第二章流体静力学(修订)

第二章流体静力学

FluidStatics闫小丽流体静力学流体平衡的基本规律静止或平衡状态：流体相对于地球没有运动相对静止或相对平衡：流体相对于运动容器没有运动研究流体平衡的条件及压强分布规律研究流体与固体间的相互作用及其工程应用绝对静止（静止）相对于惯性坐标系没有运动相对静止或相对平衡相对于非惯性坐标系没有运动惯性参照系：相对于地球静止或作匀速直线运动的参照系非惯性参照系：相对地球作变速运动的参照系在笔直渠道中作匀速直线流动的河水？等角速度旋转的容器中的液体？绝对静止与相对静止的共性：流体质点没有相对运动，粘性作用表现不出来。学习内容平衡流体上的作用力流体平衡的微分方程式重力场中的平衡流体静压强的计算与测量平衡流体对壁面的作用力液体的相对平衡第一节平衡流体上的作用力按其性质（作用方式）的不同，分为：质量力

作用在每一个流体质点上，大小与流体微团质量有关且集中作用在微团质量中心上的力表面力

大小与表面积有关而且分布作用在流体表面上的力力的矢量和单位质量力单位质量力在x、y、z轴上的投影，单位质量分力质量力重力惯性力一、质量力(矢量)xΔWΔFIΔFRΔFmOzy如果微团极限缩为一点，有限量→微分符号二、表面力流体微团在流体内部不是孤立存在的相邻微团在相互之间的接触表面上有相互作用力表面力沿表面内法线方向——压力沿表面切向——摩擦力表面力——作用在接触面（流体和壁面）或者流层和流层之间的力法向分力内法线切向分力内摩擦力平衡流体不存在切向摩擦力。只有沿受压面内法线的力，流体静压力。相邻微团在相互之间的接触表面上的相互作用应力流体静压强和流体静压力的区别流体静压力流体作用在受压面上的总作用力，矢量，N，用F表示，大小和方向均与受压面有关；在流体微团上取微元面积ΔA，设作用在ΔA表面上的总压力为ΔF，受压面上的平均压强一点的流体静压强流体静压强则是一点上的流体静压力的强度，p，Pa。标量。表面力在静止流体中取一微小四面体，三个正交面与坐标面方向一致，棱长分别为Δx，Δy，Δz质量力相比第一项高阶无穷小静止流体受力平衡特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向流体静压强的特性

特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，是点的坐标的连续可微函数第二节流体平衡的微分方程式第二节流体平衡的微分方程式P的分布与大小？平衡流体质量力fx,fy,fz表面力压应力切应力不存在=0关系?基本思路平衡流体（绝对或相对）不存在粘性剪切力，当然也不存在拉力，只有压力。所有作用在流体质点上的力必须平衡，流体质点才能保持平衡。取一个流体质点分析，建立力平衡方程，由此得到质量力和表面力在平衡下的关系以及流体压强分布以y方向为例表面力质量力流体平衡平衡流体的质量力与表面力在任何方向上都保持平衡；质量力与该方向上的表面力的合力大小相等，方向相反。平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压强沿该方向必然发生变化；假如忽略流体的质量力，则流体静压强必然处处相等。全微分dp欧拉平衡方程式的综合形式压强差公式二、质量力的势函数压强的全微分积分后为一点的静压强由坐标唯一确定坐标函数坐标函数的全微分假设某一坐标函数W=W（x，y，z）W对某一个坐标的偏导数的负值等于该坐标方向上的质量分力满足上式的坐标函数W为质量力的势函数只有有势的质量力作用下，流体中任何一点上的流体静压强可以由坐标唯一确定，这样流体才能平衡。有势的质量力如果作用在物体上的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关，这种力称为有势力或保守力。重力和惯性力都是有势力。

只有有势的质量力作用下流体才能平衡如果单位质量力与时间变量有关，则找不到纯坐标变量的质量力的势函数，压强不能由坐标唯一确定，流体不能保持平衡。如果作用在物体上的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关，这种力称为有势力或保守力。xyzmgz

