山区的布格重力异常是负的，山脉越高，其负值越大，海洋地区是正的，海洋越深，其正值越大。20世纪初的地震资料也表明，在地球的表层有一密度间断面，即莫霍界面，山脉下莫霍界面深，海洋下的莫霍界面浅，可推测，在地球的表层存在着与地形有关的补偿质量，为了计算补偿质量对观测点重力的影响，必须对补偿质量的形式作定量的假设，常用的均衡校正模型有三个：普拉特-海福特均衡模型、艾里-海斯卡宁均衡模型和温宁·梅尼兹均衡模型。1.普拉特（J.H.Pratt）-海福特（F.Hayfort）均衡模型

1854年普拉特认为，山脉是由于地下物质从某个补偿深度起，向上热膨胀形成的，山脉越高，则山脉下地壳岩石的密度越小。地球表层中存在一个等压力深度（又称补偿深度），无论是在山脉下，还是平原、海洋下，这个深度的压力处处相等，在这个深度以上的每一个截面积相等的岩石柱体的总质量相等，补偿质量分布在大地水准面与补偿深度之间的地球表层。如图所示，设任意柱体密度为，地壳平均密度，柱体顶部相对于大地水准面的高度为，补偿深度，则有可以导出补偿质量的密度表明，补偿质量的密度与地形高度成正比。对于海底柱体，柱体上部有密度的海水，则有式中，为剩余密度；为海水深度。模型表明，高山下地球表层的密度小，海洋下地球表层的密度大，地球表层中存在着补偿质量，高山下的不足质量和海洋下的多余质量与地形质量相抵消，使地壳达到平衡。

2.艾里（A.Airy）-海斯卡宁（W.A.Heiskanen）均衡模型1855年艾里假设，山脉浮在地壳上部，地壳在岩浆中飘浮，山脉有“山根”，山脉越高，陷入岩浆的山根越深，海洋地区有与海洋相对应的反山根，山根与反山根在地球表层产生的质量不足或过剩形成的补偿质量与地形质量相补偿。它也把地壳划分成截面积相等的许多柱体，并假设地壳的密度各处是相等的，。固体地壳柱体飘浮在密度较大（）的均匀流体物质上，并处于静力平衡状态。如图3-18所示，h为柱体顶面的海拔高程，T为地壳正常厚度，“t”为山根厚度，“t’”为反山根厚度，为壳下与地壳的密度差。根据阿基米德原理有（3-81）（3-82）式中，，λ的物理意义是密度比。（3-81）式表明，山根的厚度与地形高度成正比。同理，对于反山根，有（3-83）式中，为海水的密度，为海水的深度。或写成（3-84）式中，为另一密度比。（3-84）式表明，反山根的厚度与海水深度成正比。

普拉特和艾里地壳均衡模型的共同处是，在地球的表层有与地形质量相等的补偿质量，在地球表层的某一深度上，尽管地形的存在，由于补偿质量的抵消作用，地球介质所受的流体静压力处处相等。3.温宁·曼乃兹（Vening

MeinszF.A）均衡模型温宁·曼乃兹修正了艾里的假设，将完全、均匀、局部补偿调整为完全、均匀、局部补偿。把地壳当成弹性薄板，山脉加载在弹性薄板上，山脉的质量把地壳向下压弯，地壳向下弯曲陷入壳下层的流体物质上，形成与山脉相对应的区域山根，山根造成的补偿质量等于山脉的地形质量（图3-19）。计算表明当高山的横向宽度大于25km时，才能将莫霍面压弯，这已为实践所证明。艾里和温宁·曼乃兹模型假说的基本特点都是山根陷入岩浆中，不同的是温宁·曼乃兹引入了大区域性的补偿概念，以弹性理论为基础，克服了地壳划分为许多独立柱体的困难，从理论上更为合理，但计算更为复杂，所以实际工作中很少采用温宁·曼乃兹模型。

二、均衡校正和均衡异常重力测量和地震资料都表明，在地球的表层存在着与地形相对应的补偿质量，根据补偿质量在地球表层的分布可以计算出补偿质量对地面观测点的重力影响。考虑与全球地形质量相对应的补偿质量对观测点重力的影响的校正称为均衡校正。全球地形对观测值影响的重力校正称为全球地形校正，观测点的重力观测值经自由空气校正、全球地形校正和均衡校正后与参考椭球面对应点正常重力的差称为该点的均衡重力异常

