随机抽样【新教材】2022年人教A版高中数学必修讲义（机构适用）

高中数学必修第二册第九章统计（人教A版2019）随机抽样【基础梳理】要点一、像人口普查那样，对每一个调查对象都惊醒调查的方法，称为全面调查，又称普查.在一个调查中，我们把调查对象的全体成为总体，组成总体的每一个调查对象成为个体.

从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.

要点二、简单的随机抽样

一般地，设一个总体含有N

(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n

(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进人样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，,

.，，则称

==

为总体均值，又称总体平均数，如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记

为，,

...，其中;出现的频数:

(i=1,

2,

....k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式

=

如果从总体中抽取-一个容量为n的样本，它们的变量值分别

为，，...

，则称

为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数

为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.

要点三、分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.【课堂探究】例1.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,⋅⋅⋅,599,600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第328432若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（

）A.

522

B.

324

C.

535

D.

578【答案】D【解析】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故答案为：D．【分析】由已知利用随机数表读数，即可求出满足条件的第6个编号.例2下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是(

)A.

某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈

B.

从10台冰箱中抽出3台进行质量检查

C.

某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量

D.

从50个零件中抽取5个做质量检验【答案】C【解析】A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．

故答案为：C.【分析】由分层抽样的特点可以得到答案。【课后练习】1.某大学中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（

）A.

100人

B.

60人

C.

80人

D.

20人【答案】C【解析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本,

则应抽二年级的学生人数为：45+4+3+1×260=80(人).

故答案为：C.

【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，利用二年级的所占的比数除以所有比数的和再乘以样本容量即可求出2.某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（

）A.

32人

B.

56人

C.

104人

D.

112人【答案】C【解析】样本中业务员的人数为20-7=13设该单位的业务员人数为n，由题意可得n160=1320故该单位的职工中业务员的人数为104人.故答案为：C.【分析】设该单位的职工中业务员的人数为n，计算出样本中业务员的人数，根据题意列等式解出n的值.3.S大学艺术系表演专业的报考人数连创新高，2010年报名刚结束，某考生想知道这次报考该专业的人数．已知该专业考生的考号是按0001，0002，⋅⋅⋅的顺序从小到大依次排列的，他随机了解了50名考生的考号，经计算，这50个考号的和是25025，估计2010年报考S大学艺术系表演专业的考生大约有（

）A.

2000人

B.

1500人

C.

1000人

D.

500人【答案】C【解析】由题意知，考生的考号从0001，0002⋅⋅⋅从小到大排列，50个考生的考号和为25025，考号的平均数为：2502550≈则估计考号中位数为500，故考生大约有2×500=1000故答案为：C．【分析】由题意先求出平均数，再估计中位数，即可求出考生的大约人数.4.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的75%分位数是（A.

7

B.

C.

8

D.

【答案】C【解析】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75%×所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即故答案为：C【分析】先计算75%分位数的位置，再求出这个数即可5.从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，⋯，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（

）（注：表为随机数表的第1行与第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A.

24

B.

36

C.

46

D.

47【答案】A【解析】由题知，从随机数表的笫1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24.故答案为：A【分析】按要求两个数字为一个号，不大于50且前面未出现的数，依次写出即可6.某公司有员工15名，其中包含经理一名．保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（

）A.

中位数

B.

平均数

C.

方差

D.

极差【答案】A【解析】由题意，公司15名员工的工资情况组成15个数据，按大小顺序排列，排在中点的数是中位数，取到一个最大值和一个最小值，剩余13个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变；平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化；极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化.故答案为：A.【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解.年初，我国突发新冠肺炎疫情，疫情期间中小学生“停课不停学”.已知某地区中小学生人数情况如甲图所示，各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示.为了进一步了解该地区中小学生参与“家务劳动”的情况，现用分层抽样的方法抽取4%小学初中高中学段的学生进行调查，则抽取的样本容量、抽取的高中生家中参与“家务劳动”的人数分别为(

)A.

2750，200

B.

2750，110

C.

1120，110

D.

1120，200【答案】C【解析】解：由题意得，抽取的样本容量为(15500+7500+5000)×4%=1120抽取的高中生家中参与“家务劳动”的人数为5000×4%故答案为：C【分析】由于利用分层抽样的方法按4%的比例从各部分抽取，所以样本容量等于全部人数与4%的积，高中生家中参与“家务劳动”的人数为抽取的高中生人数乘以年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（

）A.

甲的物理成绩领先年级平均分最多

B.

甲有2个科目的成绩低于年级平均分

C.

甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史

D.

对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果【答案】C【解析】由雷达图可知，甲的物理成绩领先年级平均分约为，化学成绩领先年级平均分约为1，生物成绩约等于年级平均分，历史成绩低于年级平均分，地理成绩领先年级平均分约为1，政治成绩低于年级平均分，A、B、D符合题意；而甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），C选项错误.故答案为：C．【分析】根据图表依次对所给选项进行判断.9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（

）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.

互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.

互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C.

互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%

D.

互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多【答案】C【解析】A选项，由图可知90后占了56%，故正确；B选项，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为0.56×39.6%=0.22176>0.2，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，