【优化方案】高考数学总复习 第4章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用精品课件 文 新人教B

第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考第3课时双基研习•面对高考基础梳理1．两个向量的夹角(1)定义非零(2)范围向量夹角θ的范围是______________，a与b同向时，夹角θ＝____；a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是_______，则a与b垂直，记作__________.0°≤θ≤180°0°90°a⊥b思考感悟提示：不正确．求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.

2．数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则__________叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝____________；(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．|a||b|·cosθ|a||b|·cosθ思考感悟2.向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？提示：当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定：当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.|a|cosθ|a||b|－|a||b||a|2a·b＝04．数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝_________＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝___________.λ(a·b)a·c＋b·cx1x2＋y1y2x2＋y2x1x2＋y1y2＝0课前热身1．设向量a＝(－1,1)，b＝(－3,5)，则(a·b)(a＋b)等于()A．(－32,48)B．(－32，－48)C．(32,48)D．(32，－48)答案：A答案：B答案：C4．(教材习题改编编)已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．答案：－25．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影影是________．答案：1考点探究·挑战高考考点突破考点一平面向量数量积的运算平面向量数量量积的运算有有两种形式，，一是依据长长度与夹角，，二是利用坐坐标来计算，，具体应用哪哪种形式由已已知条件的特特征来选择．．例1【思路分析】(1)作出三角形，，找出向量夹夹角，利用数数量积公式求求解．(2)写出向量坐标标，代入公式式求解．【规律小结】向量的数量积积的运算结果果是一个数量量，平面向量量数量积的运运算类似于多多项式的乘法法．我们遇到到求向量的模模时，可先求求向量模的平平方，再通过过向量数量积积的运算求解解．互动探究若本例(1)中将等边三角角形改为等腰腰直角三角形形，∠C＝90°，又将如何求求解？考点二平面向量的夹角例2【规律小结】求向量的夹角角时要注意：：(1)向量的数量积积不满足结合合律；(2)数量积大于0说明不共线的的两向量的夹夹角为锐角，，数量积等于于0说明两向量的的夹角为直角角，数量积小小于0且两向量不共共线时两向量量的夹角关系系是钝角．考点三两向量的平行与垂直关系向量的平行、、垂直都是两两向量关系中中的特殊情况况，判断两向向量垂直可以以借助数量积积公式．如果果已知两向量量平行或垂直直可以根据公公式列方程(组)求解．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|a＋b|，|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?例3(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.【方法总结】(1)非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的的性质，它对对于解决平面面几何图形中中有关的垂直直问题十分有有效，应熟练练掌握．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．平面向量与三三角函数的结结合，仍然是是以三角题型型为背景的一一种向量描述述．它需要根根据向量的运运算性质将向向量问题转化化成三角函数数的相关知识识来解答，三三角知识是考考查的主体．．考点四平面向量与三角函数例4【误区警示】在解答本题(2)的过程中，往往往先求解a、b的值，使解题题过程繁琐，，原因是忽视视了整体代换换的思想方法法．方法感悟方法技巧1．数量积a·b中间的符号““·”不能省略，也也不能用“×”来替代．2．要熟练类似似(λa＋μb)·(sa＋tb)＝λsa2＋(λt＋μs)a·b＋μtb2的运算律(λ、μ、s、t∈R)．3．求向量模的的常用方法：：利用公式|a|2＝a2，将模的运算算转化为向量量数量积的运运算．4．一般地，(a·b)c≠(b·c)a，即乘法的结结合律不成立立．因a·b是一个数量，，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，，而a与c不一定共线，，故一般情况况下(a·b)c≠(b·c)a.失误防范1．零向量：(1)0与实数0的区别，不可可写错：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任任意的，并并非没有方方向，0与任何向量量平行，我我们只定义义了非零向向量的垂直直关系．2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能能a⊥b.3．a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律律不成立．．考向瞭望·把脉高考考情分析通过对近几几年高考试试题的分析析，向量的的数量积及及运算律一一直是高考考数学的热热点内容之之一，对向向量的数量量积及运算算律的考查查多为一个个小题；另另外作为工工具在考查查三角函数数、立体几几何、平面面解析几何何等内容时时经常用到到．整个命命题过程紧紧扣课本，，重点突出出，有时考考查单一知知识点；有有时通过知知识的交汇汇与链接，，全面考查查向量的数数量积及运运算律等内内容．预测2012