（3-85）式中，为点的重力观测值；为自由空气校正，等于；为全球地形校正，大小等于全球地形质量对观测点重力的影响，符号与其相反；为均衡校正，大小等于补偿质量对观测点重力的影响，符号与其相反；为点的正常重力自由空气校正只考虑测点高度的影响，并没有改变地球的总质量。自由空气异常中包括全球地形质量以及与其对应的补偿质量的影响，它近似等于普拉特-海福特均衡模型中补偿深度等于0时的均衡重力异常。自由空气校正对大地水准面的形状影响很小，因而自由空气异常常用于物理大地测量及计算大地水准面的形状和垂线偏差。布格校正包括测点周围的局部地形校正和中间层校正，它消除了测点周围的地形和大地水准面之间的地形质量对观测点的重力影响，改变了地球的质量，对大地水准面的形状有显著影响。布格重力异常反映了地球内部异常质量对重力测量结果的影响，也就是说，布格异常主要是由莫霍界面、康氏界面、沉积基底面的起伏以及沉积岩中的构造以及金属矿等密度不均匀体引起。布格重力异常多用于局部地区的地壳上地幔结构和浅层地质构造的研究。均衡校正消除了与地形质量相对应的补偿质量对观测点的重力影响，全球地形校正和均衡校正没有改变地球的质量，只是把地形质量做了适当的调整，把地形质量按补偿模型以一定的方式移到大地水准面以下。可以利用均衡重力异常计算调整后的大地水准面的形状和垂线偏差，研究地球的均衡状态，为研究地球内部动力学过程提供重力根据。§1.4重力异常场异常的划分与识别§1.4.1局部重力异常和区域重力异常§1.4.2重力场的解析延拓§1.4.3高阶导数法§1.4.1局部重力异常和区域重力异常

地面上观测到的重力异常是分布在地球内部不同深度的密度界面和大小不同的孤立异常体在地面上产生的重力异常的相互叠加的结果。埋藏浅、水平延伸小的密度异常体在地面产生的重力异常的水平梯度大，幅度小，占据的水平范围小，异常的波长短，随着高度的增加衰减速度快，这种异常称为局部异常；反之，埋藏深或水平延伸广的密度异常体在地面上产生的重力异常的水平梯度小，占据的水平范围大，异常的波长长，随着高度的增加衰减速度慢的异常较前者而言称为区域重力异常。区域重力异常与局部重力异常的划分是相对的，利用局部重力异常反演埋藏浅、水平延伸小的密度异常体，而利用区域重力异常反演埋藏深、水平延伸广的密度异常体。当研究的对象所引起的局部异常和一定区域异常叠加在一起时，不仅使局部异常形态发生相应的变化，而且使异常的中心位置也会发生偏离。同样，局部异常往往是区域异常复杂化，因此进行地质解释时，尤其是在反演的过程中，必须划分局部异常和区域异常。重力预查与普查中关注区域异常，而详查、细测中研究对象主要是局部异常。§1.4.2重力场的解析延拓

从重力异常公式可以看到，重力异常随着场源深度变化而变化。浅部地质体随着观测平面高度的变化具有较高的敏感性。在高度越高的观测平面上的重力异常中，埋藏深、水平延伸范围小的异常体的重力异常占的比重小。根据这种性质，将地面的实测异常换算到不同高度来划分场源深度不同的叠加异常，这种方法称为重力异常的解析延拓。从地面水平面上的实测异常向上解析延拓到某一定高度的异常称为向上延拓，它可以突出埋藏较深、水平延伸范围较大的场源引起的异常，压制浅部异常。从地面水平面上的实测异常向下解析延拓到地下某一深度平面上的异常称为向下延拓，向下延拓是为了突出埋藏较浅、水平延伸范围较小的场源异常，压制深部异常。这样，可以把一定高度水平面上的重力异常看成地面水平面上重力异常的区域异常，地面上的重力异常与所选定的区域重力异常的差就是局部重力异常。§1.4.3高阶导数法将布格重力异常换算成它的各阶导数，如二阶导数、三阶导数等的方法称为高阶导数法。这种方法的特点是：①重力异常的导数在不同形状地质体上有不同的特征，因此它有助于对异常的解释和分类。②可以突出浅而小的地质体异常特征而压制区域性深部地质因素的影响，在一定程度上可以划分不同深度和大小异常源产生的叠加异常。且导数的次数越高，这种分辨能力就越强（图3-25）。③重力高阶导数可以将几个相互靠近、埋深相差不大的相邻地质因素引起的叠加异常划分开来（图3-26），这是由于导数阶数越高，则异常随中心埋深加大而衰减越快，从水平方向来看，基于同样的道理，阶次越高的异常范围越小，因而无论从垂向或水平方向看，高阶导数异常的分辨能力都提高了。§1.5重力资料的地质解释及应用实例§1.5.1重力资料在研究地壳深部构造及地壳均衡中的应用§1.5.2重力资料在地震预报中的应用

