第二章z变换与离散时间傅里叶变换

第二章

Z变换与离散时间傅里叶变换※序列的Z变换※序列的傅里叶变换※离散时间系统变换域分析1第二章第1讲§1序列的Z变换Z变换的定义抽样信号令：双边Ｚ变换单边Ｚ变换拉氏变换与Ｚ变换：版权所有违者必究2第二章第1讲1讲●

z变换的收敛域一般，序列的Z变换并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足

Z变换的收敛域版权所有违者必究3第二章第1讲1讲

z变换的收敛域jIm[z]Rx+Rx-Re[z]0Rx-〈|z|〈Rx+这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。因为对于实数序列，

因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为版权所有违者必究4第二章第1讲1讲这里主要讨论以下四种序列：a有限长序列序列(序列x(n)只在有限长度n1~n2

内有值，其余为零)其Z变换X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n〈∞，n1≤n≤n2。显然|z|在整个开域（0，∞）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除0及∞两个点（对应n>0和n<0不收敛）以外的整个z平面：

0〈|z|〈∞版权所有违者必究5第二章第1讲1讲b右边序列指x（n）只在n≥n1，有值，而n〈n1时，x（n）=0

收敛域：

，为收敛半径Rx-以外的z平面，

如果对n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，则根据条件（n1≤n≤n2），收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半开域：版权所有违者必究6第二章第1讲1讲右边序列中最重要的一种序列是“因果序列”，即n1≥0的右边序列，因果序列只在n≥0有值，n〈0时，x（n）=0，其z变换为：

收敛域：

Z变换的收敛域包括∞点是因果序列的特征。版权所有违者必究7第二章第1讲1讲c左边序列序列x（n）只在n≤n2有值，n〉n2时，x（n）=0

收敛域：|Z|〈Rx+，在收敛半径为Rx+的圆内。d双边序列可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列z变换的收敛域是这两个序列z变换收敛域的公共部分。版权所有违者必究8第二章第1讲1讲

如果Rx+〉Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域:Rx-〈|z|〈Rx-如Rx+〈Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛.Z变换收敛域的特点：

1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有x（n）=δ（n）的收敛域是整个z平面。

2）在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。

收敛域右边序列的收敛域收敛域左边序列的收敛域收敛域双边序列的收敛域版权所有违者必究9第二章第1讲1讲

例1

序列x（n）=δ（n）

由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域z平面，0≤|Z|≤∞，

例2

矩形序列x（n）=RN（n）等比级数求和

版权所有违者必究10第二章第1讲1讲例3：求序列x

(n)=anu(n)的Z变换。

解：为保证收敛，则收敛域Z平面若a=1,则版权所有违者必究11第二章第1讲1讲例4：求序列x(n)=-anu(-n-1)的Z变换。

解：为保证收敛，则收敛域Z平面版权所有违者必究12第二章第1讲1讲例5：求序列x

(n)=(1/3)|n|的Z变换。

解：|z|>1/3时，第二项收敛于，对应于右边序列。|z|<3时，第一项收敛于，对应于左边序列。当时：零点：0，极点：3，1/3收敛域Z平面版权所有违者必究13第二章第1讲1讲逆Z变换逆Z变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。逆Z变换的三种基本方法

围线积分法部分分式展开法长除法（幂级数展开法）围线积分法式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。

版权所有违者必究14第二章第1讲1讲逆Z变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点

如果还满足在有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有:

若被积函数是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分。根据留数定理，等于围线C内全部极点留数之和，即:

版权所有违者必究15第二章第1讲1讲逆Z变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。如果为单阶极点，按留数定理:

如果为阶极点，则其留数为:

版权所有违者必究16第二章第1讲1讲

求原序列x(n)已知某序列的Z变换为:

解:并且当时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:

由于收敛域为，可知该序列必定是因果序列。例1:逆Z变换版权所有违者必究17第二章第1讲1讲逆Z变换例2：求原序列x(n)已知序列的Z变换为：解：a1/a收敛域|z|=|a|围线C∵所给收敛域为环域∴原序列必为双边序列|z|=|1/a|在收敛域内作包围原定的围线C版权所有违者必究18第二章第1讲1讲逆Z变换当时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为：当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1，因此有:

版权所有违者必究19第二章第1讲1讲部分分式展开法逆Z变换用部分分式展开法求反Z变换，通常为有理分式。1、单极点若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：则其逆Z变换为：版权所有违者必究20第二章第1讲1讲逆Z变换说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1…,N)。

2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1…,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的形式求取：版权所有违者必究21第二章第1讲1讲逆Z变换2、高阶极点当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：式中Bk(k=0,1…,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：版权所有违者必究22第二章第1讲1讲逆Z变换例：已知，求X(z)的原序列。

解：由求系数Ak的公式求得

因为X(z)的收敛域为，为因果序列，从而求得

将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式版权所有违者必究23第二章第1讲1讲逆Z变换长除法（幂级数展开法）若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列x(n)的值。在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。对于左边序列Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开；对于右边序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列进行展开。

