第18章静定结构的位移计算

18.1计算结构位移的目的18.2功与虚功原理18.3计算结构位移的一般公式18.5图乘法第18章静定结构的位移计算小结18.4荷载作用下的位移计算18.6支座移动时的位移计算18.7弹性体系的几个互等定理•截面的移动称为线位移，截面的转动称为角位移。18.1计算结构位移的目的18.1.1变形和位移•结构在荷载、温度变化、支座位移和制造误差等各种因素作用下会发生变形。•

结构的位移指结构中杆件横截面位置的改变，分线位移和角位移两种。•在平面结构的位移计算中，通常采用水平位移分量和竖直位移分量来表示线位移。•通常将线位移、角位移、相对线位移及相对角位移统称为广义位移，记为∆。举例：刚架C点的水平、竖直位移和转角梁C截面的竖直位移和转角平面悬臂刚架的变形及自由端的位移和转角在计算超静定结构的内力时，除了平衡条件外，还必须考虑结构的变形和位移条件。因此，位移计算是计算超静定结构的基础。18.1.2位移计算的目的•计算结构位移的一个目的是为了校核结构的刚度。校核结构的刚度，一般就是检验结构中的某一位移是否超过规定的允许值，以防止结构因产生过大的变形而影响其正常的使用。•计算结构位移的另一个目的是为了求解超静定结构。18.2功与虚功原理F112AB112118.2.1实功与虚功1.位移的表示方法集中荷载F1作用点沿F1方向的位移，记为。第一个下标1表示此位移是与F1相对应的位移；第二个下标1表示此位移是荷载F1引起的，如图示。2.功的表示方法（1）实功：力在其自身引起的位移上所做的功。由于自身引起的位移总与力的方向一致，故实功恒为正。应注意实功算式前的系数1/2。荷载在上述加载过程中所做的功为力做功用Wij表示，有两个下标：第一个下标表示做功的力；第二个下标表示位移的产生原因。这相当于F-△图中三角形Oab的面积。ab011FF1（2）虚功：力在与其自身无关的相应位移上所做的功。当时，Wij表示做功的力与产生位移的不是一个力。位移是荷载所引起，与荷载没有任何关系。22121F12ABF2当位移与力的方向一致时，虚功为正功；方向相反时，虚功为负。虚功算式前的系数为1。实功的力与位移彼此不独立，相互之间存在着一定的关系。

虚功的力和位移彼此是独立的。112AB1121Fa）12AB1222F2b)3.虚功的两个状态由于小变形，故符合叠加原理。图示变形可分解为两种彼此独立的状态。1F12AB2212F2所谓力状态和位移状态，必须根据所讨论的虚功来确定。

例如，对虚功来说，图a所示的状态是力状态，图b所示的是位移状态。但对虚功来说，如图b所示的状态则是力状态，而图a所示的是位移状态。广义位移：与广义力相对应的位移，分别是线位移或角位移、相对线位移或相对角位移。4.广义力与广义位移广义力：做功的力可以是一个集中力或一个集中力偶，也可以是一对集中力或一对集中力偶，甚至可以是某一力系。ABMeAABMeAMeBF1F2F2F1a）一个集中力偶b）一对集中力偶c）一个力系Me18.3.2虚拟状态中的单位广义力单位荷载法不仅可以计算线位移，也可以计算其他性质的位移，如角位移、相对位移等。例如欲求某截面的转角，则应在该截面处加一个单位力偶。欲求某点的线位移，就应该在该点沿所求位移的方向加一个单位集中力。欲求两点沿其连线方向上的相对线位移，就应该在此两点沿其连线方向上加一对方向相反的单位集中力。欲求两截面的相对角位移，则在两截面处加一对方向相反的单位力偶。欲求桁架某杆的角位移时，则可在该杆的两端加一对大小等于杆长倒数、与杆垂直但方向相反的集中力。18.3计算结构位移的一般公式18.3.1单位荷载法如图所示结构，在荷载F1、F2及支座位移C1、C2等因素作用下，发生双点划线所示变形，这一状态称为实际状态。现在要计算实际状态中C点的竖向位移。为了利用虚功方程求C点的竖向位移，应选取一个虚设的力状态，如图所示，即在C点处沿其竖向位移方向施加一单位集中力FC

