第9章 2-非线性方程组的迭代解法

中至少有一个是x的非线性函数，若其全为线性的则为线性方程组。9.3非线性方程组的迭代解法

含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为

(1)其中为n维列向量，非线性方程组包括：

高次方程组,即代数方程组超越方程组产生背景:许多科学理论与工程技术都可化为非线性方程组求解的特点：无求解公式，无直接解法，

难求得精确解。求解的方法：间接法即迭代法。迭代法求解的要求：

收敛计算效率(快慢)

数值稳定性(考虑计算机的舍入误差)初始值好迭代公式合适(好的)一.一般迭代法1.建立

xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p12.迭代法的收敛性

(局部收敛性)（收敛定理）证:

1o由微分中值定理

2o~4o注：L越小，收敛越快。定理3.1指出:只要构造的迭代函数满足迭代法的收敛阶(收敛速度)

定义3.1.:设若有实数c>0,p≥1,使

则称是p阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法.特别,p=1,称线性收敛;1<p<2,称超线性收敛

p=2,称平方收敛。(2)3.非线性方程组的一般迭代法(3)并构造不动点迭代法

(4)把方程组(1)改写成下面便于迭代的等价形式：对于给定的初始点,若由此生成的序列收敛，(1)的解。是方程组的不动点，是迭。即满足连续函数.则的是自变量是连续的,即.且代函数例1设有非线性方程组把它写成等价形式

并由此构造不动点迭代法

取初始点。计算结果列于表1，可见迭代收敛到方程的解表1k012…

18

1900.80.928…0.9999999720.99999998900.80.931…0.9999999720.999999989函数也称映射，若函数的定义域为，则可用映射符号简便地表示为。为了讨论不动点迭代法（4）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。二.牛顿迭代法1.一元方程牛顿法

将在点作Taylor展开:

——Taylor展开线性化（重要思想）近似于解出,

记为,则Newton迭代法的几何意义

与轴的交点，作为下一个迭代点,即用在点处的切线Newton迭代法需要求每个迭代点处的导数复杂！(6)这种格式称为简化Newton迭代法精度稍低Newton法的改进无论哪种迭代法：Newton迭代法简化Newton法用Newton迭代法求解:x0=2x1=-3.54x2=13.95x3=-279.34x4=122017是否收敛均与初值的位置有关.例3

x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.963110-10x5=0收敛发散迭代法的局部收敛性2.非线性方程组的Newton法对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton迭代法。设是方程组（1）的解，是方程组的一个近似解。用点处的一阶Taylor展开式近似每一个分量函数的值

，有其中为的Jacobi矩阵在的值，而写成向量形式有若矩阵非奇异，则可以用使（7）右端为零的向量作为一个新的的近似值，记为，于是得到Newton迭代法（8)其中是给定的初值向量。如果写成一般不动点迭代的形式，则Newton迭代函数为(9)在Newton法实际计算过程中，第k步是先解线性方程组解出后，再令，其中包括了计算向量和矩阵

(10)例4用Newton法解例1的方程组解

对该方程组有取初始向量，解方程组，即求出后，。同理计算结果列于表2。可见，Newton法的收敛速度比例1中的迭代法（4）要快的多。表2k01