中考一轮复习数学几何专题：三角形 解答题训练（一）

中考一轮复习数学几何专题：三角形解答题训练（一）1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，m），点B（2，n），且|m﹣1|+＝0．（1）求A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线AB交x轴于点C点，试求出C点坐标；（3）在（2）的结论下，已知P（a，0）为x轴上一动点，若S△ABP不超过9，请求出a的取值范围．2．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．（1）求证：AE＝CF．（2）求线段BE的长．3．已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的长．（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP．（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AC边上一动点，连接DE，在DE左侧作Rt△DEF，满足∠DFE＝90°，DF＝EF，连接AF并延长，交BC于点G．（1）如图1，若AB＝4，AE＝1，求DE的长；（2）如图2，在点E的运动过程中，猜想AF与FG存在的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在点E的运动过程中，将AF绕点F逆时针旋转90°，得到A′F，连接A'B，A'D，若AB＝4，请直接写出当A'B+A′D取得最小值时，△A′DF的面积．5．如图，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．（1）若∠BAO＝50°，试求出∠ACB的度数．（2）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的度数．（3）在（2）的条件下，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAC的度数．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（a，0），点B的坐标是（b，0），其中a，b满足+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）在y轴有一点M（0，m），△ABM的面积为4．求m的值；（3）如图，若M在y轴负半轴，将线段AM沿x轴正方向平移，使得A的对应点为B，M的对应点为N．若点P为线段AB上的任意一点（不与A，B重合），试写出∠MPN，∠PMA，∠PNB之间的数量关系，并说明理由．7．已知：DF∥BC，∠FDC＝∠AEC．（1）如图1，已知CD⊥AB，CB平分∠NCE．求∠ABC的度数；（2）如图2，若∠ABC＝∠ACF，AC＝FC，DM＝BE．求证：BC＝MC．8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AC＝30cm，BD＝34cm时，求MN的长．9．如图，在等边△ABC中，点D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），CD＝DE，∠BDE＝120°．点F是线段BE的中点，连接DF、CF．（1）请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；（2）若AB＝4，求线段CF长度的最小值．10．如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．③当点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化吗？（填写“变化”或“不变”）．11．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形．（2）连接CE，若CE＝EF，直接写出长度等于的线段．12．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．13．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E为BC上一点，且BE＝AC，过E作EF⊥BC且EF＝EC，连接CF．（1）如图1，已知AB＝2，连接AE、AF，求△AEF的面积；（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH＝45°交EF于H点，求证：CD＝HF+CE；（3）已知△ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作∠DBH＝45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．14．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝，当N在F→C路径上时，CN＝．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．15．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．16．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（依据一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依据二）∴AB+AC＞2AD．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使DE＝AD，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，AD是BC边上的中线，AB＝3，AC＝4，则AD的取值范围是；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．连接EF．试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．17．