=1。由于力状态是虚设的，故称为虚拟状态。式中虚拟状态中的支座反力；实际状态中相应的支座位移；支座反力所做虚功之和。虚拟状态的外力在实际状态的位移所做的总虚功为简写为因为实际状态中支座A处位移为零，故虚拟状态中A处支座反力所做虚功为零，即在表达式中该项为零。18.2.2虚功原理1.外力虚功力状态的外力（包括作用的荷载和支座反力）在位移状态的相应位移上所做的虚功称为外力虚功。图示外力虚功总和为2.内力虚功由于位移状态中各杆件发生了变形，力状态中各杆件的内力在位移状态中相应的变形（相对位移）上也做了虚功，称为内力虚功，或变形虚功。qF1a）FR2R3FR1F2M2求一根杆件的内力虚功可将上式沿杆长

积分，整个结构的内力虚功总和即对所有杆求和；对整根杆积分；力状态中微段dx上的各内力在位移状态中微段的相应变形上所做的虚功之和为式中dxb）ABDCCABDd）e）c）2）虚功原理在实际应用中有两种方式：

虚力原理——虚荷载法；

虚位移原理——虚位移法。3.变形体的虚功原理设变形体在力系的作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体由于别的与上述力系无关的原因作用下，发生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的相应位移上所做的外力虚功总和（记为We

），等于力状态中变形体的内力在位移状态的相应变形上所做内力虚功的总和（记为Wi），即虚功方程注意：1）虚位移或虚变形必须与结构的支承条件相协调并满足变形连续性条件，它必须是结构的支承条件所允许发生的。——沿每一杆的全长积分；式中根据虚功方程有即该式是平面杆件结构位移计算的一般公式，可以求结构上任何点的任何位移。计算结果若为正，则所求得实际位移方向与所假设单位力指向相同，为负则相反。总内力虚功为——对结构中所有相关杆件求和。单位荷载法18.4荷载作用下的位移计算式中微段的变形是由荷载引起的，以Mp、FNP、FSP表示实际状态中微段上所受内力。由实际变形式中EA——抗拉刚度；GA——抗剪刚度；k——截面的切应力分布不均匀系数，只与截面形状有关，对于EI——抗弯刚度；如果结构只受到荷载作用，且不考虑支座位移的影响，则位移公式为得到——实际荷载引起的弯矩、轴力、剪力；Mp、FNP、FSP——虚拟单位荷载引起的弯矩、轴力、剪力。Mp、FNP、FSP矩形截面k=1.2，圆形截面k=10/9，薄壁圆环形截面k=2；（4）拱：拱的位移通常只考虑弯矩变形的影响，但在计算扁平拱的水平位移平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式。（1）梁和刚架：轴力和剪力影响很小，位移计算一般只考虑弯矩影响。（2）桁架：桁架内力只有轴力，且各杆轴力和截面沿杆长L一般均为常数。（3）组合结构：组合结构中一些杆件主要承受弯矩，一些杆件主要承受轴力。对于不同类型的结构，还可作如下简化：或当压力线与拱轴相近时，应同时考虑弯曲变形和轴向变形的影响。例18-1试求图示矩形截面简支梁中点C的竖向位移Δcy，并比较弯矩和剪力对该位移的影响。梁的EI、GA均为常数。ABCl/2l/2qABCl/2hbl/2x解：作虚拟状态，在C点加一竖向单位荷载F=1。xABCl/2l/2xqABCl/2l/2x作实际状态的MP

、FSP

图，虚拟状态的M、FS

图。M=x/2SF=1/2实际状态中AC段的弯矩方程

M

=(lx-x)q22剪力方程为F

=(l-2x)q2SP剪力方程为虚拟状态中AC段（0≤x≤l/2）上的弯矩方程为设坐标原点在A点，由于对称，可以只取左半部分AC段进行计算qABCl/2l/2xABCl/2l/2xC点的竖向位移式中第一项是弯矩的影响；第二项是剪力的影响。对矩形截面代入上式，得设材料的泊松比则当时，有可见此时剪力对位移的影响只是弯矩影响的1/39=2.56%,所以通常可略去不计。例18-2