例题：求重力场中平衡流体的质量力势函数，并说明其物理意义。单位质量流体在基准面以上高度为z时所具有的位置势能。三、等压面流体中压强相等的各点所组成的平面或曲面叫做等压面。等压面的微分方程等压面的性质：等压面也是等势面dP=0dW=0W=C两矢量点积为零两矢量相互垂直dx,dy,dz为等压面上任意微元线段ds的投影等压面与单位质量力矢量垂直两种不相混合的平衡液体的交界面一定是等压面。aaABam两种不相混合的平衡液体的交界面一定是等压面。成立a-a面必须是等压面、等势面A、B两点的压强差常见的等压面自由液面平衡流体中互不混合的两种流体的交界面只有重力作用下的等压面静止、连通且连通的介质为同一均质流体质量力仅有重力同一水平面即为等压面MMNN▽MMNN▽MM▽▽第三节重力场中的平衡流体xyzmgz重力场中的欧拉平衡方程式一、不可压缩流体的静压强基本公式重力场连续均质不可压缩流体任一点的铅直坐标任一点压强1.静压强基本公式的物理意义由于A点具有一定压强，测压管中液体上升hp，对于A、B两点列静压强公式：p0P=0抽真空z0hzhpAB流体的单位重力闭口测压管液位上升高度为该点静压强与单位体积的流体所受重力之比，一定的流体静压强代表使液柱上升一定高度的势能z——单位重力流体的位置水头，位置势能——单位重力流体的压强水头，压强势能2.静压强分布规律利用参考面（自由液面）上的边界条件：p0z0hzhp参考面上的压强等值地传到液体内部该点到参考面的单位截面上的液柱重量若液面与大气相通时，，静压强的基本公式式写为：又如在同一连通的静止液体中，已知某点的压强，则可推求任一点的压强值，即两点深度差。为当地大气压强在重力作用下液体中任意一点的压强都与液面上的压强有关，两者的差值与淹没深度h成正比。液面上的压强变化会等值地传递到液体中的任意一点（帕斯卡静压强传递原理）压强的表示法

用应力单位表示从压强的定义出发，用单位面积上的力来表示。如用大气压的倍数表示国际上规定一个标淮大气压（温度为0℃，纬度为45°时海平面上的压强）工程界中，常用工程大气压来表示压强，一个工程大气压（相当于海拔200m处的正常大气压）用液柱高度表示常用水柱高度或汞柱高度表示，其单位为mH2O、mmH2O或mmHg。3.静压强分布图的绘制根据基本方程式绘制静水压强垂直于作用面且为压应力按照一定比例尺，用一定长度线段代表静水压强的大小。用箭头标出静水压强的方向h1h2h受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；受压面为曲面时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，外包线为曲线。重力场不可压缩流体密度ρ=c二、可压缩流体静压强分布公式密度变化的函数关系式国际标准大气的温度分布Z≤11000m对流层Z>11000m同温层1、对流层Z=0P=Pa二、同温层同温层中温度是常数Z=z1P=P1第四节静压强的计算与测量静压强的计算标准静压强的计量单位静压强的测量绝对压强：以完全真空为基准计量的压强计示压强：相对压强，以当地大地压强为基准计量的压强一、静压强的计算标准和单位二、静压强的测量Z1Z2PaPa

