简单的三角恒等变换教案(word)2

《简单的三角恒等变换（第三课时）》教学设计教学目标通过例题，回顾本节学习过的公式及常用的数学思想方法，并用于解决简单的三角变换问题，发展学生逻辑推理与数学运算素养．教学重难点教学重点：体会三角函数公式之间的内在联系，并运用公式解决三角恒等变换问题．教学难点：解决一些三角恒等变换的问题．课前准备PPT课件．教学过程（一）归纳小结问题1：两角差的余弦公式C(α-β)不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成是诱导公式的一般化．你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法？师生活动：学生思考并回答．预设答案：和（差）角公式、二倍角公式推导过程图：CC(α-β)C(α+β)C2αβ换成-ββ换成αS(α-β)S(α+β)S2αβ换成-ββ换成αT(α-β)T(α+β)T2αβ换成α和(差)角公式与诱导公式的关系图：CC(α-β)cos(2kπ+α)=cosα-β=2kπ，k∈Zcos(π+α)=-cosα-β=πcos(-β)=cosβα=0cos(π-β)=-cosβα=πcos(-β)=sinβα=cos(+α)=-sinα-β=推导这些公式的过程中用到了特殊与一般、转化与化归的数学思想方法．设计意图：回顾反思，让学生们再次感悟公式的重要性．例1用的正弦、余弦值表示．追问：请你观察例1中给出的问题，你能发现已知量与待求量之间的差异吗？能不能借助目前我们已经掌握的公式逐步消除或削弱这些差异？预设的回答：变换对象中含有三个任意角，但如果把其中两个角的和或差看作一个整体，则可转化为两个角和或差的形式，可借助和角、差角公式变换求解．设计意图：通过“差异”引导学生，鼓励他们设计变换过程，同时巩固复习本节学习的和角、差角公式并回顾推导这些公式时用到的数学思想方法，渗透整体意识、化归思想、换元法等，提升学生逻辑推理与数学运算素养．解：．教师讲解：以上运算可以看出，只要掌握和角公式、差角公式，我们可以推出三个、四个甚至更多个任意角的和或差的正弦、余弦公式，它们的推导并不复杂但是形式非常复杂，因此没必要记忆它们，如果今后真的需要使用这些公式，临场推导即可．问题2：我们运用公式进行三角恒等变换的一般思路是什么？师生活动：学生思考并回答．预设的答案：寻找变换对象和变换目标之间的差异(包括角度差异、名称差异、结构差异、次数差异等)，并以消除或削弱差异为目的选择适当的公式进行变换．设计意图：引导学生回顾本节核心任务，即三角恒等变换的一般思路．例2观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．追问1：你打算从哪些角度分析这些式子的相同点与不同点？试逐条分析，并写出一般规律．预设的答案：可以从角、函数名、次数三个角度着手分析．角：每个式子均包括四个角，第一、第三个角相同；第二、第四个角相同，且比第一、三个角大；函数名：每个式子均出现四个函数名，且从左向右均为正弦、余弦、正弦、余弦；次数：各式各项均为二次．故可归纳出等式．设计意图：引导学生从不同角度对比分析，进行归纳推理．追问2：仔细观察刚才发现的规律，你能找到等式两侧的差异吗？如何设计变换方案呢？预设的答案：有两种方案．方案一：从角度差异着手，等式左侧有两个角，而等式右侧没有角，可将看作两角和展开，这样可减少左侧角的个数，缩小与右侧的差异；方案二：从次数差异着手，等式左侧均为二次，右侧为非零常数，零次，故采用降幂扩角公式(半角公式)，积化和差公式降低左侧次数，缩小与右侧的差异．设计意图：引导学生发现“差异”，并设计变换过程．解：反映一般规律的等式是．证法一：左边右边．证法二：左边右边．例3要把半径为R的半圆形铁皮截成长方形，应怎样截取，才能使长方形面积最大？追问1：如何将长方形的面积表示出来？预设答案：如图，设出长方形的宽为x，利用长、宽、半径之间的等量关系可以表示出长，则长方形的面积为，然后利用函数知识求出最大值．追问2：除了设长方形的长或宽之外，还有哪个量同样可以表示出长和宽？预设答案：如图，可以用∠AOB表示出长和宽，从而解决面积问题．解：如图，设圆心为O，长方形截面面积为S，∠AOB＝α，则AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，S＝(Rsinα)·2(Rcosα)＝2R2sinαcosα＝R2sin2α．当sin2α取最大值，即sin2α＝1时，长方形截面积最大，不难推出，α＝eq\f(π,4)时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R2．教师讲解：解出本题的关键是找到并设出，以往我们处理类似问题时，往往都是设边长为基本量，这是因为当时我们并没有系统地学习关于角的理论和性质．学习本章之后，我们比较系统地学习了角的概念、度量、三角函数及其图象和三角恒等变换公式等，不难发现，角是与边同等重要的几何要素．因此，今后解决几何问题时，我们应该充分关注其中的角元素．（二）作业布置教科书习题第15，16，20题．（三）目标检测设计1．用表示．2．已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求证：4cos22α＝cos22β．答案：1．．2．由于sinθ＋cosθ＝2sinα，所以(sinθ＋cosθ)2＝4sin2α，又sinθcosθ＝sin2β，因此，1+2sin2β＝4sin2α，2-cos2β＝2-2cos2α，故4cos22α＝cos22β．设