试求图示刚架C点的转角，各杆的EI均为常数。qEIAEIBCll解：作虚拟状态，在C点加的一个单位集中力偶M=1。作Mp

图和M图。qEIAEIBClla)M=-

Pql22M

=-1AB杆为M=-

Pqx22M

=-1各杆的x坐标轴，水平杆以C点为原点，向左为正。竖杆以B点为原点，向下为正。则BC杆的弯矩方程为代入得C点的转角为()qEIAEIBCllxx例18-3

试求图示对称桁架节点I的竖向位移，各杆采用的型钢规格已在图所示桁架的右半部分杆件旁标出。材料的弹性模量E=2.06×10MPa。5解：实际状态中各杆的轴力FNP如b图示。虚拟状态是在I点加一竖向集中力F=1作为单位荷载，此时各杆的FN如图c所示。由于对称只需计算左半边桁架。计算位移时可列成表格进行，位于对称轴上的DI杆的截面面积和轴力都只取一半数值。最后，取桁架左半边各杆的总和再乘以2，便得杆件m/lABBCCD上弦1.501.501.5021.7221.7221.72-155-155-265-0.5-0.5-1.55.355.3527.45下弦HI3.0015.82+220+141.72竖杆BHDI/21.51.59.614.80-90-450000AH2.127.79+219+0.7142.32斜杆CHCI2.122.129.614.72-91.92+63.64-0.71+0.7114.4020.291）各杆件的杆轴为直线。2）各杆段的EI为常数。

3）各杆段的Mp图和M图中至少有一个是直线图形。18.5图乘法18.5.1图乘法公式的推导计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，需先列出Mp和M的方程式，然后再代入积分式求解。当杆件数目较多，荷载较复杂时，这个运算过程是很麻烦的。但是如果结构各杆段均满足下列3个条件，则可通过使积分运算转化为两个弯矩图相乘的方法（即图乘法），使计算简化。二、图乘法证明结论：在满足前述条件下，积分式之值等于某一图形面积乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵y0,再除以EI。yxoyyodxdMP(x)MK(X)xxoBA18.5.2图乘法的应用1.分段

（1）按EI的改变点进行分段：以保证图乘段落中的EI是常数，计算公式为（2）按求纵坐标的图形的转折点进行分段：以保证取纵坐标的图形，在图乘段落中必须是一条直线图形，计算公式为（3）按求面积的图形分段：以保证求面积的图形，面积容易求、形心位置容易找。2.图形的处理当图乘段落分好后，可根据叠加原理将复杂的MP图或M图分解成几个易于确定其面积及形心位置的简单图形，分别与另一图形相乘，然后再叠加所得结果。以下给出在不同情况下应用图乘法时面积A与纵坐标yC的选取方法。1)MP、M图均为梯形时，可不求梯形的形心，而将一个梯形分为两个三角形(或者分为一个矩行和一个三角形），分别对其应用图乘法。计算公式为M

图PM

图两图均为梯形a)分两个三角形b)分一个矩形和一个三角形其中、图均为反梯形时，即一部分在杆的一侧，即一部分在杆的另一侧时，可将图看作两个三角形，一个三角形ACB在上边，高度为a；一个三角形ABD在下边，高度为b,分别对其应用图乘法，即两图均为反梯形M

图PM

图4)图乘时常遇是非标准的二次抛物线图形。图示为一直杆段在均布荷载作用时可能出现的几种弯矩图。这些非标准的二次抛物线图形均可看成由两个弯矩图叠加而成，一个是作用在杆两端的弯矩所引起的直线图形，另一个是由均布荷载引起的标准抛物线图形。因此，图乘时可将它们分成为上述二个图形后再分别相乘。

为非标准抛物线的几种情况例如为梯形ABCD的面积，为标准二次抛物线图形的面积。因为面积与相应竖标在杆的不同侧，因此计算公式中该项乘积应取负值。ABCDa)b)CDc)对图a、d所示的、图，可根据叠加原理将图分为图b、c两图形，并分别将其与图进行图乘，然后取其代数和即为所求结果，则有d)ABCD标准抛物线的面积和形心a)～c)二次标准抛物线d)三次标准抛物线3)图乘时如遇是二次或三次标准抛物线图形（所谓标准抛物线，是指顶点在端点或在中点的抛物线），计算时可以直接在下图中查取面积和形心位置。应用图乘法的计算步骤