h1h2如果容器为开口测压管液面如何？H和P有关——压强测量转换成液柱高度测量二、静压强的测量测压管——利用液柱高度表达压强的测量装置，结构最简单。为了减小毛细现象的影响，玻璃管直径一般不小于10cm。分被测压强高于和低于大气压强两种情况：U形管测压计——利用液柱高度表达压强的测量装置，压强量程比测压管大得多。工作液体一般采用水或水银。当工作液体密度远大于被测流体密度时差压计——测量两点的压强差倾斜式微压计工作液体一般采用蒸馏水或酒精金属测压计与真空计当需要测量较大的压力时金属压力表or真空计指针弹簧管利用弹簧元件在被测压强作用下产生弹性变形带动指针指示压力测正压为压力表测负压为真空表均为相对压强例题：如图所示，一倒置的U形管，其工作液体为油，密度为917kg/m3，下部为水，h=10cm，a=10cm，求两容器中的压强差。P例题：一压强测试装置，活塞直径为35mm，重15N，油的密度为920kg/m3，水银密度为13600kg/m3，若不计活塞的摩擦和泄漏，试计算活塞底面积和U形管中水银液面的高度差h=0.7m时，U形管中两水银液面的高度差。活塞重量使其底面产生的压强：列等压面方程：例题：如图所示，已知h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，ρ1=1000kg/m3，ρ2=800kg/m3，ρ3=13598kg/m3，求AB两点的压强差。例题：如图所示，两圆筒用管子相连。第一个圆筒直径为45cm，活塞上受力F1=3197N，密封气体的计示压强为9810Pa；第二个圆筒直径为30cm，活塞上受力F2=4945.5N，上部通大气。若不计活塞质量，求平衡时两活塞的高度差h。a-a面为等压面在F1、F2作用下，活塞底面产生的压强分别为：例题：如图所示，h=2m时，求封闭容器A中的真空压强。练习题作业P1032-2、2-5、2-6、2-17、2-25第五节平衡流体对壁面的作用力平衡流体对物体表面总压力图解法、解析法大小、方向和作用点设计桥墩、水坝、闸门以及潜艇的壳体、压力容器等必不可少一、作用在平面上的总压力图解法该方法用于计算作用在矩形平面上所受的液体总压力最为方便。工程上常常遇到的是矩形平面问题，所以此方法被普遍采用。

作用于平面上静水总压力的大小，应等于分布在平面上各点静水压强的总和。作用在单位宽度上的静水总压力，应等于静水压分布图的面积；整个矩形平面的静水总压力，则等于平面的宽度乘压强分布图的面积。矩形平面有纵向对称轴，压力中心的作用点D必位于纵向对称轴O-O上当压强分布为三角形时，当压强为梯形分布时，

注意：e是压力中心距离底部的距离例题1：一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深，闸门高，宽，试用解析法和图解法求静水总压力P的大小及作用点。一、作用在平面上的总压力（解析法）平面ab与液面倾斜成α角C点为平面的形心各点的静压强垂直于平面构成一个平行力系液体作用在平面上的总压力就是平行力系的合力取微元面积dAVF压力体液重总压力的大小和方向面积A对ox轴的静面矩作用于受压面上的静水总压力等于形心点的压强与受压面面积的乘积，其方向必然垂直指向受压面。液体作用在平面上的总压力等于一假想体积的液重该体积是以平面形心的淹深为高、平面面积为底的柱体总压力的作用线和平面的交点压力中心D合力矩定理总压力对ox轴的矩等于各微元总压力对ox轴的力矩代数和。总压力受压面积A对ox轴的惯性矩yD=?总压力的作用点Im——平面面积A对OX轴的惯性矩假设IC——面积A对于通过其形心且与OX轴平行的CC轴的惯性矩C-C轴惯性矩平行换轴公式偏距例题1：一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深，闸门高，宽，试用解析法和图解法求静水总压力P的大小及作用点。解：（1）解析法静水总压力：压力中心：

且压力中心D在矩形的对称轴上。例题：如图所示，一矩形闸门宽度为b，两侧均受到密度为ρ的液体的作用，两侧液体深度分别为h1和h2，试求作用在闸门上的液体总压力和压力中心解：对于闸门左侧两侧压力的合力为F：合力F的方向向右对O点取矩：例题2：如图所示，为置于桌面上的各种不同形状的容器。各容器的底面积均相同，并等于A。容器中均盛有同—密度的液体，水深均为h。试分析各容器底上所受静水总压力的大小。各容器底面形心点上的水深相同，等于h作用在底面积相同的各容器底上的总压力相同例题3在水箱底部α=60°的斜平面上，装有一个直径为0.5m的圆形泄水阀，阀的转动轴通过其中心C且垂直于纸面，为了使水箱内的水不经阀门外泄，试问在阀的转动轴上需施加多大的锁紧力矩？OODhcFM设阀中心C点的水深为hc，压力中心D到阀心C的偏距ε。设施加在转动轴上的力矩为M，由力矩平衡得：作业P1142-28、2-29、2-30、2-31二、液体作用在曲面上的总压力计算平面上液体总压力大小时，把各部分面积上所受压力直接求其代数和，这相当于求一平行力系的合力。对于曲面，作用于曲面上各点的静压强都是沿曲面上各点的内法线方向。曲面上各部分面积上所受压力的大小和方向均各不相同，故不能用求代数和的方法把它变成一个求平行力系的合力问题先分别计算作用在曲面上总压力的水平分力和垂直分力，最后合成总压力P。二、液体作用在曲面上的总压力静止液体内有一承受液体压强的二维曲面ab;坐标系的Z轴垂直向下在曲曲上任取一微小曲面并视为平面，其面积为dA,作用其上的静水总压力为

