第三章 复变函数的积分(余家荣2014)

第三章复变函数的积分§1

柯西定理一.复变函数的积分二.引理原函数与不定积分三.柯西定理§2

柯西公式一.柯西公式二.高阶导数公式四.莫勒拉(Morera)定理目录上页下页返回结束四.复合闭路定理三.柯西不等式与刘维尔定理目录上页下页返回结束主要内容1.

复变函数积分的概念、性质、计算法2.复合闭路定理解析函数的导数仍是解析函数高阶导数公式几个引理柯西定理柯西积分公式Morera定理柯西定理的逆定理柯西不等式,刘维尔定理目录上页下页返回结束一.

复变函数的积分1.定义1.1:函数w=f(z)定义在区域D内,一条光滑有向曲线,(1)分割，插入n-1个分点§1、柯西定理(2)求局部近似值(3)求和并取极限z0为起点,z为终点.其中C是D内的目录上页下页返回结束如果无论对C怎样的分法，ζk

怎样的取法,极限都存在，若C为封闭曲线，则记为则称该极限值为f(z)在C上的积分,

记为即:①.计算方法令则：复变函数的积分可以化为u(x,y),v(x,y)的曲线积分.目录上页下页返回结束该方法主要针对被积函数不是解析函数的积分,例如2、说明目录上页下页返回结束【例1.1】设C为从0到1+i的直线段,求目录上页下页返回结束②f(z)在C上连续,则存在.Proof:

因为f(z)在C上连续,则u(x,y),v(x,y)在C上连续从而存在,也存在.所以目录上页下页返回结束③如果曲线C用参数方程表示,其中t0对应点z0,T对应点z,

黎曼积分的形式.则上积分可以写成目录上页下页返回结束3.复变函数积分的性质①.线性性②.有向性③.可加性C=C1+C2(其中C,C1,C2同方向)推广目录上页下页返回结束④有界性若f(z)在C上满足|f(z)|≤M,则(其中L为C的长度)推广(其中C,C1,…,Cn同方向)目录上页下页返回结束【例1.2】设C为从原点到点A(3,4)的直线段,求模的一个上界.解:由有界性,求出L,M即可(3,4)340目录上页下页返回结束【例1.3】设C是圆周|z-α|=ρ>0的正向,α为复数,求解：设,于是目录上页下页返回结束【例1.4】设C为连接z0,z两点的简单曲线，求解:目录上页下页返回结束积分与路径无关由例1.4积分与路径无关C-R条件

f(z)解析且u,v

可微积分与路径无关事实上,只要被积函数f(z)解析,则积分与路径无关且

u,

v可微

积分与路径无关积分与路径无关目录上页下页返回结束二.

引理、原函数与不定积分1.引理2.1:设f(z)是单连通区域D内的解析函数,C是D内的一个多角形周界,那么(一).引理目录上页下页返回结束(二).原函数与不定积分1.De2.1:设f(z),Φ(z)是区域D内的函数,并且Φ(z)解析如果在D内有,则称Φ(z)是f(z)的一个原函数或不定积分.ez是ez的一个原函数lnz是1/z的一个原函数-

cosz是sinz的一个原函数

sinz是cosz的一个原函数目录上页下页返回结束3.De2.2:设f(z)在D内连续,为变上限函数.则称4.引理2.2:f(z)在D内有原函数.积分上限为z,下限为α,设f(z)是在凸区域D内的解析函数,那么Proof:设F(z),Φ(z)为f(z)的任意两个原函数2.结论:任意两个原函数相差一个常数.即：目录上页下页返回结束引理2.2:设f(z)是在凸区域D内的解析函数,则f(z)在D内有原函数.Proof:取定α∈D,任取z0\{α}∈D,z\{α,

z0}∈D,令所以连接

α,z0,z由引理2.1因为D是凸区域,的三角形包含在D内,于是由例1.4目录上页下页返回结束由于f(z)在z0处连续,所以使得又从而在

α

点,由仿照上面的证明,得因此F(z)是f(z)在D内的原函数.目录上页下页返回结束复变函数的牛顿-莱布尼兹公式原函数F(z),如果α

,

β

∈D,并且C是在D内连接α

及β

的一条曲线,那么证明:如果C是光滑曲线z=z(t)(a≤t≤b),z(a)=α,z(b)=β,则设f(z)是在区域D内的连续函数,并且在

D内有5.引理2.3:目录上页下页返回结束解：【例1.5】计算积分作业P5（1,2）目录上页下页返回结束补充题:其中C是圆周|z|=2的正向计算积分提示：利用及例1.3目录上页下页返回结束三.