§1.5.1重力资料在研究地壳深部构造及地壳均衡中的应用

重力异常的分布与构成地球物质的密度分布有着密切的关系，也就是与地质构造和矿产分布密切相关。通过对重力异常分析，首先与已知的地质和其他物、化探资料的综合对比来确定引起异常的地质原因，然后在上述定性解释的基础上作定量解释，计算被研究地质体的产状要素，如埋藏深度、大小、倾角、密度等，最终作出合理的地质解释。利用重力资料研究地壳深部构造，不仅对地壳上部高山、大陆和海洋的形成及其演化过程有重要意义，而且在对地壳运动和地壳结构的研究、确定地壳深部各物质层之间的密度界面的起伏变化，提供有关地壳均衡状态的信息与天然地震的活动性，岩浆侵入活动以及矿产的成矿预测方面都具有重要作用。用于研究地壳深部构造及地壳均衡作用的重力资料主要是大区域范围的布格重力异常图和重力均衡异常图。一、均衡异常分布特征与地壳运动的关系

根据均衡异常的大小分布，可以判断地壳的均衡状态。一般来说，均衡异常较为平静（即异常值接近于零）的地区，表明地壳基本上处于均衡状态。若均衡异常出现较大的正值，说明地壳均衡补偿过剩，反之则说明补偿不足。因此，均衡异常不论出现正值或负值，都说明地壳是处于不均衡状态。根据地壳均衡原理，如果喜马拉雅山区达到均衡状态，那么在喜马拉雅山下面应该相应地出现巨大的负重力异常。但实际测量结果得到的是重力异常梯级带，并不是负重力异常。从大地高程测量结果也表明，喜马拉雅山还在继续上升，即该区地壳均衡运动仍然处于继续调整的过程中。这可用板块学说来解释，认为喜马拉雅山的隆起是来自南面的印度大陆板块对亚洲板块碰撞挤压的结果，而重力异常梯级带明显地反映出这两个板块之间的挤压接触边界线。在大陆上许多地区，特别是高山和高原地区及新沉积物填平的低凹地带，由重力测量结果经常发现均衡补偿不足的现象，这主要是推动地壳运动的内动力造成的。地壳各个部分都在不断地通过补偿以达到均衡，而地壳构造运动，冰川的融化和山脉被破坏却倾向于打破平衡。地壳各个部分争取达到均衡的倾向，可以引起局部地区发生升降运动。如在印度东北的阿萨姆高原及缅甸西部地区，均衡异常图上展示出两个走向相互垂直的重力异常带（图3-32），东西走向的正均衡异常带平行于喜马拉雅山和阿萨姆高原的构造走向，其异常值由0增加到，主要反映为基底的隆起。而南北走向的均衡负异常，则是沿缅甸西部的布拉马普特拉谷的构造走向分布，其异常值由0降低至。异常幅度变化与形态轮廓，明显地反映出基底下陷的构造特征，说明盆地演变是受老构造单元控制的。从均衡异常的急剧变化说明该地区的地壳均衡尚处于补偿不足的状态；从该区所发生的频繁地震活动也说明地壳均衡作用正处于剧烈调整过程中。二、布格重力异常与深部构造和地震分布规律的关系1.我国布格重力异常的特征及其与深部构造关系图3-35和图3-36是我国布格重力异常图和由它推断的莫霍界面深度图。图3-35看出以下几个特征：（1）布格重力异常的变化趋势是由东部沿海向西到青藏高原，异常值逐渐降低。在辽东半岛渤海地区，布格重力异常值为左右，到青藏南部雅鲁藏布江一带则降至以下。这