第六章 弯曲变形

第六章弯曲变形“梁”是否满足了强度条件：

σmax≤[σ]；τmax≤[τ]

就可以保证其正常工作吗?§6-1工程中的弯曲变形问题跳台跳板§6-1工程中的弯曲变形问题1.轴向拉（压）－轴力FN2.圆轴扭转－扭矩T3.弯曲变形－－??FF挠度和转角MeMe1.挠度二、基本概念w挠度C'CAB

y

x横截面形心C

（即轴线上的点）在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度。用w表示。2.转角转角横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角。用

表示。AC'CwB

xw挠度（转角AC'CwB

xw挠度（3.挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。式中,x

为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w

为该点的挠度。挠曲线方程为挠曲线转角AC'CwB

xw挠度（挠曲线4.挠度与转角的关系：转角方程小变形时，挠度一般远小于跨度：转角AC'CwB

xw挠度（挠曲线5.挠度和转角符号的规定挠度向上为正,向下为负。转角自

x

转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。推导纯弯曲弯曲正应力时，得到：对于非纯弯曲有：§6-2挠曲线的微分方程中性层一、推导公式横力弯曲时，既有弯矩又有剪力。对跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以忽略。弯矩方程忽略剪力对变形的影响，对于非纯弯曲有：中性层一、推导公式（梁的挠曲线微分方程）非线性的小变形时，挠度一般远小于跨度：中性层一、推导公式（梁的挠曲线微分方程）非线性的此式称为梁的挠曲线近似微分方程近似原因：（1）略去了剪力的影响;（3）（2）略去了

项;

曲线向上凸时:OxwxOw曲线向下凸时:因此,与的正负号相同在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正。1)积分一次：2)再积分一次：(转角方程)(挠度方程)C、D为积分常数。§6-3用积分法求弯曲变形一、微分方程的积分(挠曲线的近似微分方程)？二、确定积分常数C、D：Ax=0,θA=wA=0用边界条件和连续性条件1.在挠曲线的某些点上，挠度和转角是已知的，这类条件统称为边界条件。2.挠曲线应该是一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角，这就是连续性条件。

x=0,wA=0ABCθB左

=θB右

二、确定积分常数C、D：用边界条件和连续性条件l

x=l,

wB=0qAB二、确定积分常数C、D：用边界条件和连续性条件l

x=0,wA=0

x=l,

wB=0三、梁的刚度条件：得到梁的挠度和转角后，得刚度条件如下：刚度条件A例6.1等截面悬臂梁，梁的抗弯刚度为EI，求梁的转角方程、挠度方程，及θmax,wmax。Fl解：1.列弯矩方程：xB2.挠曲线近似微分方程：3.积分：工件和镗床：4.确定积分常数：AFlxB（转角方程）（挠度方程）例6.2试用积分法求受均布荷载作用的简支梁的弯曲变形。ABql

解:由对称性可知,梁的两个支反力为FRAFRBx1.5mFSMABqlFRAFRBx（转角方程）（挠度方程）

ABqlABwmax

在x=0和x=l

处转角的绝对值相等且都是最大值:在梁跨中点处有最大挠度值：习题6.4（a）解：1、计算支座反力ABlMexwFAy2、求弯矩方程x3、建立挠曲线近似微分方程习题6.4（a）试用积分法求图示梁的挠曲线方程、端截面转角θA和θB

、跨度中点的挠度和最大挠度。设EI为常量。ABlMexwFAyx3、建立挠曲线近似微分方程习题6.4（a）试用积分法求图示梁的挠曲线方程、端截面转角θA和θB

、跨度中点的挠度和最大挠度。设EI为常量。4、积分5、确定积分常数ABlMexwFAyx习题6.4（a）试用积分法求图示梁的挠曲线方程、端截面转角θA和θB

、跨度中点的挠度和最大挠度。设EI为常量。5、确定积分常数ABlMexwFAyx习题6.4（a）试用积分法求图示梁的挠曲线方程、端截面转角θA和θB

、跨度中点的挠度和最大挠度。设EI为常量。5、确定积分常数6、计算梁的最大挠度一、叠加原理梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载(如集中力，集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。这就是叠加原理。§6-4用叠加法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形1）小变形；