（1）①如图1，△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，点E在线段AB上，∠ACB＝∠ECF＝90°．求证：△ACF≌△BCE；②如图2，当AE＝，BE＝3AE时，求线段CG的长；（2）如图3，∠BDC＝∠CAD＝30°，∠BCD＝90°，AB＝2，AD＝4，求AC的长．18．（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连接BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为；BD与AE相交构成的锐角的度数为．（2）如图②，点B，C，E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由．（3）应用：如图③，点B，C，E不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有∠AEC＝30°．设直线AE交CD于点Q，请把图形补全．若PQ＝2，则DP＝．19．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），+|2﹣b|＝0，c＝（a﹣b）．（1）求△ABC的面积；（2）如图2，点A以每秒m个单位的速度向下运动至A′，与此同时，点Q从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动至Q′，3秒后，A′、C、Q′在同一直线上，求m的值；（3）如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．20．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE延长线于点D，连接CD，过点C作CF⊥CD交AD于F．（Ⅰ）如图①，（1）求∠EBD的度数；（2）求证AF＝BD；（Ⅱ）如图②，DM⊥AC交AC的延长线于点M，探究AB、AC、AM之间的数量关系，并给出证明．参考答案1．解：（1）∵|m﹣1|+＝0，又∵|m﹣1|≥0,≥0,∴m＝1,n＝4,∴A(﹣1,1),B(2,4)．(2)如图1中，过点B作BH⊥x轴于H,连接AH,设C(m,0)．∵B(2,4),A(﹣1,1),∴H(2,0),BH＝4,∵S△ABH＝S△CBH﹣S△ACH,∴×4×3＝×(2﹣m)×4﹣×(2﹣m)×1,∴m＝﹣2,∴C(﹣2,0)．(3)如图2中，当S△PAB＝9时，•|a+2|•4﹣•|a+2|•1＝9,解得a＝4或﹣8，∴满足条件的a的值为：﹣8≤a＜﹣2或﹣2＜a≤4．2．（1）证明：连接OA,∵OB平分∠ABC，又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF．∵OM⊥AC，M为AC中点，∴OM垂直平分AC，∴OA＝OC，在Rt△AEO与Rt△CFO中，,∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），∴AE＝CF；（2）解：在Rt△BEO与Rt△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（HL），∴BE＝BF，∵AB＝7，BC＝14，设AE＝CF＝x，∴x+7＝14﹣x，∴，∴．3．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，∴AB＝，∵BD＝AC，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵P是CD的中点，∴AP⊥CD，在Rt△APC中，AP＝，∴，∴，（2）证明：连接BE，∵DE∥AC，∴∠CAP＝∠DEP，在△CPA和△DPE中，∴△CPA≌△DPE（AAS），∴AP＝EP＝，DE＝AC，∵BD＝AC，∴BD＝DE，又∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠CAD＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∵BD＝AC，∴AC＝BE，在△CAB和△EBA中，∴△CAB≌△EBA（SAS），∴AE＝BC，∴BC＝2AP，（3）存在这样的m，m＝．理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE，由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，当BD＝时，∴BD＝，作BF⊥DE于F，∵∠EDB＝45°，∴BD＝，∴DE＝DF，∴点E，F重合，∴∠BED＝90°，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝AC，同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS），∴BC＝AE＝2AP，∴存在m＝，使得BC＝2AP4．（1）解：过点E作EH⊥DC，垂足为H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AB＝4，∴BC＝4，∠C＝45°，∵点D是BC中点，∴DB＝DC＝2，∵AE＝1，∴CE＝3，∵∠C＝45°，∴HE＝HC＝，HD＝CD﹣HC＝，DE＝，∴DE＝．（2）AF＝FG，证明如下：取AE的中点I，连接FI，DI，∵点D是BC中点，∴DI∥AB，∴△DIC是等腰直角三角形，∴，即，∠FDE＝∠IDC＝45°，∴∠FDI＝∠BDC，∴△FDI∽△EDC，∴∠FID＝∠C＝45°，∴∠AIF＝∠C＝45°，∴FI∥CB，∴AF＝FG．（3）延长DA′交AB于点M，取AM的中点N，连接DN，AD，AA′，∵△ADB和△AFA′是等腰直角三角形，∴＝，∠BAD＝∠A′AD＝45°，∴∠BAA′＝∠DAF，∴△BAA′∽△DBF，∴，由（2）可知，AF＝FG，∠ADC＝90°，∴AF＝FD，∴BA′＝AA′，∵BD＝DA，∴DM垂直平分AB，BM＝AM＝DM＝2，NM＝1，∴DN＝，sin，tam，过点A′作A′P⊥DN，垂足为P，∴sin，，当B、A′、P在同一条直线上时，A′B+A′D最小，∵∠BA′M＝∠DA′P，∴∠MBP＝∠MDN，∴，A′M＝1，A′D＝1，∵，A，∴，A，∵，∴，DP＝，∴＝．5．