柯西定理(CauchyTh)1.定理3.1.设f(z)是单连通区域D内的解析函数(1).设C是D内任一条简单闭曲线,那么(2).设C是在D内连接

z0,z两点的任意一条简单曲线,那么沿

C从

z0到z的积分值由z0到z点两点决定,而不依赖曲线C,该积分仍记为f(z)在单连通区域D内解析,则积分与路径无关目录上页下页返回结束证明:(1)在D内找到有限个圆盘由于C是一个紧集,故可以并用F1(z)F2(z),…,K1,K2,…

,Kn-1覆盖C,因圆盘是凸区域,由引理2.2f(z)在K1,K2,…,Kn-1内有原函数,Fn-1(z)表示f(z)在这些圆盘上的原函数,取目录上页下页返回结束其中是在C上依反时针方向取的,于是引理2.3引理2.3引理2.1所以(1)成立.目录上页下页返回结束证明:(2)设C1是在D内另一条连接

z0,z两点的简单曲线,记由(1)则有所以只与起点z0终点z有关与路径C无关,(2)成立2.定理3.1'.设C是一条简单闭曲线,f(z)在以C为边界的有界闭区域上解析,则目录上页下页返回结束3.定理3.2:f(z)在D内有原函数.4.复变函数的牛顿-莱布尼兹公式设f(z)是单连通区域D内的解析函数,f(z)在D内有原函数F(z),如果α,β∈D,则设f(z)是单连通区域D内的解析函数,那么被积函数在积分区域内不解析,不能用牛顿·莱布尼兹公式目录上页下页返回结束5.换元积分法6.分部积分法设f(z),g(z)在单连通区域D内解析,α,β∈D,则设f(z),g(z)在单连通区域D内解析,f(z)在D内有原函数F(z),如果α,β∈D,则注意:求积分一定是在解析函数的某个解析分支上求.目录上页下页返回结束【例1.6】设D是不含α的单连通区域,z0,z∈D,求解:当m≠1时当m=1时其中对数理解为Ln(z-α)在D内的一个解析分支在z0,z的值,并且在D内没有割线.(*)目录上页下页返回结束特别设D是沿α出发的任何射线作为割线而得的区域仍然有(*)成立.其中对数理解为Ln(z-α)在D内的一个解析分支在

z0,z的值.z0,z∈D,则目录上页下页返回结束【例1.7】计算下列积分积分路径为任意曲线积分路径为不过1的任意曲线其中对数理解为Ln(z-1)的一个解析分支在

a,b

的值.目录上页下页返回结束(被积函数取的解析分支)的解析分支为k=0在|z|=1上解:在|z|=1内lnz在z=0处不解析，取正实轴为割线【例1.8】计算下列积分,其中C:|z|=1的正向目录上页下页返回结束(被积函数取的解析分支)的解析分支为k=1,在|z|=1上解:在|z|=1内在z=0处不解析，取正实轴为割线目录上页下页返回结束四.

复合闭路定理1.设D由n+1条简单闭曲线C0

,C1,…,Cn围成,为外曲线

C1,C2…,Cn为内曲线,且内曲线围成的区域其中C0设f(z)在上解析,设C表示D的全部边界,

两两不相交,那么其中C是区域

D的正向.即C0

是逆时针方向,C1,…,Cn是顺时针方向目录上页下页返回结束2.

复合闭路定理的推广设简单闭曲线C内有n个奇点z1,z2,…,zn

,则：且作n个闭曲线C1,C2,…,Cn除特别声明外,以后我们写出沿简单闭曲线的积分,都是按反时针方向取的.沿区域边界的积分,都是按区域正向取的.曲线C围成的区域其中C,C1,C2,…,Cn取曲线正向.目录上页下页返回结束3.

