等式性质与不等式性质同步练习（含答案）

等式性质与不等式性质课时1不等关系与不等式1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(√)(2)若x2＝0，则x≥0.(√)(3)若x－1≤0，则x<1.(×)(4)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√)题型1用不等式(组)表示不等关系2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(C)A．T<40 B．T>40C．T≤40 D．T≥403．下列说法正确的是(C)A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”B．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x>y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”4．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的eq\f(1,k)(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的eq\f(4,7)，则从这个实例中提炼出一个不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)<1，,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N*).解析：依题意得，第二次钉子没有全部进入木板，第三次全部进入木板，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)<1，,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N*)．题型2用作差法比较大小5．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(C)A．a>b B．a<bC．a≥b D．a≤b解析：因为a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.6．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(A)A．M>－5 B．M<－5C．M＝－5 D．不能确定解析：因为M－(－5)＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2，又a≠2且b≠－1，所以M－(－5)>0，所以M>－5.7．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.解：因为x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.所以当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2.综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号．题型3不等式的实际应用8．完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20000元．设木工x人，瓦工y人，则下列关系式正确的是(A)A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200解析：请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元．又工人工资预算不超过20000元，故400x＋500y≤20000，化简可得4x＋5y≤200.9．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案，并指出哪种方案用书籍最少，共用多少本．解：因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<30，x∈N*，,80x＋3030－x≤1900，,50x＋6030－x≤1620.))解这个不等式组得18≤x≤20.由于x只能取正整数，所以x的取值是18,19,20.当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10.故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少，共用书籍130×18＋90×12＝3420(本)．易错点1比较大小时作差变形不当致误10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则(B)A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v1和v2，总路程为2s，显然0<v1<v2，则甲用时间为eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2).设乙用时间为t，则v1·eq\f(t,2)＋v2·eq\f(t,2)＝2s.所以乙用时间为eq\f(4s,v1＋v2)，而eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(sv1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝eq\f(sv1－v22,v1v2v1＋v2)>0，故eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙先到教室．[误区警示]本题易作差后变形不恰当导致无法判断差的符号而错选D.易错点2方法选择不当致误11．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中的值最大的是(A)A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1 D．eq\f(1,2)解析：令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，则a1b1＋a2b2＝；a1a2＋b1b2＝；a1b2＋a2b1＝.故选A.[误区警示]不能小题大做：本题若用作差法比较大小，则比较麻烦．有关不等式大小的选择题，解题时要依据题目特点灵活选取方法，以简化解题过程．(限时30分钟)一、选择题1．下面列出的不等式中，正确的是(C)A．a不是负数，可表示成a>0B．x不大于3，可表示成x<3C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>02．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(A)A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以M>N.3．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是(A)A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－aC．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a解析：b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．因为a>b，所以a－b>0，又(b－1)2≥0，所以(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.4．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.5．已知0<a<1,0<b<1，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(B)A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)·(b－1)．因为0<a<1,0<b<1，所以a－1<0，b－1<0，所以M－N>0，所以M>N.6．(多选题)已知三个不等式：①ab>0，②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)，③bc>ad.则下列结论正确的是(ABC)A．①③⇒② B．①②⇒③C．②③⇒① D．B选项错误解析：不等式②作等价变形eq\f(c,a)>eq\f(d,b)⇔eq\f(bc－ad,ab)>0，由ab>0，bc>ad可得②成立，即①③⇒②；若ab>0，eq\f(bc－ad,ab)>0，则bc>ad，故①②⇒③；若bc>ad，eq\f(bc－ad,ab)>0，则ab>0，故②③⇒①.7．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒eq\f(1,2)厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为(C)A．4×2x≥100 B．4×2x≤100C．4×2x>100 D．4×2x<100解析：当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.8．(多选题)下列不等式，正确的为(AC)A．x2＋3>2x(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2C．a2＋b2≥2(a－b－1) D．(x－3)2<(x－2)(x－4)解析：对选项A，x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，所以x2＋3>2x正确；对选项B，a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，因为(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，故B不一定正确；对选项C，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)，故C正确；对选项D，(x－2)(x－4)－(x－3)2＝(x2－6x＋8)－(x2－6x＋9)＝－1<0，故D错误．二、填空题9．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).解析：eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0，所以eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).10．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为__10y＋x>70__.解析：这个两位数可表示为10y＋x，所以70<10y＋x.11．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为__a＝2__.解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，所以(a－2)2＝0，即a＝2.12．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写出不等式为__8(x＋19)>2_200__；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为eq\f(8x,x－12)>9.解析：由题意知，汽车原来每天行驶xkm,8天内它的行程超过2200km，则8(x＋19)>2200.若每天行驶的路程比原来少12km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即eq\f(8x,x－12)>9.三、解答题13．已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小．解：因为b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，所以b≥c.由题意得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－c＝a2－4a＋4，,b＋c＝3a2－4a＋6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2a2－4a＋5，,c＝a2＋1.))所以c－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以c>a，所以b≥c>a.14．若a≥1，比较eq\r(a＋1)－eq\r(a)与eq\r(a)－eq\