解：（1）如图1中，∵BC平分∠ABO，AC平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABO，∠BAC＝∠BAO，∵∠POM＝30°，∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣30°＝150°，∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝×150°＝75°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝180°﹣75°＝105°；（2）∠ACB的大小不变，理由如下：由（1）知：点A、B在运动的过程中，∠ACB＝105°；（3）由（2）可知，∠ACB＝105°，∠BAC+∠ABC＝75°，∵△ABC中有一个角是另一个角的2倍，∴∠ACB＝2∠BAC或∠ACB＝2∠ABC或∠ABC＝2∠BAC或∠BAC＝2∠ABC，∴∠BAC＝52.5°或22.5°或25°或50°．6．解：（1）∵+（b﹣3）2＝0，≥0，（b﹣3）2≥0，∴a+1＝0，b﹣3＝0，解得，a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1；3；（2）由（1）可知A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4，由题意得，△ABM的面积＝AB•OM＝×4×OM＝4，即×4×|m|＝4，解得，m＝±2；（3）∠MPN＝∠PMA+∠PNB，理由如下：过点P作PE∥AM，则∠MPE＝∠PMA，∵AM平移后得到BN，∴AM∥BN，∴PE∥BN，∴∠NPE＝∠PNB，∴∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠PMA+∠PNB．7．解：（1）∵DF∥BC，∴∠FDC＝∠NCB，∵CB平分∠NCE，∴∠NCB＝∠BCE，∵∠FDC＝∠AEC，∴∠FDC＝∠NCB＝∠BCE＝∠AEC，∵CD⊥AB，∴∠ENC＝90°，∴∠AEC+∠NCE＝∠AEC+∠BCE+∠NCB＝3∠NCB＝90°，∴∠NCB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠NCB＝60°；（2）∵DF∥BC，∴∠FMC＝∠ACB，∵∠ABC＝∠ACF，∴180°﹣∠FMC﹣∠ACF＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，即∠F＝∠BAC，在△DFC和△EAC中，，∴△DFC≌△EAC（AAS），∴CD＝CE，在△MDC和△BEC中，，∴△MDC≌△BEC（SAS），∴MC＝BC．8．解：（1）如图，连接AM，CM，∵∠DAB＝∠DCB＝90°，点M是BD的中点，∴AM＝BD，CM＝BD，∴AM＝CM，∵点N是AC的中点，∴MN⊥AC；（2）∵BD＝34cm，∴AM＝CM＝BD＝17cm，∵AC＝30cm，∴AN＝AC＝15cm，由（1）知，MN⊥AC，∴MN＝＝＝8．9．解：（1）线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，理由如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图1所示：∵点F为BE的中点，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等边三角形，∴AD＝DM＝2DF；（2）连接CE，取BC的中点N，连接作射线NF，如图2所示：∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，∴∠DCE＝30°，∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，∴NF是△BCE的中位线，∴NF∥CE，∴∠CNF＝∠DCE＝30°，∴点F的轨迹为射线NF，且∠CNF＝30°，当CF⊥NF时，CF最短，∵AB＝BC＝4，∴CN＝2，在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，∴CF＝CN＝1，∴线段CF长度的最小值为1．10．解：①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．③如图2，点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化；故答案为：变化．11．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵AD为Rt△ABC的斜边中线，∴AD＝BD＝CD，∴AF＝AD＝CD，又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是菱形．（2）由（1）得E为BF中点，∵CE＝EF，∴CE＝BE，∴AD垂直平分BC，∴△ABC为等腰直角三角形，四边形CFAD为正方形，∴BD＝AD＝CD＝CF＝FA＝AB．故答案为：BD，AD，CD，CF，FA．12．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△FAC中，，∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝FA；（2）解：∵△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．13．