复合闭路定理的推广的应用α包含在C中,且n为整数时有：推广：结论：C是以α为中心

,ρ为半径的正向圆周，且n为整数时有：目录上页下页返回结束【例1.9】计算下列积分3202020e解析为奇点为奇点目录上页下页返回结束01c1c2目录上页下页返回结束【例1.10】计算积分其中区域逆时针和顺时针方向的简单曲线.C1,C2是圆环D内从z0到z1沿解:取定Argz在z0的值为argz0.当z从z0沿C1连续变动从z0沿C2连续到z1时,z的辐角从

argz0连续变动到argz1;变动到z1时,z的辐角从

argz0连续变动到argz1-2π.令则五.多连通区域内的不定积分(注意:不能用CauchyTh)目录上页下页返回结束从而从而事实上由求出一个积分,容易得出另一个积分.目录上页下页返回结束【例1.11】证明,C为连接-i到i的线段.解:作业P567(1)(2)ln=2πi.9(3).10.目录上页下页返回结束补充题:1.计算积分目录上页下页返回结束一.

柯西公式1.定理4.1:设D是以有限条简单闭曲线C§2、柯西公式(C由C0,C1,C2组成)为边界的有界区域.那么在D内任一点z,有设f(z)在D及C所组成的闭区域上解析,(*)(*)称为柯西公式或柯西积分公式(*)还可以写为目录上页下页返回结束证明:以z为圆心作一包含在D内的闭圆盘,得一闭区域在上解析,则由复合闭路定理设其半径为ρ,边界为圆Cρ.在D内挖去Cρ为边界的圆盘,并且该积分与ρ无关,又目录上页下页返回结束因为在z处连续,则时,从而即于是,使得当∵积分与ρ无关,∴目录上页下页返回结束【例2.1】解:z=±i为奇点,（如图所示）求积分其中C:|z|=2的正向i-i02方法一:方法二:目录上页下页返回结束【例2.2】设C为椭圆的正向,设求解:由C围成的开区域记为D,由柯西定理,柯西积分公式知1+i2-3i023目录上页下页返回结束2.定理4.2:在定理4.1的假设条件下,f(z)在D内任意阶可导,并且其导数为3.系4.1:设函数f(z)在D内解析,阶导数.(**)称为高阶导数公式(**)还可以写为(**)二.

高阶导数公式则f(z)在D内有任意目录上页下页返回结束解:∵f(z)=cos(zπ)解析【例2.3】求下列函数的积分其中C:|z|=r>1目录上页下页返回结束其中C:|z|=r,1<r<20-2-1解:z=0,z=-1是奇点,由复合闭路定理目录上页下页返回结束解:z=0为奇点,所以【例2.4】设f(z)在|z|≤1上解析,且f(0)=1,求积分目录上页下页返回结束解:一方面由|z|=1,z=eiθ,所以【例2.5】通过计算证明目录上页下页返回结束另一方面由高阶导数公式所以作业P565.目录上页下页返回结束补充题:3.求积分2.设f(z)在区域D内解析,C是D内的任意一条简单闭曲线,从而证明证明对于D内但不在C上任意一点z0,下列等式成立.其中C为不经过a,-a的正向1.计算积分简单闭曲线,a

为任意复数.目录上页下页返回结束1.定理4.3:设f(z)在以为边界,则证明:由高阶导数公式,在闭圆盘C上(柯西不等式)的闭区域上解析,设其中Cp是圆所以即三.

柯西不等式与刘维尔定理或目录上页下页返回结束设函数f(z)在|z|≤r内解析且有界M,证明【例2.6】设

z0

是|z|<r

内的任一点,在闭圆盘利用柯西不等式,上立即得到由

z0

的任意性得:Proof:目录上页下页返回结束2.定义:在整个复平面上解析的函数f(z)称为整函数.3.定理4.4:(刘维尔Th)其逆也真

常数是有界整函数逆否

非常数的整函数必无界证明:设f(z)是有界整函数,则使得又f(z)在上解析,由柯西不等式得,由ρ的任意性,从而f(z)在C上有界整函数一定恒等于常数令ρ→+∞,可见恒等于常数.目录上页下页返回结束设f(z)为一整函数,且对所有的z有Ref(z)<M.【例2.7】证明:令F(