典型例题版权所有违者必究24第二章第1讲1讲用长除法求

的逆Z变换。

由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。例:解：即：逆Z变换版权所有违者必究25第二章第1讲1讲逆Z变换例:用长除法求的逆Z变换∵收敛域为环域，∴x(n)必为双边序列。解：对右边序列

∴右边序列为:

对左边序列

∴左边序列为:

综上可得:

版权所有违者必究26第二章第1讲1讲逆Z变换例:求的逆Z变换。由收敛域知原序列应为因果序列。的幂级数展开式为

故有，即：

用

代入上式，因解：版权所有违者必究27第二章第1讲1讲序列Z变换收敛域1全部z版权所有违者必究28第二章第1讲1讲线性性Z变换的性质与定理序列的移位序列乘指数序列（尺度性）返回返回版权所有违者必究29第二章第1讲1讲Z变换的性质与定理序列的反褶序列的共轭Z域微分性返回版权所有违者必究30第二章第1讲1讲Z变换的性质与定理初值定理若x(n)为因果序列，它的初值为：若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有：终值定理卷积定理返回版权所有违者必究31第二章第1讲1讲Z变换的性质与定理序列相乘（复卷积定理）Parseval定理返回版权所有违者必究32第二章第1讲1讲Z变换的性质与定理重抽样序列的Z变换对序列抽取运算时，将序列x(n)以M抽取后形成的新序列y(n)。两者之间的关系为：

●有限项累加特性设x(n)为因果序列，X(z)=Z[x(n)],|z|>则版权所有违者必究33第二章第1讲1讲典型例题求序列的z变换，并确定其收敛域。解：例1线性性查看性质版权所有违者必究34第二章第1讲1讲求的z变换和收敛域。解：例2典型例题查看性质序列的移位性版权所有违者必究35第二章第1讲1讲典型例题查看性质例3解：X(z)对z进行微分：Z域微分性逆Z变换版权所有违者必究36第二章第1讲1讲典型例题查看性质例4用卷积定理求

解：卷积定理逆Z变换版权所有违者必究37第二章第1讲1讲典型例题查看性质例5用复卷积定理求

解：复卷积定理版权所有违者必究38第二章第1讲1讲典型例题查看性质在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为：可见，只有一个极点v2=b在围线C内。由留数定理求得：版权所有违者必究39第二章第1讲1讲Z变换与拉氏变换的关系S平面到Z平面的映射Z变换与拉氏变换的关系:

这一关系实际上是通过将S平面的函数映射到了Z平面。

若将Z平面用极坐标表示，S平面用直角坐标表示，代入，得：上述关系表明：z

的模r仅与s的实部相对应，z

的幅角则仅与s的虚部对应。

映射关系：版权所有违者必究40第二章第1讲1讲Z变换与拉氏变换的关系(S平面实轴映射到Z平面的正实轴)

(S平面原点映射到z

=1点)(当由-/T增加到+/T时,对应于由-增加到+)

由于是的周期函数，S平面每增加一个宽为2/T的水平条带时，对应于Z平面从-到+旋转了一周。这样就有：

即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面=1的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于下图示：

版权所有违者必究41第二章第1讲1讲抽样序列的Z变换表示Z变换与拉氏变换的关系抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上的特例，按照前面的S→Z平面的映射关系，它映射到Z平面=1的单位圆上，故有或定义：Z平面的角变量，称为数字频率，单位为弧度。版权所有违者必究42第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的定义§2序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用{

}作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用{

}对模拟信号进行展开相似。版权所有违者必究43第二章第1讲1讲§2序列的傅立叶变换

1．序列傅立叶正变换

x(n)的傅立叶变换定义如下:

是的连续函数。但由于其中M为整数，故有

可见还是的周期函数，周期为2。

版权所有违者必究44第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的定义2．序列傅立叶变换与Z变换的关系

比较后可见：序列的傅立叶变换是Z变换在时的Z变换，即Z变换在的单位圆上的特殊情况。序列的傅立叶变换式：

序列的Z变换定义式：

版权所有违者必究45第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的定义由于单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。

版权所有违者必究46第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的定义一般为的复变函数，可表示为:

其中，分别为的实部和虚部；通常称为序列的幅频特性或幅度谱，而称为相位谱，并且有：显然都是的连续函数和周期为2的周期函数。版权所有违者必究47第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的定义3．序列的傅立叶反变换

4．序列的傅立叶变换的收敛条件

即序列绝对可和该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非必要条件有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见后例。某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数，其傅立叶变换也存在。如、某些周期序列，见后例。

版权所有违者必究48第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的定义5．常用序列的傅立叶变换

序列傅立叶变换版权所有违者必究49第二章第1讲1讲典型例题已知，求它的傅立叶变换。

解：其幅度谱和相位谱分别为：例1版权所有违者必究50第二章第1讲1讲典型例题例2已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。