【例6-7】试求图a所示简支梁跨中截面C的挠度DCV和B端的转角qB。已知EI=常数。解：(1)作实际荷载弯矩图MP，如图b所示。

1）作实际荷载弯矩图MP图。

3）用图乘法公式求位移。

2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图。qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图a)b)

(3)用图乘法公式求位移将MP图与图相乘，则得

(2)加相应单位荷载，作单位弯矩图qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图a)b)AABBCCy01y02y0l/4111图图c)d)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®将MP图与图相乘，则得()AABBCCy01y02y0l/4111图图c)d)qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图a)b)18.5.3图乘法的示例例18-4如图所示梁的EI=1000kN·m。试用图乘法求梁跨中点C截面的竖向位移。解：（1）建立求的虚拟状态（2）作实际状态的图：求得（3）作虚拟状态的M图：求得（4）图乘：显然BD段不需计算。应注意到AB段的图形，

M图是直线图形，而M图则是折线图形，不是一条直线图形，只有分段才能图乘。第1种算法：在M图上取竖标，必须分AC段和CB段计算。

图上的3个三角形的面积A1、A2、A3以及形心C1、C2、C3所对应的另一个图上的竖标y1、y2、y3如图所示。计算中应按相乘的A和yC在基线同旁或不同旁判定正或负号。b)对

图上CB段的梯形用对角线分解为两个三角形。b)第2种算法：在图上取竖标，则不需分段。由M图不难求出面积及形心位置，以及在

图上的相应纵坐标，算得计算结果是负表明：C点的竖向线位移与虚拟力的方向相反。例18-5试用图乘法求图示刚架C点的竖向位移，EI=常数。解：（1）建立虚拟状态：在C点加一个竖向的单位力。ABC2EIaaEIqABC2EIaaEI1（2）作实际状态的图，如图a：（3）作虚拟状态的M图，如图b：方法1：注意到图上C处是抛物线顶点，即为标准抛物线，算得（4）用图乘公式求位移：方法2：如果看不出图在C处是抛物线顶点，把它看成非标准抛物线，可用虚直线连接BC两端点，将它看成由一个三角形和一个非标准抛物线组成。算得

例2.图示梁EI

为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP§6-5

图乘法l/2ql/2MP§6-5

图乘法l/2ql/2MP§6-5

图乘法例3.试求图示结构B点竖向位移。解:MPMi§6-5

图乘法18.6支座移动时的位移计算支座移动时K点的位移计算a)实际状态b)虚拟状态静定结构由于支座移动不产生内力，也不产生变形，结构上的各点只发生刚体位移。如图所示刚架，其支座A发生了水平位移、竖向位移和转角。现求刚架上任意一点K沿任意方向（如k-k）的位移，第二个下标C表示此位移是由支座移动引起的。仍用单位荷载法，实际状态没有变形，因此，位移计算的一般公式简化为如下形式式中——虚拟状态下的支座反力；——实际状态下的支座位移；——反力虚功。式中有关正负号规定如下：当虚拟支座反力方向与实际支座位移方向一致时，其乘积取正值，反之取负值。静定结构在支座发生移动时的位移计算公式例18-7如图所示刚架中，支座B有竖向沉陷b，试求D点的水平位移。解：在D点加一水平方向单位力F=1，得虚拟状态如图示，计算虚拟状态下各支座反力得注意：因为实际状态下支座A无任何位移发生，故相应虚拟状态下支座A处的反力所做虚功为零。例18-8如图所示三铰刚架，支座B向右水平移动了2cm，向下竖向移动了6cm，试求顶铰C的竖向位移和C两侧截面的相对转角。（1）求C点竖向位移：解：作虚拟状态，在C点加竖向单位荷载F=1。C点的竖向位移根据静力平衡条件，可求出支座反力为（2）求铰C两侧截面相对转角：作虚拟状态，加一对作用在铰C两侧截面的集中力偶

=1。计算结果是负表明：铰C两侧截面相对转角与虚拟力偶方向相反。此时的支座反力为18.7弹性体系的几个互等定理弹性体系有4个互等定理:功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理。18.7.1功的互等定理第一状态第二状态一弹性结构分别承受力、两种状态（图a、b），图a为结构的第一状态，b为第二状态。图c过程中外力所做总功为图d过程中外力所做总功为因为外力所做的总功与加载次序无关功的互等定理:第一状态的外力在第二状态的相应位移上所做的虚功等于第二状