八年级一元一次不等式(教师讲义带答案)

第四章元一不式()考一不式概分1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法考二不式本质分1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为，否则不等式不成立；考三一一不式）1、一元一次不等式的概念：般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（）将x项的系数化为1考四一一不式分1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式不等式组不等式：①用符号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等/

号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。经例透析类一解一一不等组1、解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来。思点：求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。解：不等式①，得x－；解不等式②，得x＜1。所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。总升：数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，等号画空心圆圈。举反：【变式1】不等式组：解：不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：/

∴原不等式组的解集为：【变式2】不等式组：思点：理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数未规定；（2）在同一不等式组里的未知必须是同一（3）注意在数轴表示解集时“心点”与“实心点”的区别解一解等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解二解等式②，得：解不等式③，得：由再与

与

得：求公共解集得：.【变式3】不等式组：/

解析：解不等式①得：x＞解不等式②得：x＜∴不等式组的解集为无解【变式4】不等式：－1＜≤5思点：把写不等式转化为等式组求解(2)据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。解1原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，不式②，得x≤8所以不等式组的解集为－。即原不等式的解集为1＜x解2－1＜≤5－3＜2x－1≤15－2＜2x，－1＜x≤8。所以原不等式的解集为－1＜x≤8总升：于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】不等式组

的整数解。思点：照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。解：不等式①，得x≥；不等式②，得≤4在数轴上表示不等式①②的解如图)/

所以不等式组的解集为≤x。所以它的整数解为。类型二、参数的一元次不等式组2、若不等式组

无解，求a的值范围.思点：两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，即“大大小小”，也就是说如果x比一个较大的数大，而比一个较小的数小，则这样的数x不在解：题意：2a-5≥3a-2，解得a

≤-3总升：别地，当与相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考.举反：【变式1】不等式组

无解，则

的取值范围是什么？解：使不等式组无解，故必须

，从而得.【变式2】关于

的不等式组

的解集为，的取值范围是什么？解：而由

+1可出可解出

，，而不等式组的解集为

，故即

，.总升：面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式中所含字母的取值范围，故要求较解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2，后归结为对不等式组求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。

解集的确定，这就要/

【变式3】等式组

的解集为x＜2试求k的取范.解：

，由①得x由②得x＜k∵不等式组的解集为＜2∴2≤即≥2.【变式4】知关于的等式组解：不等式组的解为不等式组的解为

的整数解共有5个，求

的取值范围。由于原不等式组有解，∴解集为在此解集内包含5个数，则这个整依次是∴必满足【变式5】不等式组解：①知x＞a＋2，由②知x，

的解集为－＜x＜1，则(a＋b)＝＿＿＿。∵a＋2＝－1，＝1，∴a＝－3，b＝2∴a＋b＝－1，＋b)＝(－1)＝1类型三、立不等式或等式组解决际问题3、某校在一次外出郊游中，把生编为个组若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过人；若每组比预定的人数少1人，则学总数不到190人，预定每组学生的人数。思点：用不等式解应用题的方法，找出题目中的不等关系，列不等式组，本题中的两个不等关是：①9个小组中每组比预定的人数多1人，生总数超过200；②9个组每组比预定的人数少1人，学生总数不到190人。解：预定每组学生有x人，据题意，得/

解这个不等式组，得，以不等式组的解集是，其中符合题意的整数解只有一个x。答预定每组学生的人数为22人。总升：不等(组解应用题，先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。举反：【变式1】饮料厂为了开发新产品，用两种果汁原料各19千克17.2千克，试制甲、乙种新型饮料共50千，下表是试验的相关数据：饮料每千克含量A（单位：千克）B（单位：千克）

甲0．50．3

乙0．20．4（1）假设甲种饮料需配制x千，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。（2）设甲种饮料每千克成本为4元，种饮料每千克成本为3元这两种饮料的成本总额为y元，请用含有x的子来表示y。并根据（）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮的成本总额最小？解：（10.5x+0.2(50-x)≤19①0.3x+0.4(50-x)≤17.2②由①得x由得x≥28∴28≤30（2，即因为x越，则y越小所以当x=28时甲、乙两种饮料的成本总额最少。【变式2】某园林的门票每张10，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持人使用一年）。年票分A、B、C三类：类票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票B类票每张60，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C年票每张40元持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次。（1）如果你只选择一种购买门的方式，并且你计划在一年中用80元花该园林的门票上，试过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少少次时，购买A年票才比较合算。思点：“算”是指进园次数多而花钱少，或是花相同的钱进园的次数最多，显然是通过计算进行代数式比较和建立不等式（组）关系。解（1）不可能选A类年，若选B类票，则为10次若选C类票，则为13次若不购买年票，则为8次所以计划用80元花该园林的门票上时，选择购买年票的方法进入园林的次数最多，为13次（2）设至少超过x次，购买年票才比较合算，则60+2x＞120解x＞3040+3x＞120解得x＞26/