因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。2）线弹性范围工作。叠加法的前提条件：多个载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。一、叠加原理1.荷载叠加1.适用于求梁特定截面的挠度或转角值；荷载叠加法适合：2.梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查。看P185表6.1例6.4用叠加法求简支梁中点C

的挠度。分析：

该简支梁上同时

作用有两类简单载荷：q

和F

。qFACaaF=AB+ABq所以使用“叠加法”来计算例6.4用叠加法求简支梁中点C

的挠度。解:1)查表6.1第8、10项得q和F单独作用时的变形qFACaaF=AB+ABq例6.4用叠加法求简支梁A截面的转角。解:查表得q

和

F

单独作用时的转角：qFACaaF=AB+ABqlqlFl/2qlFl(1)(2)(3)(4)几种常见梁在荷载作用下的挠度例6.6在简支梁的一部分上作用均布载荷。试求跨度中点的挠度。设b<l/2

。BACql/2lb解：qdxxdx由表6.1第九栏的公式有：以上的例题是对载荷进行分解，是叠加法的一种。叠加法的另一种形式是对梁进行分解，这种方法也称为逐段刚化法（逐段分析求和法）。下面我们用例题来说明这种方法的应用。2.结构形式叠加（逐段刚化法）ABalFCFABalCFa+1）将AC梁假想地沿B处截断分成两部分。AB部分为简支梁，BC部分为悬臂梁。

例：用叠加法确定wC（逐段刚化法）

3）考虑BC段变形(AB段看作刚体)FaBC=FFa2）考虑AB段变形(BC段看作刚体)ABalFCFABalCFa+1）考虑AB段变形(BC段看作刚体)查表第6项得

例：用叠加法确定wC（逐段刚化法）

2）考虑BC段变形(AB段看作刚体)FaBClF1ACal/2DF2BF1BCDA=+F1BCaF1BCDAM=+F2ADCF1CABB例6.5求图示外伸梁支座B处截面的

转角θB和端点C

处挠度wC。分析：结构变换，采用逐段刚化法F1F1a=F1alF1ACal/2DF2B+F1BC图2图3+F1BCDAM=图1F2DC例6.5求图示外伸梁支座B处截面的

转角θB和端点C

处挠度wC。解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.（表6.1第8项）（第2项）M=F1a（第6项）lF1ACal/2DF2B+F1BC图2图3+F1BCDAM=图1F2DC（表6.1第8项）（第2项）M=F1a（第6项）lF1ACal/2DF2B+F1BC图2图3+F1BCDAM=图1F2DC（表6.1第8项）（第2项）M=F1a（第6项）习题6-9（a）习题6.10(c)（要用逐段刚化法解）=+思考习题6.9（C）：求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查6.1表第10项3、叠加ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2习题6.9（a）：用叠加法求图示梁截面A的挠度和截面B的转角。设EI为常量。FABMe=FlABFABMe=Fl=+解：1、载荷分解如图2、查6.1表第2项3、查6.1表第1项（代挠度公式）FABMe=FlABFABMe=Fl=+2、查6.1表第2项3、查6.1表第1项（代挠度公式）FABMe=FlABFABMe=Fl=+2、查6.1表第2项3、查6.1表第1项（代挠度公式）习题6.10（C）：用叠加法求图示外伸梁外伸端C的挠度和转角。设EI为常量。aF=qa=+qaqa2/2=+分析：结构变换，采用逐段刚化法qaqa2/2aaqF=qaqADBCADBCADBCqADBCBCqADBCF=qa+qaqa2/2=+aaaqF=qaADBCADBCBCqADBC图1图2图3解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.（表6.1第8项）（第4项）（第4项）（第6项）F=qa+qaqa2/2=+aaaqF=qaADBCADBCBCqADBC图1图2图3（表6.1第8项）（第4项）（第4项）（第6项）F=qa+qaqa2/2=+aaaqF=qaADBCADBCBCqADBC图1图2图3（表6.1第8项）（第4项）（第4项）（第6项）§6-5简单超静定梁一.基本概念：1.超静定梁：约束力数目大于平衡方程数目的梁。2.多余约束：多余维持其静力平衡所必须的约束。3.静不定次数：多余约束或多余约束力的数目。4.相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。7-6ABqABqFByFAyFAxMAFByFBy7-6ABqABqFBy1.解除多余约束，建立相当系统:二.求解超静定梁的方法：用多余约束力代替多余约束的静定系统。FAyFAxMA相当系统7-6ABq