解：（1）∵AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝2，∠ACB＝45°，如图1，过点A作AT⊥BC于点T，则BT＝CT，AT＝BC＝，∵BE＝AC＝2，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣2，∵EF⊥BC且EF＝EC，∴∠ECF＝45°，CF＝CE＝×（2﹣2）＝4﹣2，∴∠ACF＝∠ACB+∠ECF＝45°+45°＝90°，∴S△AEF＝S△ACF﹣S△ACE﹣S△CEF＝•AC•CF﹣•CE•AT﹣•CE•EF＝×2×（4﹣2）﹣12×（2﹣2）×﹣×（2﹣2）×（2﹣2）＝3﹣4；（2）如图2，∵∠DBH＝45°＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBD＝∠EBH+∠CBD，∴∠ABD＝∠EBH，在△ABD和△EBH中，，∴△ABD≌△EBH（ASA），∴AD＝EH，过点B作BR⊥AB交CF的延长线于点R，在RC上截取RK＝AD，连接BK，BF，∴∠ABR＝90°＝∠A＝∠ACF，∴四边形ABRC是矩形，∵AB＝AC，∴四边形ABRC是正方形，∴BR＝AB，∠R＝90°＝∠A，在△BRK和△BAD中，，∴△BRK≌△BAD（SAS），∴BK＝BD，RK＝AD，∠ABD＝∠RBK，∵∠ABC＝∠RBC＝45°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠RBC﹣∠RBK，即∠CBD＝∠CBK，在△CBD和△CBK中，，∴△CBD≌△CBK（SAS），∴CD＝CK＝CF+FK，∵CF＝CE，∴CD＝FK+CE，在Rt△BRF和Rt△BEF中，，∴Rt△BRF≌Rt△BEF（HL），∴FR＝FE，∵RK＝AD＝EH，∴FR﹣RK＝FE﹣EH，即FK＝FH，∴CD＝FH+CE；（3）由（2）知，△ABD≌△EBH，∴AD＝EH，根据瓜豆原理，点H的运动轨迹为射线EF，∵点M为DH的中点，点M的运动轨迹为射线AE，当CM有最小值时，CM⊥AE，∴∠AMC＝90°，设AB＝a，则BC＝a，CE＝（）a，过点M作MK⊥AB于K，过点E作ET⊥AB于点T，∴∠BTE＝∠BKM＝∠AKM＝∠ALM＝∠BAC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴ET＝BT＝BE•cos∠ABC＝a•sin45°＝a，∴AT＝AB﹣BT＝a﹣a＝a，∴AE＝＝＝a，∵ET∥AC，∴∠CAM＝∠AET，∵∠AMC＝∠ETA＝90°，∴△AMC∽△ETA，∴＝＝，即＝＝，∴CM＝a，AM＝a，∵ET∥MK，∴△AET∽△AMK，∴＝，即＝，∴MK＝a，∴S△ABM＝AB•MK＝•a•a＝a2，∵∠AMD＝∠BMD＝90°，∴∠CMD+∠AMD＝∠AMB+∠AMD，∴∠CMD＝∠AMB，∵∠CAM+∠DCM＝90°，∠CAM+∠BAM＝90°，∴∠DCM＝∠BAM，∴△CMD∽△AMB，∴＝＝＝3﹣2，∴S△CMD＝（3﹣2）•S△AMB＝（3﹣2）•a2，∵S△ABC＝a2＝8+4，∴a2＝16+8，∴S△CDM＝（3﹣2）•a2＝（3﹣2）××（16+8）＝2．14．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t．②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t═3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．15．（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN＝DC＝2a，∵tan∠DEC＝，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△NDF，∴．16．任务一：证明：延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝CA，在△ABE中，AB+BE＞AE（三角形任意两边之和大于第三边），∴AB+AC＞2AD．故答案为：SAS，三角形任意两边之和大于第三边．任务二：解：如图1，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝EC＝4，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴4﹣3＜2AD＜4+3，∴1＜2AD＜7，∴．故答案为：＜AD＜．任务三：EF与AD的数量关系为EF＝2AD．理由如下：如图2，延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，∵AD是中线，∴BD＝CD，在△ABD和△MCD中，，∴△ABD≌△CDM（SAS），∴AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，∴AE＝CM，AB∥CM，∴∠BAC+∠ACM＝180°，∵∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ACM，又∵AF＝AC，∴△EAF≌△MCA（SAS），∴AM＝EF，∵AM＝2AD，∴EF＝2AD．17．解：（1）①证明：∵△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠BCE＝∠ACF，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS）；②由①知△ACF≌△BCE，∴AF＝BE，∠CBE＝∠CAF，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠BAC＝45°，∴∠CAF＝45°，∴∠EAF＝90°，∵AE＝，BE＝3AE，∴AF＝3，AB＝BE+AE＝4，∴AC＝AB＝4，EF＝＝2，又∵△ECF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，CE＝EF＝，∴∠CEG＝∠EAC，又∵∠ECG＝∠ACE，∴△ECG∽△ACE，∴，∴CE2＝CG•AC，∴CG＝；（2）过点A作AD的垂线，过点C作AC的垂线，两垂线交于点M，连接DM，∵∠CAD＝30°，∴∠CAM＝60°，∴∠AMC＝30°，∴∠AMC＝∠BDC，又∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△ACM，∴，又∠BCD＝∠ACM，∴∠BCD+∠BCM＝∠ACM+∠BCM，即∠DCM＝∠ACB，∴△DCM∽△BCA，∴，∵AB＝2，∴DM＝2＝6，∴AM＝＝＝2，∴AC＝AM＝．18．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，由三角形的外角性质，∠DPE＝∠AEC+∠BDC，∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°；故答案为：相等，60