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第5课时二次函数与幂函数第5课时二次函数与幂函数考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1.二次函数的解析式有三种常用表达形式(1)一般式:f(x)=__________________;(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是顶点;(3)标根式(或因式分解式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);其中x1,x2分别是f(x)=0的两实根.ax2+bx+c(a≠0)2.二次函数的图象及其性质减增思考感悟1.二次函数会为奇函数吗?提示:不会为奇函数.3.幂函数的定义形如______
(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是_______,α为_____.y=xα自变量常数思考感悟2.幂函数与指数函数有何不同?提示:本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置.4.幂函数的性质R[0,+∞)[0,+∞)增增奇奇奇(0,0),(1,1)(1,1)考点探究·挑战高考求二次函数的解析式考点一考点突破利用已知知条件求求二次函函数的解解析式,,常用的的方法是是待定系系数法,,但可根根据不同同的条件件选用适适当形式式求f(x)的解析式式.(1)若已知三三个点坐坐标时,,宜用一一般式..(2)若已知抛抛物线的的顶点坐坐标或与与对称轴轴、最大大(小)值有关时时,常使使用顶点点式.(3)若已知抛物线线与x轴有两个交点点,且横坐标标已知时,选选用标根式求求f(x)更方便.已知二次函数数f(x)的二次项系数数为a,满足不等式式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等实实根,求f(x)的解析式.【思路分析】】f(x)与f(x)+2x的二次项系数数相等,由f(x)+2x>0的解集为(1,3),可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3).例1【解】∵f(x)与f(x)+2x的二次项系数数相等,∴f(x)+2x的二次项系数数为a.又∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0),∴f(x)=a(x2-4x+3)-2x=ax2-(4a+2)x+3a.∵方程f(x)+6a=0有两个相等实实根,【名师点评】】求二次函数的的解析式的关关键是待定系系数,由题目目的条件,合合理地选择二二次函数解析析式的表达式式形式.求二次函数的最值考点二求二次函数的的最值必须认认清定义域区区间与对称轴轴的相对位置置以及抛物线线的开口方向向(即二次函数中中二次项系数数的正负),然后借助于于二次函数的的图象或性质质求解.因此此,定义域、、对称轴及二二次项系数是是求二次函数数的最值的三三要素.函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记记为g(t).(1)试写出g(t)的函数表达式式;(2)作g(t)的图象并写出出g(t)的最小值.例2【规律小结】二次函数区间间最值主要有有三种类型::轴定区间定定,轴定区间间动和轴动区区间定.一般来说,讨讨论二次函数数在闭区间上上的最值,主要是看区间间是落在二次次函数的哪一一个单调区间间上,从而应应用单调性求求最值.互动探究将本例变为已已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,求a的值.幂函数考点三(1)在(0,1)上,幂函数的的指数越大,,函数图象越越靠近x轴(简记为“指大图低”),在(1,+∞)上,幂函数的的指数越大,,函数图象越越远离x轴.(2)作幂函数的图图象要联系函函数的定义域域、值域、单单调性、奇偶偶性等,只要要作出幂函数数在第一象限限内的图象,,然后根据其其性质就可作作出幂函数在在其定义域内内完整的图象象.例3【思路分析】】先用待定系数数法求幂函数数的解析式,,然后利用g(x),f(x)的图象,求x的取值范围..【失误点评】】容易失误的原原因:(1)幂函数g(x)的图象只画出出第一象限的的部分.(2)忽略g(x)=x-2的定义域为{x|x≠0}.方法感悟方法技巧2.二次函数、、二次方程、、二次不等式式之间可以相相互转化(如例2).一般规律::(1)在研究一元二二次方程根的的分布问题时时,常借助于于二次函数的的图象数形结结合来解,一一般从①开口方向;②对称轴位置;;③判别式;④端点函数值符符号四个方面面分析.3.幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本本质特征是以以幂的底x为自变量,指指数α为常数,这是判断一个个函数是否是是幂函数的重重要依据和惟惟一标准.应应当注意并不不是任意的一一次函数、二二次函数都是是幂函数,如如y=x+1,y=x2-2x等都不不是幂幂函数数.失误防防范1.研究究二次次函数数的性性质要要注意意二次次项系系数a的正负负,及及对称称轴的的位置置、两两点不不应忽忽视..2.幂函函数的的图象象一定定会出出现在在第一一象限限,一一定不不会出出现在在第四四象限限,至至于是是否出出现在在第二二、三三象限限,要要看函函数的的奇偶偶性;;幂函函数的的图象象最多多只能能同时时出现现在两两个象象限内内;如如果幂幂函数数图象象与坐坐标轴轴相交交,则则交点点一定定是原原点..考向瞭望·把脉高考考情分析从近几几年的的广东东高考考试题题来看看,二二次函函数图图象的的应用用与其其最值值问题题是高高考的的热点点,题题型多多以小小题或或大题题中关关键的的一步步的形形式出出现,,主要要考查查二次次函数数与一一元二二次方方程及及一元元二次次不等等式三三者的的综合合应用用,注注重考考查图图象与与性质质的灵灵活运运用..而幂幂函数数一般般不单单独命命题,,而常常与指指数函数数、、对对数数函函数数交交汇汇命命题题,,题题型型一一般般为为选选择择题题、、填填空空题题中中的的一一部部分分内内容容,,主主要要考考查查幂幂函函数数的的图图象象及及性性质质..预测测2012年广广东东高高考考中中以以二二次次函函数数为为命命题题落落脚脚点点的的题题目目仍仍将将是是一一个个热热点点,,重重点点考考查查数数形形结结合合与与等等价价转转化化两两种种数数学学思思想想..(2010年高高考考广广东东卷卷)(本题题满满分分12分)已知知函函数数f(x)对任任意意实实数数x均有有f(x)=kf(x+2),其其中中常常数数k为负负数数,,且且f(x)在区区间间[0,2]上有有表表达达式式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1),f(2.5)的值值;;(2)写出出f(x)在[-3,3]上的的表表达达式式,,并并讨讨论论函函数数f(x)在[-3,3]上的单调调性;(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小小值与最最大值,,并求出出相应的的自变量量的值..规范解答例【名师点点评】本题考查查函数解解析式的的求法,,二次函函数与分分段函数数的单调调性以及及最值,,考查作作差法比比较大小小及分类类讨论思思想,考考查推理
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