dFp垂直于平面dA与水平面的夹角为α

总压力X轴分力Z轴分力投影面积Ax对x轴的面积矩Ax面形心点的淹没深度曲面ab和自由液面或其延长面所包容的体积，称为压力体。垂直分力作用于曲面上静水总压力的水平分力等于铅直投影面的形心点压强与该面积的乘积。该体积水所受重力θ总压力的大小和作用点两个分力合成，即得到液体作用在曲面上的总压力压力体压力体仅仅是一个数学积分，体积内可以含有液体，也可以不含有液体组成曲面本身液面或液面的延伸面通过曲面的四周边缘的铅直平面压力体与液体在同一侧，实压力体，方向向下压力体与液体各在一侧，虚压力体，方向向上绘制图中曲面的压力体绘制图中曲面的压力体+=+=例题：求水下圆球体表面的压强合力液体作用在浮体和潜体上的总压力部分沉浸在液体中的物体称为浮体全部沉浸在液体中的物体称为潜体沉入液体底部固体表面上的物体称为沉体阿基米德定律物体在静止流体中所受到的静水总压力，仅有铅锤向上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重量。负值说明方向向上液体作用在潜体上的总作用力方向向上例题：汽油机化油器的浮子室，利用浮子球体的升降来调解油面的高度。利用浮子球体淹没一半的条件设计球体直径d1。已知a=50mm，b=15mm，d2=5mm，浮子质量m1=0.02kg，针阀质量m2=0.01kg，汽油密度为699.5kg/m3，针阀上汽油的计示压强为3.92×104Pa，杠杆的质量可忽略不计，试求浮子的设计直径为多少？FpV1接喷油量孔接进油回路FpV2m1gm2g第七节液体的相对平衡流体质点相对非惯性坐标没有相对运动洒水车、奶罐车、搅拌器等若把运动坐标取在机器或机件上相对平衡一、容器作匀加速直线运动αβyZOga惯性力重力坐标原点取在液面不发生变化的O点αβyZOga1.等压面等压面的斜率等压面是与水平面成倾角β的一族平行平面2.静压强分布规律自由液面αβyZOga特例一

容器沿水平基面作匀加速运动y？运动方向βzmm′h′H′Hagy对m(b/2，-h)H对m′(-b/2，-h′)H′H与H′代表任何一点在倾斜自由液面下的铅直淹没深度运动方向βzmm′h′H′Hagbh特例2容器沿铅直方向向下作匀加速运动ayOz当容器向下加速运动时液体失重失重系数gayOz当容器向上加速运动时液体超重超重系数g例题：汽车上装有内充液体的U形管，U型管水平方向的长度L=0.5m，汽车在水平路面上沿直线等加速行驶，加速度为0.5m/s2，试求U型管两支管中液面的高度差。解：当汽车在水平路面上作等加速直线运动时，U型管两支管的液面在同一斜面上，设该斜面与水平方向的夹角为α，则aga例题

边长为1m的顶部敞开立方水箱中盛水深度为0.75m，容器有水平向右、铅直向上的两部分匀加速运动（ax及az），其大小相等，而使水达到即将外溢的极限状态。试求加速度的大小及容器底角上A、B两点的压强。bhABaxaz解：当液面发生倾斜后，要求高液位是b，低液位设为b-c，前后液体的体积守恒。液面倾斜角为θ，则超重系数kbhABaxazcθθaz+gax例题

正方形底边长为0.2m、自重为40N的容器装水高度0.15m，容器在重物250N的牵引下沿水平方向匀加速运动，设容器底与桌面间的固体摩擦系数f=0.3，滑轮摩擦忽略不计，为使水不外溢试求容器应有的高度H。QhHb设加速度为a，为使水不外溢QhHbθθ取水平运动体为分离体，绳索张力为T取重物与绳索为分离体，绳索张力为T二、等角速度旋转容器中液体的相对平衡当ω稳定，