相当系统的取法并不是唯一的。ABqlMA相当系统：可选为简支梁。FByFAyFAx相当系统原超静定梁在多余约束处的变形:7-6ABqABqFBy二.求解超静定梁的方法：FAyFAxMA相当系统2.根据原超静定梁在多余约束处的变形，列出变形协调方程，从而得到补充方程。（变形协调方程）相当系统下：7-6ABqABqFBy二.求解超静定梁的方法：FAyFAxMA相当系统（变形协调方程）后，即可求出求出ByF固定端其它约束力。7-6ABq

相当系统的取法并不是唯一的。ABqlMA相当系统：可选为简支梁。FByFAyFAx相当系统原超静定梁在多余约束处的变形:相当系统下：（变形协调方程）7-6ABq

相当系统的取法并不是唯一的。ABqlMA相当系统：可选为简支梁。FByFAyFAx相当系统（变形协调方程）即可求出其它约束力。7-6ABqABqFBy二.求解超静定梁的方法：1.解除多余约束，建立相当系统。2.根据原超静定梁在多余约束处的变形，列出变形协调方程，从而得到补充方程。3.解方程求出多余约束力。2.原超静定梁在多余约束处的变形:ABlF“基本静定结构”aBRBAFa相当系统XAYAMA例6.7RB方法一：1.取相当系统相当系统下：（变形协调方程）ABlF“基本静定结构”aBRBAFa相当系统XAYAMA例6.7RB方法一：（变形协调方程）2.原超静定梁在多余约束处的变形:BAlFa对于相当系统可有多种选择:“基本静定结构”—简支梁相当系统—简支梁ABFMAa例6.7方法二：1.取相当系统XAYAMARB相当系统下：（变形协调方程）（变形协调方程）BAlFa“基本静定结构”—简支梁相当系统—简支梁ABFMAa例6.7XAYAMARB方法二：习题6.36习题6.37例题：悬臂梁的抗弯刚度为EI，竖杆的抗拉压刚度为EA。试求竖杆的内力。ABqEIChEAABq比较：例题：悬臂梁的抗弯刚度为EI，竖杆的抗拉压刚度为EA。试求竖杆的内力。ChEAF’BABqEIChEAABqFB相当系统原超静定梁在多余约束处的变形:相当系统下：（变形协调方程）例题：悬臂梁的抗弯刚度为EI，竖杆的抗拉压刚度为EA。试求竖杆的内力。ABqFB相当系统（变形协调方程）思考题：两根悬臂梁在自由端处自由叠落在一起，二梁的抗弯刚度相同为EI,请分别画出两根梁的弯矩图。ABCFa2aABFFBCBFB´变形条件：思考题：两根悬臂梁在自由端处自由叠落在一起，二梁的抗弯刚度相同为EI,请分别画出两根梁的弯矩图。ABCFa2aABFFBCBFB´--ChEAF’BABqEIChEAABqFB相当系统原超静定梁在多余约束处的变形:相当系统下：（变形协调方程）习题6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁为16号工字钢，拉杆直径d=10mm。求拉杆与梁最大应力。ABqFB相当系统（变形协调方程）习题6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁为16号工字钢，拉杆直径d=10mm。求拉杆与梁最大应力。查表P352：I=1130cm4,W=141cm3习题6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁为16号工字钢，拉杆直径d=10mm。求拉杆与梁最大应力。ABqxxMFBI=1130cm4,W=141cm3习题6.36：q=10kN/m,E=200Gpa，梁为16号工字钢，拉杆直径d=10mm。求拉杆与梁最大应力。ABqChEAxxM梁最大应力:I=1130cm4W=141cm3习题6.37：两根梁的材料相同，截面惯性矩分布为I1、I2。在无荷载时两梁刚好接触，试求在F作用下，两梁分别承担的荷载。ABFl2l1ECD习题6