解得x＞12∴x＞30所以，一年中进入该园林至少超过30时，购买年票才比较合算。【变式3】若干名学生，若干间舍，若每间住4将有人无法安排住处；若每间住8人则一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？解析：设宿舍共有x间。解得：5＜x＜7∵x为整数∴x＝6学生人数4×6＋20＝44(人)答：学生44人宿舍6间【变式4】某学校计划组织385名生租车旅游，现知道出租车公司有42座和60座客车，42座车的租金为每辆320元，60座客的租金为每辆元，（1）若学校单独租用这两种客各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选最节省的租车方案。解析：）385÷42≈9.2单租用42座客车需10辆，金为320×10＝3200(元)385÷60单租用60座车需辆，金为＝3220(元（2）设租用42座车x辆，60座车(辆解得：因x取数x＝4，5当x＝4时，租金为320×4－4)＝3120()当x＝5时，租金为320×5－5)＝2980()所以租5辆42座，3辆60座省钱。【变式】解程。绝对值的几何意义知，该程表示求在数轴上与1和－的距之和为5的对应的的值。在数轴上和2的距为3，满足方程的x对点在右边或－2的边，若x对应点在1的边，由图17）可以看出x＝2同理，若x对点－的左，可得＝，故原方程的解是或－3/

参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程

的解为（2）解不等式

≥9；/

（3）若

≤a对任的x都立，求a的取范围解）1或

．（2）

和

的距离为7，/

因此，满足不等式的解对应的点

的两侧．当

在3的右时，如图（易知

．/

当图（2

在

的左边时，如易知

．/

原不等式的解为

或（3）原问题转化为：

大于或等于/

最大值．当

时，

，当

，

随/

的增大而减小，当

时，

，即

的最大值为7．/

故．12分一次不等（组）中参取值范围求解巧(提部分)已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。一化不式组，较式解例．不等式

的解集为，k值解化不等式，得x≤5k，比较知解集例．（2014年东威海市中考题）若不等组A、m≥3B、m=3C、m<3、m≤3

，得，。的解集是x>3，则m的值范围（）解化不等式组，得

，比较已知解集x>3，得3≥m,选。例．（2014年庆市中考题）若不等式组

的解集-1<x<1，那么a+1)(b-1)的等于____。解化不等式组，得∵它的集-1<x<1，∴∴(a+1)(b-1)=-6.

也为其解集，比较得/

评：一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数），比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。二结性、照解例．（2014年江苏盐城市中考题）知关于x不等(1-a)x>2的集为A、a>0BC、a<0、a<1解对已知解集，结合不等式性3：1-a<0,即a>1选。

，则a的值范围是（）例．（2014年北荆州市中考题）若不等组

的解集是，则a的值范围（）。A、a<3BC、a>3、a解根定不等式组解集法则：“大取较大”，对照已知解集x>a,得a≥3,∴选D。变（2014年重庆市初数赛题）关x的不等(的解集是集为______。三利性，类解

，则关于x的等式ax+b<0的解例．知不等式

的解集是，的值范围。解由集

得x-2<0,脱去绝对值号，得。当a-1>0时，解集

与已知解集

矛盾；当a-1=0时，为0·x>0无；当a-1<0时，解集∴

与解集

等价。例．不等式组

有解，且每一个解x均不在1≤x范围内，求取值范围。解化不等式组，得∵它有解，∴5a-6<3aa<3；用解集性质，题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内。于是分类求解，当x<-1时得当时得a>2。故

，或2<a<3为求。/

评：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在a≤x<b范围内的不等式()也可分x<a求解(2)要细心体验所列不等式中是能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。四借数，析解例8山东聊城中考题关的不等式组

的整数解共5个a的取范________解化不等式组，得

有解，将其表在数轴上，如图1，其整数解个必x=1,0,-1,-2,-3由图得：-4<