解：显然序列不是绝对可和的，而是平方可和的，但其依然存在傅立叶变换。Parseval定理版权所有违者必究51第二章第1讲1讲典型例题例3证明复指数序列的傅立叶变换为：

证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数的性质，有：若序列为复指数和的形式：

推论版权所有违者必究52第二章第1讲1讲典型例题例4求余弦序列的傅立叶变换

解：可见：序列的傅立叶变换表现为在处的冲击，强度为，并以2为周期进行周期延拓。

利用上例结论版权所有违者必究53第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的性质下面所列出的性质都可直接由Z变换令得到，可自行证明。因序列的傅立叶变换是Z变换在的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。版权所有违者必究54第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的性质线性性序列的移位频域的相移序列的反褶版权所有违者必究55第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的性质序列的共轭频域微分性对时域信号进行线性加权对应于频域的微分时域卷积定理版权所有违者必究56第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的性质频域卷积定理（序列相乘）序列相关推论序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱---维纳-辛欠定理版权所有违者必究57第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的性质Parseval定理该定理表明：信号在时域中的能量等于频域中的能量重抽样序列的傅立叶变换该性质表明：重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了M倍，并将展宽后的频谱以为周期扩展了M个，幅度则下降到原来的1/M。版权所有违者必究58第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的对称性序列的共轭对称性质若序列满足

则称为共轭对称序列类似地，若序列满足

则称为共轭反对称序列

任何序列均可表示成上述两种序列之和，其中版权所有违者必究59第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的对称性若将共轭对称序列用它的实部和虚部来表示：此式表明：的实部是n的偶函数，而虚部是n的奇函数；的实部是n的奇函数，而虚部是n的偶函数。

序列傅立叶变换的共轭对称性质将分成实部与虚部

共轭对称部分共轭反对称部分版权所有违者必究60第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的对称性上式表明：的傅立叶变换对应于的实部；的傅立叶变换对应于的虚部(加上j在内)。版权所有违者必究61第二章第1讲1讲序列傅立叶变换的对称性结论：

具有共轭对称性质，具有共轭反对称性质。若序列为纯实数序列，即若

所以实序列x(n)的傅立叶变换的实部是w的偶函数，而虚部是w的奇函数；幅度是w的偶函数，而相位是w的奇函数推论若序列为纯虚数序列，即若所以纯虚数序列的傅立叶变换是w的奇函数。

版权所有违者必究62第二章第1讲1讲§3离散时间系统变换域分析

系统函数因果稳定系统系统函数的零极点与频率响应63第二章第1讲系统函数系统函数与系统的频率响应本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的变换域分析方法，它们分别是h(n)的Z变换和傅立叶变换。1、系统函数：若系统单位脉冲响应为h(n)，则线性时不变离散系统零状态响应的输入输出关系为：两边取Z变换得

称H(z)为线性时不变离散系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换

，即：版权所有违者必究64第二章第1讲1讲

2、系统的频率响应（传输函数）系统函数在单位圆上的Z变换，即单位脉冲响应的傅立叶变换称为系统的频率响应，又称为系统的传输函数。传输函数若给系统输入单频率的复信号，则系统的输出为：物理意义结论：当输入为一个单频率的信号时，输出亦为同一频率的信号，但其幅度与相位都因为的加权而发生了变化，且的值是随频率的变化而变化的。版权所有违者必究65第二章第1讲1讲

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续1）因果：2）稳定：序列h(n)绝对可和，即而h(n)的z变换的Roc：一、因果稳定系统系统的因果性与稳定性版权所有违者必究66第二章第1讲1讲系统的因果性与稳定性例：若系统函数如下式，判断系统的因果性和稳定性。

H(z)有2个极点，和，给定的收敛域为，包括无穷远点，故系统为因果系统。但收敛域不包括单位圆，因此系统是不稳定的。

解：3）因果稳定：Roc：H(z)须从半径小于1的圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内.版权所有违者必究67第二章第1讲1讲若将收敛域改为，这时，收敛域包括单位圆，但不包括无穷远点，此时系统稳定但非因果。实际上这时系统的单位脉冲响应为，显然不是因果的。该例表明:①同一个系统函数，如果收敛域不同，系统的特性是完全不同的。②由于任何物理可实现系统都必定是因果的，对于这种非因果但稳定的系统，有时可采用将单位脉冲响应截取一段后保存在存储器中，通过延时使之变成因果系统来近似实现。版权所有违者必究68第二章第1讲1讲如该例中，若将截取从的一段，然后令：来近似实现，如图所示。显然N越大，近似程度越好，但系统也就越复杂成本也越大。版权所有违者必究69第二章第1讲1讲版权所有违者必究70第二章第1讲1讲二、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：取z变换则系统函数版权所有违者必究71第二章第1讲1讲版权所有违者必究72第二章第1讲1讲版权所有违者必究73第二章第1讲1讲版权所有违者必究74第二章第1讲1讲版权所有违者必究75第二章第1讲1讲三、系统的频率响应的意义1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：在稳态下，输入为复指数时，输出也含有复指数